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解决问题重难点特训：长方体和正方体（专项突破）-小学数学五年级下册人教版
1．下面是老师为同学们准备的小棒（有剩余），试着用这些小棒和一些橡皮泥做一个长方体框架。
小棒长度 根数
3
8
5
（1）相交于同一个顶点的三条棱分别长多少厘米？
（2）这个长方体框架的棱长总和是（ ）。
2．要捆扎一种长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米的礼盒（如下图），打结处的绳长50厘米，这根包装绳长多少厘米？
3．一个长方体的棱长总和是64分米，量得它的下底面的周长是22分米，这个长方体的高应该是多少分米？
4．有一个长方体，底面是正方形，高是底面边长的2倍，这个长方体的棱长总和是64厘米．这个长方体的底面面积是多少平方厘米？．
5．一个长方体的棱长总和是96cm，这个长方体的长是宽的2倍，高与宽相等，长、宽和高分别多少厘米？
6．一个蓄水池长10m，宽6m，高1.5m，这个蓄水池的占地面积是多少？它最多能蓄水多少吨？（1m3的水重1吨）
7．一个长30厘米，宽18厘米，高10厘米的长方体容器里盛着一些水，水深8厘米。将一个物体放入该容器，并完全浸没水中，这时，容器内的水溢出50毫升。这个物体的体积是多少立方厘米？
8．如图，一个玻璃做成的长方体无盖的鱼缸。（单位：厘米）
（1）将这个鱼缸放在桌面上，占桌面的面积是多少平方厘米？
（2）做这个鱼缸，最少需要玻璃多少平方厘米？
（3）这个鱼缸最多可装水多少升？（缸壁厚度忽略不计）
9．淘气把一个长12dm，宽9dm，高7dm的长方体木块削成尽可能大的正方体，这个正方体木块的体积是多少？
10．一根长方体木料，长3.5米，横截面是边长为4分米的正方形。这根木料的体积是多少立方米？
11．一个长方体包装盒，从里面量长34cm，宽20cm，体积为9.52dm3。爸爸想用它包装一件长30cm、宽17cm，高16cm的玻璃器皿，是否可以装得下？
12．如图是用6个同样的牙膏盒拼成的图形，每个牙膏盒长22cm，宽和高都是4.5cm。
（1）这些牙膏盒的体积是多少立方厘米？
（2）这个图形的表面积是多少平方厘米？
13．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知正方体的棱长6厘米，长方体的长7厘米，宽6厘米，那么长方体的高是多少厘米？长方体的体积是多少立方厘米？
14．
选用上面几种不同规格的纸板，可以围成不同的长方体和正方体。
（1）小明想围一个体积最大的正方体：他应该选用（ ）号纸板、（ ）张。
（2）如果要围两个不同的长方体，分别选择哪些纸板？各几张？填在下表中。（在选用纸板规格的编号下写出需要的张数）
15．亮亮用排水法测一个土豆的体积，下面是他测试的前后对比图（单位：厘米）。
（1）这个土豆的体积为多少立方厘米？
（2）放入土豆后，水与玻璃缸的接触面增加了多少平方厘米？
16．一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？
17．有一个正方体水箱，从里面量每边长5dm，如果一满箱水倒入一个长0.8m、宽25cm的长方体水池内，水深多少分米？
18．如图，这座领奖台由四个相同的长方体拼合而成，把它的前后面和②、③两侧面涂上白色油漆，踏板和①的侧面铺上红地毯。（单位：厘米）
（1）需要油漆部分的面积是多少？
（2）这个领奖台所占的空间有多大？
参考答案：
1．（1）三条棱分别长、、
（2）72
【分析】（1）长方体有4个长、4个宽和4个高，而9厘米长的小棒只有3根，所以做长方体框架时不能用9厘米长的小棒，只能用8根7厘米长的小棒和4根4厘米长的小棒。
（2）根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体框架的棱长总和即可。
【详解】（1）答：相交于同一个顶点的三条棱分别长7厘米、7厘米、4厘米。
（2）（7＋7＋4）×4
＝18×4
＝72（cm）
所以这个长方体框架的棱长总和是72cm。
【点睛】本题考查长方体的特征，解答本题的关键是掌握长方体的棱长特征。
2．110厘米
【分析】观察图形可知，包装绳子的长度等于礼盒的两条长加上两条宽再加上四条高的长度，最后再加上打结处的绳长即可。
【详解】10×2＋8×2＋6×4＋50
＝20＋16＋24＋50
＝36＋24＋50
＝60＋50
＝110（厘米）
答：这根包装绳长110厘米。
【点睛】本题考查长方体的特征，明确长方体的特征是解题的关键。
3．5分米
【分析】长方体的底面周长是长方体2个长、2个宽的和，将底面周长乘2，即可求出长方体4个长、4个宽的和。将长方体棱长和减去4个长、4个宽的和，求出4个高的和，再将4个高的和除以4，即可求出这个长方体的高。
