资源简介

(共74张PPT)
抛体运动
第
2
讲
目标
要求
1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题.2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题.
内容索引
考点一　平抛运动的规律及应用
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
考点三　平抛运动的临界和极值问题
考点四　斜抛运动
课时精练
考点一
平抛运动的规律及应用
平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿 方向抛出，物体只在 作用下的运动.
2.性质：平抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 .
3.研究方法：化曲为直
(1)水平方向： 运动；
(2)竖直方向： 运动.
梳理
必备知识
水平
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4.基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.
v0t
gt
1.平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直.(　　)
2.相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同.(　　)
3.相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同.(　　)
√
×
×
1.平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示.
提升
关键能力
2.两个推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α .
例1　(多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则
A.va＞vb B.va＜vb
C.ta＞tb D.ta＜tb
√
√
由题图知，hb＞ha，因为h＝ 所以ta＜tb，又因为x＝v0t，且xa＞xb，所以va＞vb，选项A、D正确.
例2　(多选)(2023·浙江省金华十校模拟)如图是飞镖盘示意图，盘面画有多个同心圆用来表示环数，O是圆心，盘竖直挂在墙上，A是盘的最高点，B是盘的最低点.某同学玩飞镖时，飞镖的出手点与A等高，且每次飞镖的出手点相同，出手时飞镖速度与盘面垂直，第一支飞镖命中B点，第二支飞镖命中O点，若空气阻力不计，可知前、后两支飞镖
A.空中飞行时间之比是2∶1
√
√
考点二
与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜 面上，如图所示，已知速度 的方向垂直于斜面　 分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好 无碰撞地进入圆弧形轨道， 如图所示，已知速度方向沿 该点圆弧的切线方向　 分解速度tan θ＝＝
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面 上，如图所示，已知位移 的方向沿斜面向下　 分解位移
tan θ＝
在斜面外平抛，落在斜面上 位移最小，如图所示，已知 位移方向垂直斜面　　 分解位移
tan θ＝
利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半 径为R的圆弧上，如图所示， 已知位移大小等于半径R　　
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方　　
例3　(2023·浙江省名校协作体模拟)第24届冬季奥运会于2022年2月在北京成功举办，如图甲所示为运动员跳台滑雪运动瞬间，运动示意图如图乙所示，运动员从助滑雪道AB上由静止滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，运动轨迹上的E点的速度方向与滑道CD平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为t1与t2，忽略空气阻力，运动员可视为质点，下列说法正确的是
A.t1B.t1>t2
C.若运动员离开C点时的速度加倍，则落在
滑道上的速度方向不变
D.若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上到C的距离也加倍
考向1　与斜面有关的平抛运动
√
以C点为原点，以CD为x轴，以垂直CD向上方向为y轴，建立坐标系如图所示.对运动员的运动进行分解，y轴方向上的运动类似竖直上拋运动，x轴方向做匀加速直线运动.当运动员速度方向与滑道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上拋运动的对称性，知t1＝t2，A、B错误；
若运动员离开C点时的速度v0加倍，则水平位移变为原来的4倍，
例4　(2023·福建宁德市高三月考)如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出.球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上.已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则
A.t1∶t2＝1∶2 B.t1∶t2＝1∶3
C.t1∶t2＝2∶1 D.t1∶t2＝3∶1
√
例5　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为
考向2　与圆弧面有关的平抛运动
√
小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，
考点三
平抛运动的临界和极值问题
1.平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向.
2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题.
例6　如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的A点，A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍.已知球网的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为
考向1　平抛运动的临界问题
√
例7　某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平.现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为
A.0 B.0.1 m
C.0.2 m D.0.3 m
考向2　平抛运动的极值问题
√
联立解得x＝ 根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确.
考点四
斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0 或斜向下方抛出，物体只在 作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为g的 曲线运动，运动轨迹是 .
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向： 直线运动；
(2)竖直方向： 直线运动.
梳理
必备知识
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①
vx＝v0x＝v0cos θ ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ④
1.斜抛运动中的极值
提升
关键能力
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大.
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大.
2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.
例8　(2021·江苏卷·9)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是
A.A比B先落入篮筐
B.A、B运动的最大高度相同
C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
√
若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；
因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；
由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同，D正确.
