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09计数原理与概率统计（填空题、双空题）-2023届天津市高考数学二轮复习专题练习【2023高考模拟题精选】
一、填空题
1．（2023·天津河北·统考一模）的展开式中的常数项为______.
2．（2023·天津·统考二模）在的展开式中，常数项为______________.（结果用数字表示）
3．（2023·天津和平·统考二模）若在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
4．（2023·天津河东·一模）的展开式中，项的系数为________．（用数字作答）
5．（2023·天津·三模）在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为________．
6．（2023·天津·统考一模）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________.
7．（2023·天津和平·统考一模）的展开式中常数项为__________.
8．（2023·天津河东·统考二模）在的展开式中，的系数是____________.
9．（2023·天津南开·统考一模）二项式的展开式中的系数是___________.
10．（2023·天津·统考一模）在的二项展开式中，含的项的系数是_______．（用数字作答）
11．（2023·天津河西·统考二模）若的展开式中的系数为7，则实数______.
12．（2023·天津·二模）若的展开式中所有项系数的绝对值之和为，则该展开式中的常数项是______.
13．（2023·天津红桥·统考一模）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．
14．（2023·天津红桥·统考一模）展开式中的常数项为__________．
二、双空题
15．（2023·天津·三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则________．
16．（2023·天津·统考二模）某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行5个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为0.6，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为________；甲5个轮次通过的次数的期望是_____________.
17．（2023·天津和平·统考二模）在学校大课间体育活动中，甲 乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲 乙每人各投篮一次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲 乙每次投篮命中的概率分别为和，且每局比赛甲 乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲 乙平局的概率为__________；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，求的数学期望__________．
18．（2023·天津南开·统考一模）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________.
19．（2023·天津河东·一模）甲、乙两名射手射中10环的概率分别为、（两人射中10环与否相互独立），已知两人各射击1次．两人都射中10环的概率为________；两人命中10环的总次数为，则随机变量的期望为________．
20．（2023·天津·统考一模）袋中装有大小 形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是__________；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是__________.
21．（2023·天津和平·统考一模）先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1 2 3 4 5 6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x y中有偶数且”，则概率___________，___________.
22．（2023·天津·统考一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是__________，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件， “第二次取到红球”为事件，则__________.
23．（2023·天津河北·统考一模）盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________.
24．（2023·天津河东·统考二模）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
25．（2023·天津·一模）某高中数学社团招募成员，依次进行笔试，面试两轮选拔，每轮结果都分“合格”和“不合格”.当参选同学在第一轮笔试中获得“合格”时，才能进入下一轮面试选拔，两轮选拔都合格的同学入选到数学社团.现有甲同学参加数学社团选拔，已知甲同学在笔试，面试选拔中获得“合格”和“不合格”的概率分别为，，且在笔试，面试两轮选拔中取得的成绩均相互独立，互不影响且概率相同，则甲同学能进入到数学社团的概率是___________，设甲同学在本次数学社团选拔中恰好通过X轮选拔，则数学期望___________．
26．（2023·天津河西·统考二模）设甲 乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲 乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量的数学期望为___________；设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，则事件发生的概率为___________.
27．（2023·天津·二模）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是_______；随机变量期望是_______.
参考答案：
1．
【分析】首先写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为，
令，解得，
常数项为.
故答案为：．
2．
【分析】根据二项展开式通项，令即可求得常数项.
【详解】展开式通项为：，
令，解得：，，即常数项为.
故答案为：.
3．
【分析】写出二项展开式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，
因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
4．90
【分析】求出展开式的通项公式，可得展开式为时的值，代入可得展开式中项的系数.
【详解】展开式的通项公式为，
得，所以项的系数为
故答案为：90
5．
【分析】先写出的展开式的通项，然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得，再令通项中的的次数为1可求得，进而可求出展开式中含x项的系数.
【详解】的展开式通项为，
根据前三项的系数成等差数列得，
解得或（舍去）
令，得，
展开式中含x项的系数.
故答案为：.
6．
【分析】先根据二项式系数之和求出，然楼根据展开式的通式，令的次数为零即可得常数项.
【详解】由展开式的二项式系数之和为64得，解得，
即，其展开式的通式为
令得，
故答案为：.
7．60
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】∵展开式第项，
∴当时，，
故展开式中常数项为.
故答案为：60.
8．
【分析】写出二项式展开式通项，确定含项的值，代入通项公式求系数即可.
