资源简介

(共90张PPT)
万有引力定律及应用
第
1
讲
目标
要求
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法.3.会比较卫星运行的各物理量之间的关系.
内容索引
考点一　开普勒行星运动定律
考点二　万有引力定律
考点三　天体质量和密度的计算
考点四　卫星运行参量的分析
课时精练
考点一
开普勒行星运动定律
梳理
必备知识
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在 的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的 跟它的公转周期的 的比都相等 ＝k，k是一个
与行星无关的常量
椭圆
椭圆
面积
三次方
二次方
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点.(　　)
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大.(　　)
3.不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积.(　　)
√
×
×
1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理.
提升
关键能力
例1　某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点a、c在长轴上，b、d在短轴上.若该行星运动周期为T，则该行星
A.从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B.从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
√
据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧
长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；
例2　(2023·浙江省五校联考)地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示.天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右.若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1(r1小于地球公转半径)，远日点与太阳中心的距离为r2.下列说法正确的是
A.哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的
倍
B.哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度
C.哈雷彗星在近日点和远日点的速度之比为
D.相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积
相等
√
考点二
万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与 成正比、与它们之间 成反比.
2.表达式
梳理
必备知识
物体的质量m1和m2的乘积
距离r的二次方
3.适用条件
(1)公式适用于 间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是 间的距离.
质点
两球心
1.只有天体之间才存在万有引力.(　　)
2.只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝ 计算物体间的万有引力.(　　)
3.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心.(　　)
4.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.(　　)
×
×
×
√
1.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
提升
关键能力
2.万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.
②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球
体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝
例3　(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的 半径约为地球
半径的 则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
A.0.2 　　　　　　B.0.4 　　　　　　C.2.0 　　　　　　D.2.5
考向1　万有引力定律的理解和简单计算
√
例4　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍.已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为
考向2　重力和万有引力的关系
√
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示.
(1)在赤道上：
万有引力与重力的关系
规律总结
规律总结
例5　(2023·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像.若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是
考向3　地球表面下重力加速度的计算
√
考点三
天体质量和密度的计算
1.利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
2.利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
例6　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面.已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响).求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
考向1　利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
例7　(2023·四川内江市模拟)登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67× 10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为
A.6.7×1022 kg B.6.7×1023 kg
C.6.7×1024 kg D.6.7×1025 kg
考向2　利用“环绕法”计算天体质量和密度
√
考点四
卫星运行参量的分析
1.基本公式
梳理
必备知识
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an ，T______，即越高越慢.
越小
越大
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝ ，整理可得 .在引力常
量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM.
GM＝gR2
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道.
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2)同步卫星
①轨道平面与 共面，且与地球自转的方向相同.
②周期与地球自转周期相等，T＝ .
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率约为v＝3.1 km/s.
赤道平面
24 h
(3)近地卫星：轨道在 附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期).
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星.
地球表面
1.同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大.(　　)
2.同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等.(　　)
3.近地卫星的周期最小.(　　)
4.极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合.(　　)
5.不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的.(　　)
×
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√
√
1.公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2.同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关.
提升
关键能力
例8　(2022·广东卷·2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季.假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍.火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动.下列关于火星、地球公转的说法正确的是
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
考向1　卫星运行参量与轨道半径的关系
√
例9　(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示.若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的
A.轨道周长之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
√
轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；
例10　关于地球同步卫星，下列说法错误的是
A.它的周期与地球自转周期相同
B.它的周期、高度、速度大小都是一定的
C.我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
D.我国发射的同步通信卫星必须定点在赤道上空
考向2　同步卫星
√
地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，选项A正确；
同步卫星必须定点在赤道上空，不可以定点在北京上空，选项C错误，D正确.
例11　(多选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是
考向3　同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
√
√
例12　有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有
A.a的向心加速度大小等于重力加速度大小g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4 h内转过的圆心角是
D.d的运行周期有可能是20 h
√
赤道上随地球自转的卫星所需的向心力大小等于万有引力的一个分力，万有引力大小近似等于重力大小，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；
由开普勒第三定律可知，卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的运动周期，即大于24 h，则不可能是20 h，故D错误.
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
方法点拨
比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1＝r3
角速度 ω1>ω2＝ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
方法点拨
五
课时精练
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的
面积
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基础落实练
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由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；
火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；
根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是同一个常数，故C正确；
对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同行星在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误.
