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(共71张PPT)
曲线运动　运动的合成与分解
第
1
讲
目标
要求
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题.3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法.
内容索引
考点一　曲线运动的条件和特征
考点二　运动的合成与分解
考点三　小船渡河模型
考点四　关联速度问题
课时精练
考点一
曲线运动的条件和特征
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的 .
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是 运动.
a恒定： 运动；a变化：非匀变速曲线运动.
3.做曲线运动的条件：
梳理
必备知识
切线方向
变速
匀变速曲线
1.速度发生变化的运动，一定是曲线运动.(　　)
2.做曲线运动的物体受到的合力一定是变力.(　　)
3.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧.(　　)
√
×
×
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动.
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动.
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间.
提升
关键能力
3.速率变化的判断
例1　如图，水平桌面上乒乓球沿直线AB匀速运动，一同学在桌边用吹管欲将球吹进桌面上的球门(吹管对准球门中心)，AB垂直于BC.在B处对准C吹气，未成功，下列情形可能成功的是
A.仅增大吹气力度
B.将球门沿直线CB向B靠近
C.将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气
D.将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气
√
原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，所以单纯地沿BC方向吹气来施加力的作用不能使球落入球门中，仅增大吹气力度，只能加快BC方向速度变化，不能使球进入球门，故A错误；
将球门C沿直线CB向B移动一小段距离，与原方案一样，不能落入球门，故B错误；
将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气，到达BC所在直线位置时乒乓球已经沿垂直AB方向运动了一段距离，可知球可能落入球门中，故C正确；
将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气，乒乓球只能做直线运动，不会进入球门，故D错误.
例2　(2023·浙江湖州市天略外国语学校模拟)2021年8月21日，中国人民解放军火箭军成功发射两枚新型导弹.导弹轨迹通常都十分复杂，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹
头的速度v与所受合外力F关系正确的是
A.图中A点 B.图中B点
C.图中C点 D.图中D点
√
弹头的运动轨迹是曲线，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，故选D.
考点二
运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知 求合运动.
(2)运动的分解：已知 求分运动.
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循___________
______.
3.运动分解的原则
根据运动的 分解，也可采用正交分解法.
梳理
必备知识
分运动
合运动
平行四边形
定则
实际效果
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的 相等，即同时开始、同时进行、同时停止.
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动 ，不受其他分运动的影响.
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的 .
时间
独立进行
效果
1.合运动的速度一定比分运动的速度大.(　　)
2.只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动.(　　)
3.曲线运动一定不是匀变速运动.(　　)
×
×
×
1.运动性质的判断
提升
关键能力
2.判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
例3　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完
成的动作越多
B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有
可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
考向1　合运动与分运动的关系
√
运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；
水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误.
例4　(2023·浙江省百校联考)质量为1 kg的质点在一平面内做曲线运动，相互垂直的y、x方向上的速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是
A.质点的初速度大小为5 m/s
B.质点所受的合力大小为1.5 N
C.2 s末质点速度大小为7 m/s
D.2 s末质点速度与y方向成37°角
√
考向2　两互成角度运动的合运动性质的判断
由题图可知，y方向初速度为零，x方向初速度为4 m/s，则质点的初速度大小为4 m/s，A错误；
质点在x方向加速度为零，只有y方向有
考点三
小船渡河模型
渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝ (d为河宽)
两类问题，三种情景
渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d
若v船例5　有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1.一条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v2，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直.若v1、v2均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为
考向1　渡河时间问题
√
例6　(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与上游河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等.以下说法正确的是
A.水流的速度大小为0.2 m/s
B.船头与河岸间的夹角α为60°
C.小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D.河的宽度为200 m
考向2　最短位移渡河问题
√
√
当船头保持与上游河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，有v2＝v1cos α，d＝v1sin α·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sin α＝
v1≈0.33 m/s，d＝200 m，故船头与上游河岸间的夹角不是60°，选项B、C错误，D正确.
例7　如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为
考向3　渡河中最小速度问题
√
考点四
关联速度问题
例8　如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是
A.绳的拉力等于M所受的重力
B.绳的拉力大于M所受的重力
C.物体M向上做匀速运动
D.物体M向上做匀加速运动
√
汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcos θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，
所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；
由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M所受的重力，故选项A错误，B正确.