【详解】由题设，展开式通项为，
当时，,
∴的系数是.
故答案为：
9．40
【分析】先求得二项式的通项公式，再令x的次数为2求解.
【详解】二项式的通项公式为： ，
令，解得，
所以，
所以展开式中的系数是40，
故答案为：40
10．240
【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可.
【详解】根据二项式定理,的通项为，
当时,即时,可得.
即项的系数为.
故答案为：.
11．
【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据系数，即可求得参数值.
【详解】的通项公式，
令，解得.
故可得，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值，属简单题.
12．
【分析】利用“的展开式中所有项系数和”与“的展开式中所有项系数的绝对值之和”之间的关系，求得的值，进而求得的展开式中的常数项.
【详解】二项式展开式的通项公式为
，
由于“的展开式中所有项系数的绝对值之和”等于“的展开式中所有项系数和”.
由，令，可得，解得.
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得.所以二项式展开式的常数项为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式的通项公式的运用，属于中档题.
13．
【分析】设事件表示“该选手能正确回答第轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入的值，可得结果；
【详解】记“该选手能正确回答第轮的问题”为事件，则.
该选手被淘汰的概率：
故答案为：
【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
14．.
【分析】利用通项公式即可得出．
【详解】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，
令12﹣3r＝0，解得r＝4．
∴展开式中的常数项15．
故答案为15．
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15． ； 4.
【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.
【详解】由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；
当时，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
则．
当时，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
则．
故．
故答案为：；4.
16． / /
【分析】由独立事件的乘法公式得出甲第一轮通过的概率，再由服从二项分布得出甲5个轮次通过的次数的期望.
【详解】“第次投中”，，
则甲第一轮通过的概率为.
的可能取值为，服从二项分布，
则甲5个轮次通过的次数的期望是.
故答案为：；.
17． /
【分析】第一空，考虑两人平局情况，根据相互独立事件的乘法公式，即可求得答案；第二空，求出甲每局获胜的概率，确定甲获胜的局数，根据二项分布的期望公式即可求得答案.
【详解】由题意知甲 乙每次投篮命中的概率分别为和，
则甲 乙平局的情况为两人都投中或都不中，故平局概率为；
甲每局获胜的概率为，
故共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为，则，
故，
故答案为：；
18． / /
【分析】根据全概率公式和条件概率公式计算即可.
【详解】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，
恰有一个是合格品的概率为，
若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.
故答案为：；.
19．
【分析】两人都射中10环可以看作2个互斥事件乘积计算概率即可；根据独立事件发生结果和对应的概率，求期望即可求解.
【详解】互斥事件同时发生：
由题意可得
,
，
故答案为：；；
20．
【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算即可得到结果；根据二项分布的概率计算公式，即可得到结果.
【详解】设第一次抽到白球为事件，第二次抽到白球为事件，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为，
因为，，
所以.
若有放回的抽取，设在3次抽取中抽到的白球个数为，则服从二项分布，即，所以.
故答案为: ;.
21． /0.5
【分析】由古典概率公式求出、，利用条件概率公式可得结果.
【详解】解：若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，
事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，
所以，，
因此，.
故答案为：；.
22．
【分析】（1）直接使用公式；（2）条件概率公式的使用.
【详解】恰有一个白球的概率；
由题可知“第一次取到红球”， “第二次取到红球”，则
，，
所以.
故答案为：，.
23． ； .
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以.
（2），.
故答案为：；.
24． ， /
【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案为：，.
25．
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可得空1；由相互独立事件的乘法公式分别求出甲同学通过0、1、2轮选拔的概率，然后由期望公式可得.
【详解】记甲同学通过笔试为事件A，通过面试为事件B，
因为，所以
则甲同学能进入到数学社团的概率；
甲同学无法通过笔试的概率，
通过笔试但没有通过面试的概率，
得分布列：
X 0 1 2
P
所以.
故答案为：，.
26． 2
【分析】由题设知，根据二项分布的期望公式求期望，应用独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求为事件的概率.
【详解】由题意知：，且服从，
∴.
甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2的基本事件有{甲3天乙1天，甲2天乙0天}，又，，，，
∴.
故答案为：2，.
【点睛】关键点点睛：由题设确定服从的二项分布，进而求期望，求各可能值的概率，结合独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率.
27．
【详解】根据题意知ξ=0，1，2，
；
；
；
所以.
故答案为.
试卷第1页，共3页
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