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2.空间站是一种在近地轨道(高度小于400 km，可看成圆轨道)长时间运行、可供多名航天员巡访、长期工作和生活的载人航天器.下列说法正确的是
A.只需要知道空间站的周期就可以测出地球的质量
B.空间站的运行周期可能与月球绕地球运行的周期相差不大
C.空间站的运行周期一定小于地球自转周期
D.在空间站工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
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由于空间站的运行半径比同步卫星的小，故空间站的运行周期一定小于地球自转周期，C正确；
在空间站工作的宇航员处于完全失重状态，仍受重力作用，受力不平衡，D错误.
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3.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比
A.线速度增大
B.绕行周期增大
C.所受万有引力增大
D.向心加速度增大
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4.(2022·浙江6月选考·6)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面.则
A.天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B.返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C.质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D.返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
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返回舱中的宇航员处于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力，故B错误；
返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误.
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5.(2022·河北卷·2)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b,2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等.则望舒与地球公转速度大小的比值为
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6.(2023·浙江省模拟)如图所示是地球在太阳系中运动的公转轨道，其中A点是近日点，B点是远日点.对此下列说法正确的是
A.地球在A、B两点受到的万有引力大小相等
B.地球在A点的向心加速度大小比B点小
C.地球若要脱离太阳系，节省能量的最好方式
是在A点进行加速
D.地球若要脱离太阳系，节省能量的最好方式是在B点进行加速
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由开普勒第二定律可知vA>vB，所以地球若要脱离太阳系，节省能量的最好方式是在A点进行加速，故C正确，D错误.
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7.(2023·浙江温州市一模)2022年7月25日，问天实验舱成功与轨道高度约为430 km的天和核心舱完成对接如图所示，对接后组合体绕地球的运动可视为匀速圆周运动.已知地球半径R，引力常量G，地球表面重力加速度g，根据题中所给条件，下列说法正确的是
A.组合体的周期大于24小时
B.可以计算出地球的平均密度
C.组合体的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
D.若实验舱内有一单摆装置，将摆球拉开一个小角度静止释放会做简谐
运动
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体的轨道高度小于同步卫星的轨道高度，所以组合体的周期小于同步卫星的周期，即组合体的周期小于24 h，故A错误；
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速度大于同步卫星的向心加速度，但由于同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度，而同步卫星的轨道半径大于赤道上物体的轨道半径，根据公式an＝ωr2，所以同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，则组合体的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，故C错误；
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摆球处于完全失重状态，静止释放摆球，摆球将无法做简谐运动，故D错误.
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8.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处.若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响.则
A.g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2
C.M星∶M地＝1∶20 D.M星∶M地＝1∶80
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9.(2023·浙江宁波市模拟)2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻我国天宫空间站，开启为期6个月的太空之旅.若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S.已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则空间站的轨道半径为
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10.将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出
A.g0小于g
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11.(2023·重庆市模拟)2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功.如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为100 min.已知地球平均密度为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期为85 min.估算火星的平均密度约为
A.3.8×103 kg/m3 B.4.0×103 kg/m3
C.4.2×103 kg/m3 D.4.5×103 kg/m3
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12.(2023·浙江精诚联盟联考)如图所示，实线是地球赤道上空的同步卫星轨道，同步卫星寿命终结时，它会被二次变速通过椭圆转移轨道推到虚线所示同步轨道上空约300公里处的“坟场轨道”.已知地球自转周期为T，引力常量为G，地球质量为M，根据上面提供的信息，下列得到的结论中正确的是
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C.卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要给卫星二次加速
D.宁波的纬度约为30°，定点在经度与宁波经度相同的同步卫星，晚上从宁波
观察同步卫星与水平面的视角约为30°
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卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要卫星做离心运动，则需要给卫星二次加速，故C正确；
同步卫星离地面高度远大于地球的半径，
由几何关系可知，晚上从宁波观察同步
卫星与水平面的视角肯定大于30°，如图所示，故D错误.