例9　(2023·浙江温州市模拟)如图甲所示是一种投弹式干粉消防车.如图乙，消防车从出弹口到高楼的水平距离为x，在同一位置消防车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v0，v0与水平方向夹角分别为θ1、θ2，击中点离出弹口高度分别为h1、h2，空中飞行时间分别为t1、t2.灭火弹可视为质点，两运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g.则下列说法正确的是
C.两枚灭火弹的发射角满足θ1＋θ2＝90°
D.水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x＝2gt1t2
√
五
课时精练
1.(2023·浙江省稽阳联谊学校联考)在北京冬奥会自由式滑雪女子空中技巧决赛中，中国选手徐梦桃以压倒性优势夺冠.空中技巧比赛中，运动员经跳台斜向上滑出后在空中运动时，若其重心轨迹与相同速度、不计阻力的斜抛小球轨迹重合，下列说法正确的是
A.斜向上运动过程中，运动员受斜向上作用力和重力
B.加速下落过程就是自由落体运动
C.在空中运动时，相等时间内运动员重心的速度变化相同
D.运动员运动到最高点瞬间，竖直方向分速度为零，竖直方向合力为零
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
基础落实练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
斜向上运动过程中，斜向上作用力的施力物体不存在，所以运动员不受斜向上作用力，故A错误；
加速下落过程不是自由落体运动，因为水平方向有速度，故B错误；
在空中运动时，加速度恒为重力加速度，为定值，则相等时间内运动员重心的速度变化相同，故C正确；
运动员运动到最高点瞬间，竖直方向受重力作用，合力不为零，故D错误.
2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力.下列关于子弹的说法正确的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝
可知下落高度相同，所以将击中P点；
又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝ 故选B.
3.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至B点，第二次的滞空时间比第一次长，不计空气阻力，则
A.两次滑出速度方向相同
B.两次腾空最大高度相同
C.第二次滑出速度一定大
D.第二次在最高点速度小
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
设滑板爱好者从A点滑出后竖直方向的分速度为vy，则空中运动的时间t＝ 第二次的滞空时间比第一次长，则第二次竖直方向的分速度大；两次水平方向的分位移大小相等，则第二次水平方向的分速度vx小，滑出速度方向与水平方向之间的夹角满足tan θ＝ 所以两次滑出速度方向一定不相同，故A错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
滑板爱好者从A到B做斜上抛运动，上升到的最大高度h＝ 第二次竖直方向的分速度大，则第二次腾空最大高度大，故B错误；
结合A的分析可知，第二次滑出竖直方向的分速度大，水平方向的分速度小，所以不能判断出两次滑出速度的大小关系，故C错误；
滑板爱好者到达最高点时竖直方向的分速度为零，在最高点的速度等于水平方向的分速度；第二次滑出水平方向的分速度小，则第二次滑出在最高点速度小，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.(2023·浙江瑞安市第六中学月考)如图所示，在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P点和Q点.已知O点是M点在地面上的竖直投影， ＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是
A.两小球的下落时间之比为1∶3
B.两小球的下落时间之比为1∶4
C.两小球的初速度大小之比为1∶3
D.两小球的初速度大小之比为1∶4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7.如图所示，一小球(视为质点)以速度v从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右.现将该小球以2v的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点.下列说法正确的是
A.落到M和N两点的小球在空中运动的时间之比大于1∶2
B.小球落到M和N两点的速度之比大于1∶2
C.小球落到N点时速度方向水平向右
D.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
能力综合练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由于落到斜面上M点时小球速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛运动，设在M点的速度大小为vx，把小球在斜面
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8.(多选)(2023·辽宁省模拟)如图所示，一倾角为θ且足够长的斜面固定在地面上，将小球A从斜面顶端以速度v1水平向右抛出，小球击中了斜面上的C点，将小球B从空中与小球A等高的某点以速度v2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为g，下列说法中正确的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C.若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛
落到斜面上所用时间最短
D.若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面
向上抛出落到斜面上所用时间最长
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
根据运动的合成与分解可知，小球B落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度大
小始终为gcos θ，则当小球B以垂直于斜面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C错误，D正确.
9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒.若重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小孩抛出
圆环的初速度可能是
A.4.3 m/s B.5.6 m/s
C.6.5 m/s D.7.5 m/s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
则平抛运动的最大速度
则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，故选B.