例9　曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是
A.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
√
当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时v0cos θ＝vcos θ，即v＝v0，选项A正确，B错误；
当O、P、Q在同一直线时，P沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误.
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上.
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
规律总结
3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示.
规律总结
五
课时精练
1.关于曲线运动，下列叙述不正确的是
A.做曲线运动的物体一定是变速运动
B.做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
C.如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D.因曲线运动的速度在不断变化，所以不可能是匀变速运动
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基础落实练
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做曲线运动的物体，方向时刻在改变，则一定是变速运动，有可能是匀变速运动，故A正确，D错误；
做曲线运动的物体，运动状态时刻在改变，物体所受合外力一定不为零，故B正确；
如果物体不受外力，根据牛顿第一定律可知，物体将保持静止或做匀速直线运动，故C正确.
2.(2023·浙江温州市模拟)如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图.比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点.运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是
A.A点 B.B点
C.C点 D.D点
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根据曲线运动某点的速度方向沿着该点的切线方向，由题图可知运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是A点，A正确，B、C、D错误.
3.一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大.图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是
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由题意可得，合力F指向曲线的凹侧，由M向N行驶，速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B可能正确.
4.(2023·重庆市南开中学月考)如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是
A.若撤去的是F1，则物体将做圆周运动
B.若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可
能再次变为v0
C.若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D.无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定
都相同
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撤去F1后，其他力的合力方向与速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动，不会做圆周运动，因为受到的是恒力，故A错误；
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撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平方向先减速到零，再反向加速，而竖直方向一直在加速，所以经过一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B正确；
撤去F3后，其他力的合力方向与速度方向成锐角，速度增大，则经过一段时间后，速率比v0大，故C错误；
因为这五个力不完全相同，撤去其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二定律可知加速度也不完全相同，所以物体在相同时间内的速度改变量不一定都相同，故D错误.
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5.(2023·浙江台州市模拟)冬季奥运会比赛中，单板大跳台是一项紧张刺激的项目.2022年北京冬奥会期间，一观众用手机连拍功能拍摄运动员从起跳到落地的全过程，合成图如图所示.忽略空气阻力，且手机连拍的时间间隔一定.下列说法正确的是
A.运动员在空中飞行过程是变加速曲线运动
B.裁判在针对运动员动作难度和技巧打分时，
可以将其视为质点
C.运动员在斜向上飞行到最高点的过程中，其动能全部转化为重力势能
D.运动员在空中飞行过程中，图片中任意两组相邻位置的动量变化量大
小、方向均相同
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运动员在空中飞行过程只受重力作用，加速度恒定不变，所以是匀变速曲线运动，故A错误；
裁判在针对运动员动作难度和技巧打分时，运动员的体积和形状不能忽略，不可以将其视为质点，故B错误；
运动员在斜向上飞行到最高点时，竖直方向速度变为0，水平方向速度不为零，所以其动能不为零，故C错误；
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运动员在空中飞行过程中，加速度恒定不变，根据Δp＝m·Δv＝mgt可知图片中任意两组相邻位置的动量变化量大小、方向均相同，故D正确.
6.(2022·河北唐山市二模)如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同.现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度大小为
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7.(2023·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示.下列说法正确的是
A.质点做匀变速直线运动
B.质点所受的合外力为22 N
C.2 s时质点的速度大小为6 m/s
D.零时刻质点的速度大小为5 m/s
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由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴
方向.在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；
质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；
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2 s末质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C错误.
8.(多选)(2023·广东茂名市高三检测)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是
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C.v水越小，渡河时间越短
D.当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
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9.(多选)(2023·福建龙岩市才溪中学月考)如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以在静水中的速度v同时渡河.出发时两船相距2L，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点.则下列判断正确的是
A.甲船在A点右侧靠岸
B.甲船在A点左侧靠岸
C.甲、乙两船到达对岸的时间相等
D.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
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能力综合练
依题意，乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解可知v＝2u，将甲、乙两船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，
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10.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动.当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2.v1、v2的关系是
A.v1＝v2
B.v1＝v2cos θ
C.v1＝v2tan θ
D.v1＝v2sin θ
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将A端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v1∥＝v1cos θ，将B端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2 ∥，所以v1＝v2tan θ，故选C.