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13.(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m.已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
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14.(多选)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示.已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是
A.C加速可追上同一轨道上的A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
素养提升练
C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D.A、C受到地球的万有引力大小一定相等
√
√
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A，A错误；
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
14考情分析 开普勒行星运动定律 2022·湖南卷·T8　2022·浙江1月选考·T8　2021·天津卷·T5 2021·北京卷·T6　2021·福建卷·T8
万有引力定律及应用 2022·辽宁卷·T9　2022·河北卷·T2　2022·广东卷·T2 2021·山东卷·T5　2020·山东卷·T7　2020·浙江7月选考·T7
人造卫星　宇宙速度 2022·湖北卷·T2　2022·山东卷·T6　2021·湖南卷·T7 2020·天津卷·T2
试题情境 生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
第1讲　万有引力定律及应用
目标要求　1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法.3.会比较卫星运行的各物理量之间的关系．
考点一　开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点．(　√　)
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．(　×　)
3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．(　×　)
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1　某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点a、c在长轴上，b、d在短轴上．若该行星运动周期为T，则该行星(　　)
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>
D．c到d的时间tcd>
答案　D
解析　据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为，可得tab＝tda<，tbc＝tcd>，C错误，D正确．
例2　(2023·浙江省五校联考)地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的公转轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示．天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右．若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1(r1小于地球公转半径)，远日点与太阳中心的距离为r2.下列说法正确的是(　　)
A．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍
B．哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度
C．哈雷彗星在近日点和远日点的速度之比为∶
D．相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积和地球与太阳连线扫过的面积相等
答案　B
解析　地球公转周期T＝1年，哈雷彗星的周期为T′＝(2 061－1 986) 年＝75年，根据开普勒第三定律有＝，解得＝＝，故A错误；哈雷彗星的轨道在近日点到太阳中心的距离比地球的公转轨道半径小，根据万有引力提供向心力G＝m得v＝，可得哈雷彗星在近日点的速度一定大于地球的公转速度，故B正确；根据开普勒第二定律，相同时间内，哈雷彗星与太阳连线扫过的面积相等，但并不与地球与太阳连线扫过的面积相等．设哈雷彗星在近日点和远日点的速度大小分别为v1、v2，取时间微元Δt，结合扇形面积公式S＝，可知v1Δt·r1＝v2Δt·r2，解得＝，故C、D错误．
考点二　万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
1．只有天体之间才存在万有引力．(　×　)
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力．(　×　)
3．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心．(　√　)
4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(　×　)
1．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝.所以＝.
2．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
考向1　万有引力定律的理解和简单计算
例3　(2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案　B
解析　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确．
考向2　重力和万有引力的关系
例4　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设赤道处的重力加速度大小为g，物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小，即G＝mg＋mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度为ω＝，故选B.
　　　　　　万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：
G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
考向3　地球表面下重力加速度的计算
例5　(2023·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)
答案　D
解析　设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有＝，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G＝mg，联立以上两式并整理可得g＝(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误．
考点三　天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由G＝mg，得天体质量M＝.
(2)天体密度ρ＝＝＝.
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
(1)由G＝mr，得M＝.
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考向1　利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
例6　宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)．求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2
月球表面的自由落体加速度大小g月＝
(2)不考虑月球自转的影响，有G＝mg月，得月球的质量M＝
(3)月球的密度ρ＝＝＝.
考向2　利用“环绕法”计算天体质量和密度
例7　(2023·四川内江市模拟)登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为(　　)
A．6.7×1022 kg B．6.7×1023 kg
C．6.7×1024 kg D．6.7×1025 kg
答案　A
解析　由题意可知，h＝112 km＝1.12×105 m，T＝120.5 min＝7 230 s，R＝1.7×103 km＝1.7×106 m，设月球的质量为M，登月舱的质量为m，由月球对登月舱的万有引力提供向心力，可得G＝m(R＋h)，可有M＝，代入数据解得M≈6.7×1022 kg，A正确，B、C、D错误．
考点四　卫星运行参量的分析
1．基本公式
(1)线速度：由G＝m得v＝.
(2)角速度：由G＝mω2r得ω＝.
(3)周期：由G＝m()2r得T＝2π.
(4)向心加速度：由G＝man得an＝.
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢．
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM.
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率约为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
1．同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大．(　×　)
2．同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等．(　×　)
3．近地卫星的周期最小．(　√　)
4．极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．(　×　)
5．不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的．(　√　)
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
考向1　卫星运行参量与轨道半径的关系
例8　(2022·广东卷·2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　)
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
答案　D
解析　由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr，可得T＝2π，
可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m，可得v＝，结合C选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝ma，可得a＝，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确．
例9　(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
答案　C
解析　轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，得v＝，则＝＝，故B错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝，则＝＝，故C正确；由＝ma，得a＝，则＝＝，故D错误．
考向2　同步卫星
例10　关于地球同步卫星，下列说法错误的是(　　)
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的同步通信卫星必须定点在赤道上空
答案　C
解析　地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，选项A正确；根据G＝m＝mr可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，选项B正确；同步卫星必须定点在赤道上空，不可以定点在北京上空，选项C错误，D正确．
考向3　同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
例11　(多选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
答案　AD
解析　根据万有引力提供向心力，有G＝m，G＝m′，故＝；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，故选A、D.