10.为加大生态环保力度，打赢污染防治攻坚战，某工厂坚决落实有关节能减排政策，该工厂水平的排水管道满管径工作，减排前、后落水点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后相同时间内的排水量之比为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
设水下落的高度为h，与水下落的时间t的关系为h＝ 故下落高度相同，水流入下方的时间相同，根据平抛运动水平方向的位移与时间关系x＝vt，减排前、后水的流速比就等于水平位移之比，所
以减排前、后相同时间内的排水量之比就等于水平位移之比，即为
A、C、D错误，B正确.
11.(2023·河北保定市高三检测)如图所示，某次跳台滑雪训练中，运动员(视为质点)从倾斜雪道上端的水平平台上以10 m/s的速度飞出，最后落在倾角为37°的倾斜雪道上.重力加速度大小取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力.下列说法正确的是
A.运动员的落点距雪道上端的距离为18 m
B.运动员飞出后到雪道的最远距离为1.25 m
C.运动员飞出后距雪道最远时的速度大小为12.5 m/s
D.若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向将改变
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
当运动员落在倾斜雪道上时，速度方向与水平方向
夹角的正切值tan α＝2tan 37°，即速度方向与水平方向的夹角是一定值，可知若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向不变，选项D错误.
12.(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光.某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示.图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力.求在抛出瞬间小球速度的大小.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13.(多选)2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角α＝37°、高H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越.把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.以下说法正确的是
A.运动员落至斜面乙时的速率为16 m/s
B.斜面乙的高度为7.2 m
C.运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20 m
D.两斜面间的水平距离约为11.1 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
素养提升练
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向速度大小为vx＝v1cos α＝8 m/s，落到斜面乙时，设速度大小为v2，则满足vx＝v2cos β，解得v2＝16 m/s，故A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
从斜面甲飞出时，运动员在竖直方向的速度大小为vy＝v1sin α＝6 m/s，则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为Hmax＝H＋ ＝16.8 m，故C错误；第2讲　抛体运动
目标要求　1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题.
2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题．
考点一　平抛运动的规律及应用
平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动．
4．基本规律
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.
1．平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．(　×　)
2．相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同．(　√　)
3．相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同．(　×　)
1．平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
2．两个推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α .
例1　(多选)a、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为va、vb，从抛出至碰到台上的时间分别为ta、tb，则(　　)
A．va＞vb
B．va＜vb
C．ta＞tb
D．ta＜tb
答案　AD
解析　由题图知，hb＞ha，因为h＝gt2，所以ta＜tb，又因为x＝v0t，且xa＞xb，所以va＞vb，选项A、D正确．
例2　(多选)(2023·浙江省金华十校模拟)如图是飞镖盘示意图，盘面画有多个同心圆用来表示环数，O是圆心，盘竖直挂在墙上，A是盘的最高点，B是盘的最低点．某同学玩飞镖时，飞镖的出手点与A等高，且每次飞镖的出手点相同，出手时飞镖速度与盘面垂直，第一支飞镖命中B点，第二支飞镖命中O点，若空气阻力不计，可知前、后两支飞镖(　　)
A．空中飞行时间之比是2∶1
B．空中飞行时间之比是∶1
C．出手时飞镖速度大小之比是1∶
D．命中前瞬间速度大小之比是1∶
答案　BC
解析　飞镖飞出时在竖直方向做自由落体运动，由y＝gt2，解得飞镖飞行时间为t＝，由题意可知，第一支飞镖和第二支飞镖飞行时间之比为t1∶t2＝∶1，A错误，B正确；飞镖飞出后水平方向做匀速直线运动，且水平位移相同，由x＝v0t可知，第一支飞镖和第二支飞镖出手速度大小之比为v01∶v02＝1∶，C正确；飞镖命中时的速度大小为v＝＝可见，第一支飞镖和第二支飞镖命中时速度大小之比不可能为1∶，D错误．
考点二　与斜面或圆弧面有关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面　　 分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向　 分解速度tan θ＝＝
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下　 分解位移 tan θ＝＝＝
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝＝＝
利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R　　
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示，已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方　　
考向1　与斜面有关的平抛运动