11.图甲为我国运动员参加冰壶比赛的场景.比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转(自旋)，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动.在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶的运动轨迹(虚线表示)可能正确的是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力几乎不变，若冰壶按如图的方向逆时针旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶的运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转，即①④正确，故选B.
12.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·19)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离.某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻.则
A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的
位移比第一次的小
B.第二次滑翔过程中在水平方向上的
位移比第一次的大
C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D.竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
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根据v－t图线与t轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；
从起跳到落到雪道上，第二次速度变化小，时间长，由a＝ 可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误；
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第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；
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竖直方向上的速度大小为v1时，根据v－t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma，可知竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确.
13.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
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素养提升练
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将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
(2)A、B两点间的距离；
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由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
(3)小球的最大速率vmax.
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小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0考情分析 运动的合成与分解 2019·全国卷Ⅱ·T19
平抛运动 2022·广东卷·T6　2022·北京卷·T17　2021·山东卷·T11　2021·山东卷·T16 2020·江苏卷·T8　2020·浙江1月选考·T5
斜抛运动 2022·山东卷·T11　2021·浙江1月选考·T9　2020·山东卷·T16
圆周运动 2022·河北卷·T10　2022·辽宁卷·T13　2022·北京卷·T8 2021·浙江6月选考·T7　2020·浙江7月选考·T2
实验：探究平抛运动的特点 2019·浙江4月选考·T17
试题情境 生活实践类 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类 小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求　1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点.2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题.3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法．
考点一　曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动．
3．做曲线运动的条件：
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动．(　×　)
2．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力．(　×　)
3．做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧．(　√　)
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动．
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．
2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
3．速率变化的判断
例1　如图，水平桌面上乒乓球沿直线AB匀速运动，一同学在桌边用吹管欲将球吹进桌面上的球门(吹管对准球门中心)，AB垂直于BC.在B处对准C吹气，未成功，下列情形可能成功的是(　　)
A．仅增大吹气力度
B．将球门沿直线CB向B靠近
C．将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气
D．将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气
答案　C
解析　原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，所以单纯地沿BC方向吹气来施加力的作用不能使球落入球门中，仅增大吹气力度，只能加快BC方向速度变化，不能使球进入球门，故A错误；将球门C沿直线CB向B移动一小段距离，与原方案一样，不能落入球门，故B错误；将吹管向A平移适当距离，垂直AB方向吹气，到达BC所在直线位置时乒乓球已经沿垂直AB方向运动了一段距离，可知球可能落入球门中，故C正确；将吹管绕B点顺时针转动90°，正对着A吹气，乒乓球只能做直线运动，不会进入球门，故D错误．
例2　(2023·浙江湖州市天略外国语学校模拟)2021年8月21日，中国人民解放军火箭军成功发射两枚新型导弹．导弹轨迹通常都十分复杂，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与所受合外力F关系正确的是(　　)
A．图中A点 B．图中B点
C．图中C点 D．图中D点
答案　D
解析　弹头的运动轨迹是曲线，因此合外力与速度关系应满足曲线运动条件，合外力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，故选D.