【详解】（64－22×2）÷4
＝（64－44）÷4
＝20÷4
＝5（分米）
答：这个长方体的高应该是5分米。
【点睛】本题考查了长方体的棱长和，长方体4个长、4个宽和4个高的和是长方体的棱长和。
4．16平方厘米
【详解】试题分析：根据长方体的棱长之和，以及高是底面边长的2倍，先求出它的底面边长，再利用正方形的面积公式计算即可．
解：64÷（2×4+8），
=64÷16，
=4（厘米），
4×4=16（平方厘米）．
答：这个长方体的底面面积是16平方厘米．
点评：此题考查了长方体的棱长之和与长方形的面积公式的灵活应用．利用高是底面边长的2倍求出长方体的底面边长是本题的关键．
5．长是12厘米，高与宽都是6厘米
【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和。再根据长宽高的关系，进而求出长、宽和高。
【详解】96÷4＝24（厘米）
解：设宽为x，则高也为x，长为2x
x＋x＋2x＝24
4x＝24
x＝6
2×6＝12（厘米）
答：这个长方体的长是12厘米，高与宽都是6厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的棱长之和的计算方法的灵活应用。
6．60平方米；90吨
【分析】求蓄水池的占地面积就是求蓄水池的底面积；先利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出蓄水池的体积，蓄水池的蓄水质量＝蓄水池的体积×每立方米蓄水池蓄水的质量；据此解答。
【详解】占地面积：10×6＝60（平方米）
10×6×1.5×1
＝60×1.5
＝90（吨）
答：这个蓄水池的占地面积是60平方米，它最多能蓄水90吨。
【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
7．1130立方厘米
【详解】30×18×（10－8）＋50
＝30×18×2＋50
＝1130（立方厘米）
答：这个物体的体积是1130立方厘米。
8．（1）1800cm
（2）9000cm
（3）72L
【分析】（1）求鱼缸占桌面的面积即是求长方体的底面积；
（2）这个鱼缸是无盖的，所以要求做这个鱼缸需要玻璃的面积即是求长方体一个底面积加上四个侧面的面积之和；
（3）要求这个鱼缸装水的体积（缸壁厚度忽略不计），根据体积公式进行计算即可；据此解答。
【详解】（1）60×30＝1800（平方厘米）
答：将这个鱼缸放在桌面上，占桌面的面积是1800平方厘米。
（2）60×30＋60×40×2＋40×30×2
＝1800＋4800＋2400
＝9000（平方厘米）
答：做这个鱼缸，最少需要玻璃9000平方厘米。
（3）60×30×40
＝1800×40
＝72000（立方厘米）
72000立方厘米＝72L
答：这个鱼缸最多可装水72升。
【点睛】本题主要考查了长方体的应用，关键是要理解求占地面积是求长方体的底面积，求表面积是要注意分析题目所要求的面的数量；并且要熟练掌握长方体的表面积公式、体积公式。
9．343 dm
【分析】根据长方体内最大的正方体的棱长是长方体的最短棱长，可得正方体的棱长是4dm，则正方体的体积：7×7×7＝343（dm）
【详解】根据分析可知：7×7×7＝343（dm）
答：这个正方体木块的体积是343dm。
【点睛】此题考查了正方体的体积公式的应用，抓住长方体内最大的正方体的棱长特点是解决本题的关键。
10．0.56立方米
【分析】先根据进率：1米＝10分米，将4分米换算成0.4米；已知长方体木料的横截面是边长为0.4米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，求出横截面的面积；然后根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出这根木料的体积。
【详解】4分米＝0.4米
0.4×0.4×3.5
＝0.16×3.5
＝0.56（立方米）
答：这根木料的体积是0.56立方米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，求出长方体横截面的面积是解题的关键。
11．装不下
【详解】略
12．（1）2673立方厘米 （2）1705.5平方厘米
【分析】（1）由图形可知，每排摆2个，摆了3排，这个立体图形的长是（22×2）厘米，宽是（4.5×3）厘米，高是4.5厘米；根据长方体的体积公式解答即可；
（2）根据长方体的表面积公式S =2（ab+ah+bh）解答即可。
【详解】（1）22×4.5×4.5×6=2673（cm3）
答：这些牙膏盒的体积是2673立方厘米。
（2）长：22×2=44（cm）
宽：4.5×3=13.5（cm）
高：4.5cm