例3　(2023·浙江省名校协作体模拟)第24届冬季奥运会于2022年2月在北京成功举办，如图甲所示为运动员跳台滑雪运动瞬间，运动示意图如图乙所示，运动员从助滑雪道AB上由静止滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，运动轨迹上的E点的速度方向与滑道CD平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为t1与t2，忽略空气阻力，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．t1B．t1>t2
C．若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上的速度方向不变
D．若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上到C的距离也加倍
答案　C
解析　以C点为原点，以CD为x轴，以垂直CD向上方向为y轴，建立坐标系如图所示．对运动员的运动进行分解，y轴方向上的运动类似竖直上拋运动，x轴方向做匀加速直线运动．当运动员速度方向与滑道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上拋运动的对称性，知t1＝t2，A、B错误；设运动员落在滑道上的速度方向与水平方向的夹角为α，滑道的倾角为θ，则有tan α＝，tan θ＝＝＝，得tan α＝2tan θ，θ一定，则α一定，可知运动员落在滑道上的速度方向与从C点飞出时的速度大小无关，C正确．从抛出至落到滑道，tan θ＝＝，
得t＝
x＝v0t＝
若运动员离开C点时的速度v0加倍，则水平位移变为原来的4倍，
又s＝，则s也变为原来的4倍， D错误．
例4　(2023·福建宁德市高三月考)如图所示，1、2两个小球以相同的速度v0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则(　　)
A．t1∶t2＝1∶2 B．t1∶t2＝1∶3
C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1
答案　C
解析　由题意可得，对球1，有tan α＝＝，对球2，有tan β＝，又tan α·tan β＝1，联立解得t1∶t2＝2∶1，A、B、D错误，C正确．
考向2　与圆弧面有关的平抛运动
例5　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而vy2＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A正确．
考点三　平抛运动的临界和极值问题
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向．
2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．
考向1　平抛运动的临界问题
例6　如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的A点，A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍．已知球网的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设网球击出后在空中飞行的时间为t，因为A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为，则H＝gt2，H－h＝g()2，联立解得t＝，故选B.
考向2　平抛运动的极值问题
例7　某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　)
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
答案　C
解析　小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识可知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确．
考点四　斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t①
vx＝v0x＝v0cos θ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
1．斜抛运动中的极值
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
2．逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
例8　(2021·江苏卷·9)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是(　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
答案　D
解析　若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同，D正确．
例9　(2023·浙江温州市模拟)如图甲所示是一种投弹式干粉消防车．如图乙，消防车从出弹口到高楼的水平距离为x，在同一位置消防车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v0，v0与水平方向夹角分别为θ1、θ2，击中点离出弹口高度分别为h1、h2，空中飞行时间分别为t1、t2.灭火弹可视为质点，两运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)
A．高度之比＝
B．时间之比＝
C．两枚灭火弹的发射角满足θ1＋θ2＝90°
D．水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x＝2gt1t2
答案　C
解析　两灭火弹在竖直方向的初速度分别为vy1＝v0sin θ1，vy2＝v0sin θ2，根据vy2＝2gh，可得＝，根据vy＝gt，可得＝，故A、B错误；两灭火弹在水平方向有x＝v0cos θ1·，x＝v0cos θ2·，可得sin 2θ1＝sin 2θ2＝sin (180°－2θ2)，结合数学关系可得θ1＋θ2＝90°，故C正确；水平方向有＝v0cos θ1，竖直方向有gt2＝v0sin θ2，又由θ1＋θ2＝90°得sin θ2＝cos θ1，可得x＝gt1t2，故D错误．
课时精练
1.(2023·浙江省稽阳联谊学校联考)在北京冬奥会自由式滑雪女子空中技巧决赛中，中国选手徐梦桃以压倒性优势夺冠．空中技巧比赛中，运动员经跳台斜向上滑出后在空中运动时，若其重心轨迹与相同速度、不计阻力的斜抛小球轨迹重合，下列说法正确的是(　　)
A．斜向上运动过程中，运动员受斜向上作用力和重力
B．加速下落过程就是自由落体运动
C．在空中运动时，相等时间内运动员重心的速度变化相同
D．运动员运动到最高点瞬间，竖直方向分速度为零，竖直方向合力为零
答案　C
解析　斜向上运动过程中，斜向上作用力的施力物体不存在，所以运动员不受斜向上作用力，故A错误；加速下落过程不是自由落体运动，因为水平方向有速度，故B错误；在空中运动时，加速度恒为重力加速度，为定值，则相等时间内运动员重心的速度变化相同，故C正确；运动员运动到最高点瞬间，竖直方向受重力作用，合力不为零，故D错误．
2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是(　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
答案　B
解析　由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B.