例12　有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有(　　)
A．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是
D．d的运行周期有可能是20 h
答案　B
解析　赤道上随地球自转的卫星所需的向心力大小等于万有引力的一个分力，万有引力大小近似等于重力大小，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由G＝m，解得v＝，卫星的轨道半径r越大，速度v越小，所以在b、c、d中b的速度最大，又由v＝ωr知a的速度小于c的速度，故在相同时间内b转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是×2π＝，故C错误；由开普勒第三定律可知，卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的运动周期，即大于24 h，则不可能是20 h，故D错误．
　　　　　　同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1＝r3
角速度 ω1>ω2＝ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
课时精练
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相等时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案　C
解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是同一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等，不同行星在相等时间内扫过的面积不相等，故D错误．
2．空间站是一种在近地轨道(高度小于400 km，可看成圆轨道)长时间运行、可供多名航天员巡访、长期工作和生活的载人航天器．下列说法正确的是(　　)
A．只需要知道空间站的周期就可以测出地球的质量
B．空间站的运行周期可能与月球绕地球运行的周期相差不大
C．空间站的运行周期一定小于地球自转周期
D．在空间站工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止
答案　C
解析　由＝m()2r得M＝r3，要测出地球的质量，除需要知道空间站的周期，还需要知道空间站的运行半径，A错误；由G＝m()2r得T＝，空间站在近地轨道上运动，它的运行半径远小于月球绕地球运行的半径，故它的运行周期远小于月球绕地球运行的周期，B错误；由于空间站的运行半径比同步卫星的小，故空间站的运行周期一定小于地球自转周期，C正确；在空间站工作的宇航员处于完全失重状态，仍受重力作用，受力不平衡，D错误．
3.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比(　　)
A．线速度增大 B．绕行周期增大
C．所受万有引力增大 D．向心加速度增大
答案　B
解析　飞船绕地球稳定运行时，万有引力提供向心力，有＝m＝mr＝F万＝man，解得v＝，T＝，an＝，依题意，飞船从停泊点到完成对接属于从低轨到高轨，即轨道半径增大，可知线速度减小，周期增大，所受万有引力减小，向心加速度减小，故A、C、D错误，B正确．
4．(2022·浙江6月选考·6)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面．则(　　)
A．天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B．返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C．质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
答案　C
解析　根据G＝m，可得v＝，可知圆轨道距地面的高度越高，环绕速度越小，且只要速度大小相等就可以在同一轨道运行，与返回舱与天和核心舱的质量无关，故A错误，C正确；返回舱中的宇航员处于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力，故B错误；返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误．
5．(2022·河北卷·2)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b,2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则望舒与地球公转速度大小的比值为(　　)
A．2 B．2 C. D.
答案　C
解析　地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和公转都是由万有引力提供向心力，有G＝m，解得公转的线速度大小为v＝，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为，故选C.
6.(2023·浙江省模拟)如图所示是地球在太阳系中运动的公转轨道，其中A点是近日点，B点是远日点．对此下列说法正确的是(　　)
A．地球在A、B两点受到的万有引力大小相等
B．地球在A点的向心加速度大小比B点小
C．地球若要脱离太阳系，节省能量的最好方式是在A点进行加速
D．地球若要脱离太阳系，节省能量的最好方式是在B点进行加速
答案　C
解析　由F＝G可知，地球在A、B两点受到的万有引力大小关系为FA>FB，故A错误；由G＝man，可知an＝，所以地球在A点的向心加速度大小比B点大，故B错误；由开普勒第二定律可知vA>vB，所以地球若要脱离太阳系，节省能量的最好方式是在A点进行加速，故C正确，D错误．
7.(2023·浙江温州市一模)2022年7月25日，问天实验舱成功与轨道高度约为430 km的天和核心舱完成对接如图所示，对接后组合体绕地球的运动可视为匀速圆周运动．已知地球半径R，引力常量G，地球表面重力加速度g，根据题中所给条件，下列说法正确的是(　　)
A．组合体的周期大于24小时
B．可以计算出地球的平均密度
C．组合体的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．若实验舱内有一单摆装置，将摆球拉开一个小角度静止释放会做简谐运动
答案　B
解析　根据万有引力提供向心力，有G＝m()2(R＋h)，解得T＝2π，由于组合体的轨道高度小于同步卫星的轨道高度，所以组合体的周期小于同步卫星的周期，即组合体的周期小于24 h，故A错误；根据地球表面附近万有引力与重力的关系，有G＝mg，地球的密度为ρ＝＝，解得ρ＝，故B正确；根据万有引力提供向心力，有G＝man，解得向心加速度为an＝，组合体的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，但由于同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度，而同步卫星的轨道半径大于赤道上物体的轨道半径，根据公式an＝ωr2，所以同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，则组合体的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，故C错误；摆球处于完全失重状态，静止释放摆球，摆球将无法做简谐运动，故D错误．
8．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响．则(　　)
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
答案　AD
解析　设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，则＝＝×2＝，选项C错误，D正确．
9．(2023·浙江宁波市模拟)2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻我国天宫空间站，开启为期6个月的太空之旅．若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S.已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则空间站的轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题可知，S＝ωr2，根据万有引力提供向心力，则有G＝mω2r
在地球表面上，万有引力等于重力，则有G＝mg，联立可得r＝，故选B.
