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解决问题重难点特训：圆柱与圆锥（专项突破）
小学数学六年级下册人教版
1．把一个底面积是125.6平方厘米的圆锥形钢锭完全浸没在一个底面半径10厘米的圆柱形容器的水中，水面上升了2厘米，圆锥高几厘米？
2．一个圆柱形铁皮盒，底面半径是2分米，高5分米，在这个盒子的侧面贴上商标纸，需要多少平方米的纸？
3．把下图中的三角形以AB为轴旋转一周，可以形成一个什么图形？它的体积是多少立方厘米？
4．一个圆柱形机器零件，底面半径是2厘米，侧面积是125.6平方厘米，求零件的高是多少厘米？
5．一个从里面量底面半径是4cm、高是10cm的圆柱形杯子，能装下500mL的果汁吗？
6．一根底面直径是2分米、长是2米的圆木，要锯成横截面是最大的正方形的方木，需要锯下多少木料？
7．一个圆柱原来高8厘米，圆柱的高截去4厘米，表面积就减少25.12平方厘米，原来的表面积是多少平方厘米？
8．一个圆柱体油漆桶，高为6分米，底面直径是高的，做这个油漆桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数）
9．如图1，在底面积为100cm2，高为20cm的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图2所示．
（1）图2中，点　 　表示烧杯中刚好注满水．点　 　表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐．
（2）求烧杯的底面积，及注满水槽所用的时间．
10．圆柱形无盖铁皮水桶的高与底面直径的比是3：2，底面直径是4分米．做这样的2只水桶要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米）
11．把一个底面直径为40厘米的金属圆锥浸在底面直径为80厘米圆柱形玻璃杯里，这时杯中水面比原来升高了2厘米，求金属圆锥的高．
12．一个圆柱形水池，从里面量，底面周长是31.4米，深是2米。
（1）要在水池的内壁和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）如果每平方米需要抹水泥20千克，一共需要水泥多少千克？
（3）池内最多能蓄水多少吨？（每立方米水重1吨）
13．一个圆锥形沙堆的底面周长是18.84米，高是5米，每立方米售价30元，王大爷准备买下它盖房用，他应付多少钱？
14．把一个长5厘米、宽和高都是3厘米的长方体和一个棱长3厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36平方厘米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少？
15．一张DVD光盘的外直径是120mm,厚1.2mm,如果一个光盘盒能装50张这样的光盘,那么这个光盘盒的容积最少是多少立方厘米 (得数保留整数)
16．大厅里有8根圆柱形木桩要刷油漆，木桩底面周长2.5米，高4.2米，1千克的油漆可以漆6平方米，那么刷这些木桩要多少油漆？
17．一个圆柱的表面积和长方形的面积相等，已知长方形的面积是251.2平方厘米，圆柱的底面半径是2厘米，圆柱的高是多少厘米？
18．一个圆锥形物体的底面周长是12.56分米，高6分米。
（1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？
（2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？
19．如图所示，许多在容器中添加了一些水，刚好填满圆柱体的杯身，那么将其反转放置的时候，水面的高度会是多少厘米？（π取3.14）
20．如图，一个圆柱形铁皮桶，底面直径是4分米，高是5分米。（结果保留π）
（1）做这个铁皮桶至少需要铁皮多少平方分米？
（2）这个铁皮桶最多可以盛水多少升？（铁皮厚度不计）
参考答案：
1．15厘米
【详解】试题分析：上升2厘米的水的体积就是底面积为125.6平方厘米的圆锥的体积，由此利用圆柱的体积公式求出上升的水的体积，再利用圆锥的高=体积×3÷底面积，求圆锥的高．
解：3.14×102×2×3÷125.6，
=3.14×100×2×3÷125.6，
=1884÷125.6，
=15（厘米）；
答：圆锥的高是15厘米．
点评：此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的综合应用，这里根据题干得出圆锥的体积=上升部分水的体积是解决问题的关键．
2．0.628平方米
【详解】2×3. 14×2×5 ＝62. 8 (平方分米)＝0. 628平方米
答：需要0. 628平方米的纸。
3．圆锥；401.92立方厘米
【分析】以直角三角形的直角边为轴，旋转一周，得到的几何体是圆锥，以AB为轴旋转一周，得到的圆锥高是6厘米，底面半径是8厘米，根据圆锥体积公式计算体积即可。
【详解】以AB为轴旋转一周，可以形成一个圆锥，圆锥的高是6厘米，底面半径是8厘米；
（立方厘米）
答：形成的图形是圆锥；体积是401.92立方厘米。
【点睛】以直角三角形的直角边为轴，旋转一周，得到的几何体是圆锥，其中，作为旋转轴的这一条边是圆锥的高，另一条边是圆锥的底面半径。