（44×13.5+44×4.5+13.5×4.5）×2
=852.75×2
=1705.5（cm2）
答：这个图形的表面积是1705.5平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的体积和表面积的计算，解答关键是求出拼成的立体图形的长、宽、高，再根据长方体的体积、表面积公式解答即可。
13．5厘米；210立方厘米
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12。长方体有12条棱，长宽高为一组，有4组。先计算正方体的棱长总和，长方体和正方体的棱长总和相等。再用长方体的棱长总和除4，得到一组长宽高的和，再减去长和宽，可以计算出高。根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出体积。
【详解】6×12＝72（厘米）
72÷4－7－6
＝18－7－6
＝11－6
＝5（厘米）
7×6×5
＝42×5
＝210（立方厘米）
答：长方体的高是5厘米，长方体的体积是210立方厘米。
【点睛】本题主要考查长方体和正方体的特征及长方体的体积，关键要理解长方体的棱长的特征。
14．（1）⑤；6
（2）见详解
【分析】（1）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，只要选择围起来棱长最长的纸板即可。
（2）长方体有6个面，对面完全一样，相对的棱长度相等，据此选择纸板。
【详解】（1）小明想围一个体积最大的正方体：他应该选用⑤号纸板、6张。
（2）
答案不唯一
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握正方体体积公式。
15．（1）153.6立方厘米
（2）76.8平方厘米
【分析】（1）根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此代入数值进行计算即可；
（2）放入土豆后，水与玻璃缸的接触面增加的面积是长为8厘米，宽为8厘米，高为7.2－4.8＝2.4厘米的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此解答即可。
【详解】（1）8×8×（7.2－4.8）
＝64×2.4
＝153.6（立方厘米）
答：这个土豆的体积为153.6立方厘米。
（2）8×4×（7.2－4.8）
＝32×2.4
＝76.8（平方厘米）
答：放入土豆后，水与玻璃缸的接触面增加了76.8平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的体积，明确不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度是解题的关键。
16．324立方厘米
【分析】增加的表面积÷增加的高＝底面正方形的周长，正方形周长÷4＝边长，即正方体棱长，棱长＋增加的高＝新长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】72÷3＝24（厘米）
24÷4＝6（厘米）
6＋3＝9（厘米）
6×6×9＝324（立方厘米）
答：新长方体的体积是324立方厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式。
17．6.25分米
【分析】根据正方体的体积公式为：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可求出正方体水箱的容积，再结合长方体的体积公式：长方体体积＝长×宽×高，即可求解。
【详解】0.8m＝8dm，25cm＝2.5dm
5×5×5÷（8×2.5）
＝125÷20
＝6.25（分米）
答：水深6.25分米。
【点睛】此题注意统一单位，再结合正方体和长方体体积公式求解。
18．（1）10800平方厘米；（2）144000立方厘米
【分析】（1）根据长方体的特征：相对的面面积相等，它的前后面和②、③两侧面涂上白色油漆，前后面分别是4个完全相同的长方形，长是60厘米，宽是20厘米，②、③两侧面分别是2个完全相同的长方形，长是30厘米，宽是20厘米，根据长方形的面积公式解答即可；（2）根据长方体的体积公式：，求出一个长方体的体积，再乘4求出4个长方体的体积是多少立方厘米即可。
【详解】（1）
（平方厘米）
答：需要油漆部分的面积是10800平方厘米。
（2）（立方厘米）
答：这个领奖台所占的空间为144000立方厘米。
【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。

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