3.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案　AD
解析　由tan θ＝可得小球平抛的初速度大小v0＝，A正确；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝＝＝＝tan θ可知，α≠，B错误；小球做平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，C错误；由tan θ＝可知，v0越大，θ越小，D正确．
4.如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至B点，第二次的滞空时间比第一次长，不计空气阻力，则(　　)
A．两次滑出速度方向相同
B．两次腾空最大高度相同
C．第二次滑出速度一定大
D．第二次在最高点速度小
答案　D
解析　设滑板爱好者从A点滑出后竖直方向的分速度为vy，则空中运动的时间t＝，第二次的滞空时间比第一次长，则第二次竖直方向的分速度大；两次水平方向的分位移大小相等，则第二次水平方向的分速度vx小，滑出速度方向与水平方向之间的夹角满足tan θ＝，所以两次滑出速度方向一定不相同，故A错误；滑板爱好者从A到B做斜上抛运动，上升到的最大高度h＝，第二次竖直方向的分速度大，则第二次腾空最大高度大，故B错误；结合A的分析可知，第二次滑出竖直方向的分速度大，水平方向的分速度小，所以不能判断出两次滑出速度的大小关系，故C错误；滑板爱好者到达最高点时竖直方向的分速度为零，在最高点的速度等于水平方向的分速度；第二次滑出水平方向的分速度小，则第二次滑出在最高点速度小，故D正确．
5.(2023·浙江瑞安市第六中学月考)如图所示，在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P点和Q点．已知O点是M点在地面上的竖直投影，∶＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．两小球的下落时间之比为1∶3
B．两小球的下落时间之比为1∶4
C．两小球的初速度大小之比为1∶3
D．两小球的初速度大小之比为1∶4
答案　D
解析　依题意两小球下落高度相同，根据公式h＝gt2，可知两小球的下落时间之比为1∶1，故A、B错误；两小球的水平位移之比为＝＝，又x＝v0t，解得＝，故C错误，D正确．
6.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　　)
A．t＝v0tan θ B．t＝
C．t＝ D．t＝
答案　D
解析　如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝，而x＝v0t，y＝gt2，联立解得t＝，故选D.
7.如图所示，一小球(视为质点)以速度v从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M点且速度水平向右．现将该小球以2v的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N点．下列说法正确的是(　　)
A．落到M和N两点的小球在空中运动的时间之比大于1∶2
B．小球落到M和N两点的速度之比大于1∶2
C．小球落到N点时速度方向水平向右
D．M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶2
答案　C
解析　由于落到斜面上M点时小球速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛运动，设在M点的速度大小为vx，把小球在斜面底端的速度v分解为水平速度vx和竖直速度vy，则x＝vxt，y＝gt2，位移间的关系tan θ＝，联立解得在空中飞行时间t＝，且vy＝gt＝2vxtan θ，v和水平方向夹角的正切值tan α＝＝2tan θ，为定值，即落到N点时速度方向水平向右，故C正确；速度大小为v＝＝vx，即v与vx成正比，故落到M和N两点的速度之比为1∶2，故B错误；由t＝知，落到M和N两点的小球在空中运动的时间之比为1∶2，故A错误；竖直高度为y＝gt2＝，y与vx2成正比，则M和N两点距离斜面底端的高度之比为1∶4，故D错误．
8.(多选)(2023·辽宁省模拟)如图所示，一倾角为θ且足够长的斜面固定在地面上，将小球A从斜面顶端以速度v1水平向右抛出，小球击中了斜面上的C点，将小球B从空中与小球A等高的某点以速度v2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　)
A．小球A在空中运动的时间为
B．小球B在空中运动的时间为
C．若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛落到斜面上所用时间最短
D．若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出落到斜面上所用时间最长
答案　AD
解析　设小球A在空中运动的时间为t1，则x1＝v1t1，y1＝gt12，tan θ＝，联立解得t1＝，故A正确；设小球B在空中运动的时间为t2，则tan θ＝，解得t2＝，故B错误；根据运动的合成与分解可知，小球B落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度大小始终为gcos θ，则当小球B以垂直于斜面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C错误，D正确．
9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒．若重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是(　　)
A．4.3 m/s B．5.6 m/s
C．6.5 m/s D．7.5 m/s
答案　B
解析　根据h1－h2＝gt2得
t＝＝ s＝0.2 s，
则平抛运动的最大速度
v1＝＝ m/s＝6.0 m/s，
最小速度v2＝＝ m/s＝5.0 m/s，
则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，故选B.