4．10厘米
【详解】试题分析：根据圆柱的侧面积等于底面周长乘高，即S=ch=2πrh，可得：h=侧面积÷2πr，据此代入数据，由此得出答案．
解：125.6÷（3.14×2×2），
=125.6÷12.56，
=10（厘米）；
答：这个零件的高是10厘米．
点评：此题主要考查圆柱的侧面积公式的计算应用，熟记公式即可解答．
5．能装下
【分析】根据圆柱的体积V＝πr2h，求出圆柱形杯子的容积，与500mL比较即可。
【详解】3.14×42×10
＝3.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
＝502.4（mL）
502.4＞500
答：能装下500mL的果汁。
【点睛】此题考查了圆柱的体积（容积）的计算，牢记公式认真计算即可。
6．22.8立方分米
【详解】试题分析：用圆柱的体积减去方木的体积，就是需要锯下木料的体积，圆柱的体积可根据圆柱的体积公式求出，方木的底面是以对角线是2分米的正方形，它面积是2×2÷2=2平方分米，方木的体积就是2×20=40立方分米．据此解答．
解：2米=20分米，
3.14×（2÷2）2×20﹣2×2÷2×20，
=3.14×1×20﹣2×2÷2×20，
=62.8﹣40，
=22.8（立方分米）；
答：需要锯下22.8立方分米的木料．
点评：本题的关键是求出方木的体积，难点是求出方木的底面积是多少．
7．56.52平方厘米
【详解】试题分析：表面积减少的数除以高减少的数，得到圆柱的底面周长，由底面周长可求底面半径，进而可求底面积，底面周长乘以高可得侧面积，两个底面积加侧面积得表面积．
解：底面周长：25.12÷4=6.28（厘米），
底面半径：6.28÷3.14÷2=1（厘米），
两个底面积：3.14×12×2=6.28（平方厘米），
侧面积：6.28×8=50.24（平方厘米），
表面积：50.24+6.28=56.52（平方厘米）．
答：原来圆柱的表面积是56.52平方厘米．
点评：关键从高减少，表面积减少的是侧面的面积切入进行解答．
8．100平方分米
【详解】半径：6×÷2＝2分米
底面积：2×2×3.14＝12.56平方分米
底面周长：2×2×3.14＝12.56分米
侧面积：12.56×6＝75.36平方分米
表面积：75.36＋12.56×2＝100.48平方分米≈100平方分米
9．A，B
【详解】试题分析：（1）根据图示2的折线趋势可知：点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐；
（2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度每秒为vcm3，注满水槽所用时间为t0．如图可知：
当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90秒时，水槽内的水面高度恰好是h1cm，根据100h1=90×Sh1，求出S即可．
解：（1）点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐；
（2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度为每秒vcm3，注满水槽所用时间为t0秒
由图2知，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是h1cm（即烧杯高度）．于是，
Sh1=18v，100h1=90v
则有100h1=90×Sh1，即S=20．
所以，烧杯的底面积为20cm2；
注满水的时间为：
100×20÷（1000÷90）
≈2000÷11.1，
≈180.2（秒），
答：烧杯的底面积是20平方厘米，及注满水槽所用的时间大约是180.2秒．
故答案为A，B．
点评：此题主要考查是如何从折线统计图中获取信息，并根据信息结合图形回答问题．
10．180平方分米．
【详解】试题分析：先求出圆柱形无盖铁皮水桶的高，再求出圆柱形无盖铁皮水桶的表面积×2，即可求得做这样的2只水桶要用的铁皮面积．
解：4×=6（厘米），
4÷2=2（厘米），
（3.14×4×6+3.14×22）×2
=（3.14×24+3.14×4）×2
=3.14×28×2
=3.14×56
≈180（平方分米）．
答：做这样的2只水桶要用铁皮180平方分米．
【点评】考查了圆柱的表面积计算，本题圆柱形无盖，表面积=底面面积+侧面积．
11．24厘米
【详解】试题分析：根据题意知道，杯中升高的2厘米水的体积就是金属圆锥的体积，由此先求出圆柱形玻璃杯中2厘米水的体积，再根据圆锥的体积公式的变形，即可求出金属圆锥的高．
解：金属圆锥的体积：3.14×（80÷2）2×2，
=3.14×1600×2，
=5024×2，
=10048（立方厘米）；
金属圆锥的高：10048×3÷[3.14×（40÷2）2]，
=30144÷[3.14×400]，
=30144÷1256，
=24（厘米）；
答：金属圆锥的高是24厘米．
点评：解答此题的关键是，根据题意知道杯中升高的2厘米水的体积就是金属圆锥的体积，再根据相应的公式或公式的变形解决问题．
12．（1）141.3平方米
（2）2826千克
（3）157吨
