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教案(49)——安培力参与的计算
考点解读
考　点 解　读 学 题 目 分 析
磁场对电流的作用 左手定则 理解左手定则，能运用左手定则判断磁场力的方向. B
安培力 理解安培力计算公式，能够计算电流与磁感应强度相垂直的情况安培力的大小. B 09年上海高考第24题
10年上海高考第13题
10年上海高考第32题
11年上海高考第18题
11年上海高考第20题
11年上海高考第32题
12年上海高考第32题
教学目标
1. 理解磁场对通电直导线的作用力，会计算安培力的大小，会运用左手定则判断安培力的方向．
2．能够分析解决通电直导线在磁场中的有关平衡和运动问题.教师归纳
1．安培力方向的判定
(1)用左手定则．
(2)用“同性相斥，异性相吸”(只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时)．
(3)用“同向电流相吸，反向电流相斥”(反映了磁现象的电本质)．可以把条形磁铁等效为长直螺线管(不要把长直螺线管等效为条形磁铁)．
2．安培力大小的计算
F＝BLIsinα(α为B、L间的夹角)高中只要求会计算α＝0(不受安培力)和α＝90°两种情况．
分类剖析
(一)简单计算
例1
　如图所示，一段导线abcd ( http: / / www.21cnjy.com )位于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，且与磁场方向(垂直于纸面向里)垂直．线段ab、bc和cd的长度均为L，且∠abc＝∠bcd＝135°.流经导线的电流为I，方向如图中箭头所示．导线段abcd所受到的磁场的作用力的合力(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
( http: / / www.21cnjy.com )
A．方向沿纸面向上，大小为(＋1)ILB
B．方向沿纸面向上，大小为(－1)ILB
C．方向沿纸面向下，大小为(＋1)ILB
D．方向沿纸面向下，大小为(－1)ILB
【解析】　本题考查安培力的大小与 ( http: / / www.21cnjy.com )方向的判断．该导线可以用a和d之间的直导线来等效代替， 其等效长度为(＋1)L，根据F＝BIl，可知安培力大小为(＋1)BIL，根据左手定则判断可知受力方向为沿纸面向上．正确选项为A.
例2
　通电矩形导线框abcd与无限长通电直导线 ( http: / / www.21cnjy.com )MN在同一平面内，电流方向如图所示，ab边与MN平行．关于MN的磁场对线框的作用，下列叙述中正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．线框有两条边所受的安培力方向相同
B．线框有两条边所受的安培力大小相同
C．线框所受安培力的合力朝左
D．cd边所受安培力对ab边的力矩不为零
【解析】　导线框四边处在通电直导线MN ( http: / / www.21cnjy.com )产生的垂直纸面向里的非匀强磁场中，离直导线越远，磁场越弱；当线框通以顺时针方向电流时，由左手定则可判知四条边所受安培力方向各不相同，选项A错误．ab边处磁感应强度大于cd边处磁感应强度，Fab＞Fcd，合力向左，ad、bc两边所受安培力大小相同，故选项B、C正确．因四边所受安培力均在线圈平面内，cd边所受安培力对ab边的力矩为零，选项D错误.
例3
　六根互相绝缘的导线，在同一平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )组成四个相等的正方形，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示，在这四个正方形区域中，指向纸面内，磁通量最大的区域是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．Ⅰ B．Ⅱ
C．Ⅲ D．Ⅳ
【解析】　由于六根导线通过的电流 ( http: / / www.21cnjy.com )强度大小相等，而且互相平行的三根导线的电流方向相同，故可以等效为一根方向与水平面成45°角，通过Ⅱ、Ⅳ两个正方形的对角线并过中心点O的通电导线在该区域中产生的磁场，如图中虚线所示．由右手安培定则可以判断Ⅰ区域内的磁场方向是垂直纸面进去的，Ⅲ区域内的磁场方向是垂直于纸面出来的，而Ⅱ、Ⅳ中的磁通量为零，故答案为A.
【点评】　(1)本题利用了对称性来解答，若是根据每根导线在各个区域中产生的磁通量来判断，过程就太复杂了．
(2)用Φ＝BScosθ来计算磁通量必须是匀强磁场．
(3)Φ是双向标量，其正负表示与规定的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方向(如平面法线的方向)是相同还是相反．若磁感线沿相反方向穿过同一平面，且正向磁感线条数为Φ1，反向磁感线条数为Φ2，则磁通量等于穿过平面的磁感线的净条数(磁通量的代数和)，即Φ＝Φ1－Φ2.