考点二　运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动．
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法．
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
1．合运动的速度一定比分运动的速度大．(　×　)
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．(　×　)
3．曲线运动一定不是匀变速运动．(　×　)
1．运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度 或合外力 方向与速度方向
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
考向1　合运动与分运动的关系
例3　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案　C
解析　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D错误．
考向2　两互成角度运动的合运动性质的判断
例4　(2023·浙江省百校联考)质量为1 kg的质点在一平面内做曲线运动，相互垂直的y、x方向上的速度随时间变化的图像分别如图甲、乙所示．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　)
A．质点的初速度大小为5 m/s
B．质点所受的合力大小为1.5 N
C．2 s末质点速度大小为7 m/s
D．2 s末质点速度与y方向成37°角
答案　B
解析　由题图可知，y方向初速度为零，x方向初速度为4 m/s，则质点的初速度大小为4 m/s，A错误；质点在x方向加速度为零，只有y方向有加速度，由vy－t图像的斜率表示质点的加速度，可知a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，则F＝ma＝1.5 N，B正确；2 s末vy＝3 m/s，vx＝4 m/s，则2 s末质点速度大小为v2＝ m/s＝5 m/s，C错误；设2 s末质点速度与y方向成θ角，则有tan θ＝，解得θ＝53°，D错误．
考点三　小船渡河模型
两类问题，三种情景
渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d
若v船考向1　渡河时间问题
例5　有一条两岸平直且平行的河流，河水流速恒定，大小为v1.一条小船在河上横渡，已知船在静水中的速度大小为v2，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，第二次过河时行驶路线与河岸垂直．若v1、v2均不变，试求第一次过河与第二次过河所用时间的比值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　根据题意，设河宽为d，第一次过河时船头始终指向与河岸垂直的方向，则渡河时间为t1＝，第二次过河时行驶路线与河岸垂直，此时船的合速度为v＝，渡河时间为t2＝，则第一次过河与第二次过河所用时间的比值为＝，故A、B、D错误，C正确．
考向2　最短位移渡河问题
例6　(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与上游河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相等．以下说法正确的是(　　)
A．水流的速度大小为0.2 m/s
B．船头与河岸间的夹角α为60°
C．小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D．河的宽度为200 m
答案　AD
解析　当船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，有x＝v2t1，解得水流的速度大小为v2＝＝ m/s＝0.2 m/s，选项A正确；当船头保持与上游河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，有v2＝v1cos α，d＝v1sin α·t2，由图甲可得d＝v1t1，联立解得sin α＝，v1≈0.33 m/s，d＝200 m，故船头与上游河岸间的夹角不是60°，选项B、C错误，D正确．
考向3　渡河中最小速度问题
例7　如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶ C．2∶ D.∶2
答案　D
解析　设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A运动到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，且v1＝vsin 30° ，最短时间的冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，且v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故选项D正确．
考点四　关联速度问题
例8　如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体M的受力和运动情况是(　　)
A．绳的拉力等于M所受的重力
B．绳的拉力大于M所受的重力
C．物体M向上做匀速运动
D．物体M向上做匀加速运动
答案　B
解析　汽车匀速向左运动，其速度可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子方向的分速度，沿绳子方向的分速度v′＝vcos θ，汽车在匀速向左运动的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以v′增大，即物体M向上做加速运动，又因为v′变化不均匀，所以不是匀加速运动，故选项C、D错误；由于物体M向上做加速运动，由F－mg＝ma可知，绳子的拉力大于物体M所受的重力，故选项A错误，B正确．
例9　曲柄连杆结构是发动机实现工作循环、完成能量转换的主要运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v0
答案　A
解析　当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度；将活塞的速度v分解为沿连杆方向和垂直于连杆方向的速度，则此时v0cos θ＝vcos θ，即v＝v0，选项A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线时，P沿连杆方向的速度为零，则活塞运动的速度等于0，选项C、D错误．
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上．
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
课时精练
1．关于曲线运动，下列叙述不正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体一定是变速运动
B．做曲线运动的物体所受的合外力一定不为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因曲线运动的速度在不断变化，所以不可能是匀变速运动
答案　D
解析　做曲线运动的物体，方向时刻在改变，则一定是变速运动，有可能是匀变速运动，故A正确，D错误；做曲线运动的物体，运动状态时刻在改变，物体所受合外力一定不为零，故B正确；如果物体不受外力，根据牛顿第一定律可知，物体将保持静止或做匀速直线运动，故C正确．
2．(2023·浙江温州市模拟)如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图．比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D五点．运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是(　　)
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
答案　A
解析　根据曲线运动某点的速度方向沿着该点的切线方向，由题图可知运动员速度方向与经过P点的速度方向最接近的是A点，A正确，B、C、D错误．
3．一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大．图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是(　　)
答案　B
解析　由题意可得，合力F指向曲线的凹侧，由M向N行驶，速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B可能正确．
4.(2023·重庆市南开中学月考)如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率v0沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力(其他力不变)，则在以后的运动中，下列说法正确的是(　　)
A．若撤去的是F1，则物体将做圆周运动