10．将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出(　　)
A．g0小于g
B．地球的质量为
C．地球自转的角速度为ω＝
D．地球的平均密度为
答案　C
解析　设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有G－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即G＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有mg0＝G，解得M＝，故B错误；由G－mg＝mω2R，mg0＝G，解得ω＝，故C正确；地球的平均密度ρ＝＝＝，故D错误．
11．(2023·重庆市模拟)2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．如果着陆前着陆器近火星绕行的周期为100 min.已知地球平均密度为5.5×103 kg/m3，地球近地卫星的周期为85 min.估算火星的平均密度约为(　　)
A．3.8×103 kg/m3 B．4.0×103 kg/m3
C．4.2×103 kg/m3 D．4.5×103 kg/m3
答案　B
解析　卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得＝mR，设行星密度为ρ，则有M＝ρ·R3，联立可得ρ＝∝，则有＝，解得火星的平均密度约为ρ火＝ρ地＝×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B正确，A、C、D错误．
12.(2023·浙江精诚联盟联考)如图所示，实线是地球赤道上空的同步卫星轨道，同步卫星寿命终结时，它会被二次变速通过椭圆转移轨道推到虚线所示同步轨道上空约300公里处的“坟场轨道”．已知地球自转周期为T，引力常量为G，地球质量为M，根据上面提供的信息，下列得到的结论中正确的是(　　)
A．地球的密度为
B．地球同步卫星离开地面高度为
C．卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要给卫星二次加速
D．宁波的纬度约为30°，定点在经度与宁波经度相同的同步卫星，晚上从宁波观察同步卫星与水平面的视角约为30°
答案　C
解析　设地球的半径为R，同步卫星距地面的高度为h，根据题意，由万有引力提供向心力有＝m(R＋h)，可得M＝
地球的体积为V＝πR3，地球密度为ρ＝＝，可知只有当h＝0时，即T为围绕地球表面做圆周运动的卫星的周期，地球的密度才会为ρ＝，故A错误；根据题意，由万有引力提供向心力有＝m(R＋h)，可得h＝－R，故B错误；卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要卫星做离心运动，则需要给卫星二次加速，故C正确；同步卫星离地面高度远大于地球的半径，由几何关系可知，晚上从宁波观察同步卫星与水平面的视角肯定大于30°，如图所示，故D错误．
13．(2021·全国甲卷·18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
答案　C
解析　忽略火星自转，则在火星表面有＝mg，可知GM＝gR2，设与运行周期为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为r，由万有引力提供向心力可知＝mr，设近火点到火星中心的距离为R1＝R＋d1，设远火点到火星中心的距离为R2＝R＋d2，椭圆轨道半长轴为，由开普勒第三定律可知＝，由以上分析可得d2≈6×107 m，故选C.
14．(多选)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示．已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是(　　)
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．经过时间，A、B相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D．A、C受到地球的万有引力大小一定相等
答案　BC
解析　C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A，A错误；A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得ωBt－ωAt＝π，其中ωB＝，ωA＝，则经过时间t＝，A、B相距最远，B正确；根据G＝ma解得a＝，A和C的轨道半径相同且大于B的轨道半径，则A和C的向心加速度相等且小于B的向心加速度，C正确；万有引力F＝G，由于A、C的质量不一定相等，则A、C受到地球的万有引力大小也不一定相等，D错误．

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