【分析】（1）求圆柱型水池的表面积（无盖），就是圆柱的侧面积与底面面积的和，运用圆柱的表面积公式，即可解答；
（2）根据求出圆柱的表面积，乘每平方米需要抹水泥的质量，就是需要水泥的的质量，即可解答；
（3）根据圆柱的体积公式：底面积×高，求出圆柱水池的体积，，再乘每立方米水重的吨数，就是水池能蓄水的吨数，即可解答。
【详解】（1）31.4×2＋3.14×（31.4÷3.14÷2）2
＝62.8＋3.14×（10÷2）2
＝62.8＋3.14×25
＝62.8＋78.5
＝141.3（平方米）
答：抹水泥的面积是141.3平方米。
（2）141.3×20＝2826（千克）
答：一共需要水泥2826千克。
（3）3.14×（31.4÷3.14÷2）2×2×1
＝3.14×（10÷2）2×2×1
＝3.14×25×2×1
＝78.5×2×1
＝157×1
＝157（吨）
答：水池内最多能蓄水157吨。
【点睛】本题考查圆柱的表面积公式、体积公式的应用，熟记公式，灵活运用。
13．1413元
【分析】将数据代入圆的周长公式：C=2πr求出底面半径，再将数据代入圆锥的体积公式：求出这堆沙的体积，然后用沙的体积乘每立方米沙的价格即可。
【详解】
（元）
答：他应付1413元。
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
14．高是6厘米．
【详解】试题分析：先运用长方体的体积=长×宽×高求出长方体的体积，然后利用正方体的体积=棱长×棱长×棱长求出正方体的体积，因为在熔铸过程中，体积不发生变化，即熔铸成的圆锥体的体积=长方体体积+正方体体积，然后根据圆锥的体积÷÷底面积=高即可求出圆锥的高．
解：（5×3×3+3×3×3）÷÷36
=72×3÷36
=216÷36
=6（厘米）
答：这个圆锥体的高是6厘米．
【点评】此题主要考查长方体、正方体和圆锥体体积计算公式的灵活应用，抓住熔铸前后的体积不变，是解决此类问题的关键．
15．120mm=12cm　1.2×50=60(mm)=6(cm)
3.14×(12÷2)2×6≈679(立方厘米)
【详解】略
16．14千克
【详解】2.5×4.2×8÷6=14（千克）
17．18厘米
【详解】试题分析：长方形的面积已知，也就等于知道了圆柱的表面积，再求出圆柱的底面积，即可得出圆柱的侧面积，从而可以求出圆柱的高．
解：（251.2﹣3.14×22×2）÷3.14×2×2，
=（251.2﹣25.12）÷12.56，
=226.08÷12.56，
=18（厘米）；
答：圆柱的高是18厘米．
点评：此题主要考查圆柱的表面积和侧面积的计算方法的灵活应用．
18．（1）25.12立方分米
（2）128平方分米
【分析】（1）根据圆锥的底面周长公式先求出它的底面半径，再根据圆锥的体积公式求出体积即可；
（2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，则包装盒的底面是以圆锥底面直径为边长的正方形，高等于圆锥的高，根据长方体的表面积公式求出长方体的表面积即可。
【详解】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（分米）
×3.14×22×6
＝3.14×8
＝25.12（立方分米）
答：这个圆锥体所占的空间是25.12立方分米。
（2）由分析可知长方体包装盒的长为4分米、宽为4分米、高为6分米。
长方体的表面积：（4×4＋4×6＋4×6）×2
＝（16＋24＋24）×2
＝64×2
＝128（平方分米）
答：至少要128平方分米的硬纸板。
【点睛】本题主要考查圆锥体积公式和长方体表面积公式的综合应用，求出圆锥的底面半径是解答第一问的关键，理解包装盒的底面是以圆锥底面直径为边长的正方形，高等于圆锥的高是解答第二问的关键。
19．50厘米
【分析】根据分析可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的，故当圆柱填满水后，将其反转放置后，填满圆锥体的水的体积是圆柱体积的，那么上面圆柱的体积仍有的体积，即的高，以此解答即可。
【详解】30＋30×（1－）
＝30＋20
＝50（厘米）
答：水面的高度会是50厘米。
【点睛】此题主要考查学生对圆柱和圆锥体积之间的关系的理解，解答此题需要掌握当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的。
20．（1）24π
（2）20π
【分析】（1）首先分清一个没有盖的圆柱形铁皮桶，需要计算几个面的面积：侧面面积与底面圆的面积，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答即可；
（2）求这个铁皮桶最多能盛水多少升是求它的容积，根据V＝Sh进行计算即可。
【详解】（1）π×4×5＋π×（4÷2）2
＝20π＋4π
＝24π（平方分米）
答：做这个铁皮桶至少需要24π平方分米的铁皮。
（2）π×（4÷2）2×5
＝π×4×5
＝20π（立方分米）
20π立方分米＝20π升
答：这个铁皮桶里最多能盛水20π升。
【点睛】本题主要考查了学生对圆柱的体积和表面积计算方法的实际应用。

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