B．若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C．若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D．无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同
答案　B
解析　撤去F1后，其他力的合力方向与速度方向垂直，物体做匀变速曲线运动，不会做圆周运动，因为受到的是恒力，故A错误；撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平方向先减速到零，再反向加速，而竖直方向一直在加速，所以经过一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B正确；撤去F3后，其他力的合力方向与速度方向成锐角，速度增大，则经过一段时间后，速率比v0大，故C错误；因为这五个力不完全相同，撤去其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二定律可知加速度也不完全相同，所以物体在相同时间内的速度改变量不一定都相同，故D错误．
5.(2023·浙江台州市模拟)冬季奥运会比赛中，单板大跳台是一项紧张刺激的项目.2022年北京冬奥会期间，一观众用手机连拍功能拍摄运动员从起跳到落地的全过程，合成图如图所示．忽略空气阻力，且手机连拍的时间间隔一定．下列说法正确的是(　　)
A．运动员在空中飞行过程是变加速曲线运动
B．裁判在针对运动员动作难度和技巧打分时，可以将其视为质点
C．运动员在斜向上飞行到最高点的过程中，其动能全部转化为重力势能
D．运动员在空中飞行过程中，图片中任意两组相邻位置的动量变化量大小、方向均相同
答案　D
解析　运动员在空中飞行过程只受重力作用，加速度恒定不变，所以是匀变速曲线运动，故A错误；裁判在针对运动员动作难度和技巧打分时，运动员的体积和形状不能忽略，不可以将其视为质点，故B错误；运动员在斜向上飞行到最高点时，竖直方向速度变为0，水平方向速度不为零，所以其动能不为零，故C错误；运动员在空中飞行过程中，加速度恒定不变，根据Δp＝m·Δv＝mgt可知图片中任意两组相邻位置的动量变化量大小、方向均相同，故D正确．
6.(2022·河北唐山市二模)如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同．现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设物体A下落高度为h时，物体A的速度大小为vA，物体B的速度大小为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mvA2＋mvB2，联立解得vB＝，故选A.
7．(2023·湖北省模拟)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是(　　)
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．2 s时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
答案　D
解析　由题图可知，质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向上做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向．在x轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y轴方向上的速度大小为
4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B错误；2 s末质点在x轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C错误．
8.(多选)(2023·广东茂名市高三检测)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是(　　)
A．渡河时间t＝
B．渡河时间t＝
C．v水越小，渡河时间越短
D．当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
答案　BD
解析　根据速度的合成与分解及数学知识可知，渡河时间t＝，与v水无关，选项A、C错误，B正确；当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为tmin＝，选项D正确．
9.(多选)(2023·福建龙岩市才溪中学月考)如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以在静水中的速度v同时渡河．出发时两船相距2L，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点．则下列判断正确的是(　　)
A．甲船在A点右侧靠岸
B．甲船在A点左侧靠岸
C．甲、乙两船到达对岸的时间相等
D．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
答案　BC
解析　依题意，乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解可知v＝2u，将甲、乙两船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间均为t＝，可得甲船沿河岸方向上的位移为x＝(u＋vcos 60°)t＝L<2L，即甲船在A点左侧靠岸，显然甲、乙两船不可能在未到达对岸前相遇，故B、C正确，A、D错误．
10.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动．当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2.v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
答案　C
解析　将A端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v1∥＝v1cos θ，将B端的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的速度，沿杆方向上的分速度v2∥＝v2sin θ，由于v1∥＝v2 ∥，所以v1＝v2tan θ，故选C.
11.图甲为我国运动员参加冰壶比赛的场景．比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转(自旋)，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动．在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶的运动轨迹(虚线表示)可能正确的是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　B
解析　由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面(刷冰)，减小冰壶前方受到的摩擦力，而后方受到的摩擦力几乎不变，若冰壶按如图的方向逆时针旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶的运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转，即①④正确，故选B.
12．(多选)(2019·全国卷Ⅱ·19)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则(　　)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案　BD
解析　根据v－t图线与t轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；从起跳到落到雪道上，第二次速度变化小，时间长，由a＝可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误；第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为v1时，根据v－t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma，可知竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确．
13.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球的最大速率vmax.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v02＝2axxmax，
解得xmax＝.
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝gt2＝.
(3)小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0
vy＝gt，则vmax＝＝.

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