10.为加大生态环保力度，打赢污染防治攻坚战，某工厂坚决落实有关节能减排政策，该工厂水平的排水管道满管径工作，减排前、后落水点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后相同时间内的排水量之比为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设水下落的高度为h，与水下落的时间t的关系为h＝gt2，故下落高度相同，水流入下方的时间相同，根据平抛运动水平方向的位移与时间关系x＝vt，减排前、后水的流速比就等于水平位移之比，所以减排前、后相同时间内的排水量之比就等于水平位移之比，即为，A、C、D错误，B正确．
11.(2023·河北保定市高三检测)如图所示，某次跳台滑雪训练中，运动员(视为质点)从倾斜雪道上端的水平平台上以10 m/s的速度飞出，最后落在倾角为37°的倾斜雪道上．重力加速度大小取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　)
A．运动员的落点距雪道上端的距离为18 m
B．运动员飞出后到雪道的最远距离为1.25 m
C．运动员飞出后距雪道最远时的速度大小为12.5 m/s
D．若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向将改变
答案　C
解析　根据平抛运动知识可知，x＝v0t，y＝gt2，tan 37°＝，联立解得t＝1.5 s，则运动员的落点距雪道上端的距离为s＝＝18.75 m，选项A错误；当运动员速度方向与倾斜雪道方向平行时，距离倾斜雪道最远，根据平行四边形定则知，速度v＝＝12.5 m/s，选项C正确；运动员飞出后到雪道的最远距离为h＝＝2.25 m，选项B错误；当运动员落在倾斜雪道上时，速度方向与水平方向夹角的正切值tan α＝2tan 37°，即速度方向与水平方向的夹角是一定值，可知若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向不变，选项D错误．
12.(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7.重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．
答案　 m/s
解析　频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t＝4T＝4×0.05 s＝0.2 s．设抛出瞬间小球的速度为v0，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为y1、y2，根据平抛运动位移公式有x＝v0t，y1＝gt2＝×10×0.22 m＝0.2 m，y2＝g(2t)2－gt2＝×10×(0.42－0.22) m＝0.6 m，令y1＝y，则有y2＝3y1＝3y
已标注的线段s1、s2分别为s1＝
s2＝＝
则有∶＝3∶7
整理得x＝y，故在抛出瞬间小球的速度大小为v0＝＝ m/s.
13.(多选)2022年北京冬奥会在北京和张家口举行，北京成为了历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．图示为某滑雪运动员训练的场景，运动员以速度v1＝10 m/s沿倾角α＝37°、高H＝15 m的斜面甲飞出，并能无碰撞地落在倾角β＝60°的斜面乙上，顺利完成飞越．把运动员视为质点，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.以下说法正确的是(　　)
A．运动员落至斜面乙时的速率为16 m/s
B．斜面乙的高度为7.2 m
C．运动员在空中飞行时离地面的最大高度为20 m
D．两斜面间的水平距离约为11.1 m
答案　AB
解析　运动员在水平方向做匀速直线运动，水平方向速度大小为vx＝v1cos α＝8 m/s，落到斜面乙时，设速度大小为v2，则满足vx＝v2cos β，解得v2＝16 m/s，故A正确；设斜面乙高度为h，从斜面甲到斜面乙过程中，由机械能守恒定律得mg(H－h)＝mv22－mv12，解得h＝7.2 m，故B正确；从斜面甲飞出时，运动员在竖直方向的速度大小为vy＝v1sin α＝6 m/s，则运动员在空中飞行时离地面的最大高度为Hmax＝H＋＝16.8 m，故C错误；运动员到达斜面乙的竖直方向速度大小为vy′＝v2sin β＝8 m/s，则在空中运动的时间t＝＝ s，则水平距离为x＝vxt≈15.9 m，故D错误．

展开更多......

收起↑