(二)综合应用
例4
　如图所示，光滑导轨与水平面成α角 ( http: / / www.21cnjy.com )，导轨宽L.匀强磁场磁感应强度为金属杆长也为L，质量为m，水平放在导轨上．当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止．求：
(1)B至少多大？这时B的方向如何？
(2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能使金属杆保持静止？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】　画出金属杆的截面图．由三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形定则得，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小．根据左手定则，这时B应垂直于导轨平面向上，大小满足： BI1L＝mgsinα，B＝mgsinα/I1L.
当B的方向改为竖直向上时，这时安培力的 ( http: / / www.21cnjy.com )方向变为水平向右，沿导轨方向合力为零，得BI2Lcosα＝mgsinα，I2＝I1/cosα.(在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系).
例5
　据报道，最近已研制出一 ( http: / / www.21cnjy.com )种可投入使用的电磁轨道炮，其原理如图所示．炮弹(可视为长方形导体)置于两固定的平行导轨之间，并与轨道壁密接．开始时炮弹在导轨的一端，通以电流后炮弹会被磁力加速，最后从位于导轨另一端的出口高速射出．设两导轨之间的距离L＝0.10m，导轨长s＝5.0m，炮弹质量m＝0.30kg.导轨上的电流I的方向如图中箭头所示．可以认为，炮弹在轨道内运动时，它所在处磁场的磁感应强度始终为B＝2.0T，方向垂直于纸面向里．若炮弹出口速度为v＝2.0×103m/s，求通过导轨的电流I.忽略摩擦力与重力的影响．如果想提高该电磁炮的发射速度，可以怎么办？
【解析】　在导轨通有电流I时，炮弹作为导体受到磁场施加的安培力为
F＝ILB①
设炮弹的加速度的大小为a，则有F＝ma②
炮弹在两导轨间做匀加速运动，因而v2＝2as③
联立①②③式得I＝④
代入题给数据得：I＝0.6×105A⑤
由v＝.可知：要提高电磁炮的发射速度，可增大磁场的磁感强度、增大电流、延长导轨长度.
例6
　如图所示，铜棒ab长0.1 m， ( http: / / www.21cnjy.com )质量为0.06 kg，两端由两根长都是1 m的轻铜线悬挂起来，铜棒ab保持水平，整个装置静止于竖直平面内，装置所在处有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，现给铜棒ab中通入恒定电流，铜棒发生摆动．已知最大偏转角为37°，则铜棒从最低点运动到最高点的过程中，安培力做的功是________J，恒定电流的大小为________A(不计感应电流影响)．
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【解析】　画出铜棒在最高点时截面图，受力分析则有：
BIL＝mgtan37°
铜棒从最低点运动到最高点的过程中，安培力做功为
W＝BIL·ssin37°(其中s为铜线长)
＝mgstan37°sin37°＝0.27J
I＝＝9A
例7
　如图所示，用均匀金属丝 ( http: / / www.21cnjy.com )折成边长为0.1m的正方形框架abcd能以ab边为轴无摩擦地转动，框架每边质量都是2.5g，电阻都是0.2Ω，aa′与bb′是在同一水平面上的两条平行光滑的金属导轨，并分别与金属框架连接于可以转动的a和b处，导轨的电阻不计．阻值为0.2Ω的金属棒mn垂直放在导轨上，整个装置处于B＝1T、方向竖直向上的匀强磁场中，若导体mn作匀速运动后能使框架abcd平衡在与竖直方向成α＝45°角的位置上，此时cd中的电流大小为________A，导体mn的速度v＝________m/s.
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【解析】　以ab棒为转轴，由转动平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡得：2mg··＋mg·l·＝F安·l·即F安＝2mg，又F安＝BIL，则I＝＝A＝0.5A即Icd＝I＝
0．5A，又＝，则Iab＝1 ( http: / / www.21cnjy.com ).5A，棒mn产生感应电动势大小E＝1.5×0.2＋(1.5＋0.5)×0.2V＝0.7V，又E＝BLv，得v＝＝m/s＝7m/s.
例8
　如图所示是一个可以用来测量磁感应 ( http: / / www.21cnjy.com )强度的装置： 一长方体绝缘容器内部高为L，厚为d，左右两管等高处装有两根完全相同的开口向上的管子a、b，上、下两侧装有电极C(正极)和D(负极)并经开关S与电源连接，容器中注满能导电的液体，液体的密度为ρ；将容器置于一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当开关断开时，竖直管子a、b中的液面高度相同，若当开关S闭合后，a、b管中液面将出现高度差为h，电路中电流表的读数为I，求磁感应强度B的大小．
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【解析】　开关S闭合后，导 ( http: / / www.21cnjy.com )电液体中有电流由C流到D，根据左手定则可知导电液体要受到向右的安培力F作用，在液体中产生附加压强p，这样a、b管中液面将出现高度差．在液体中产生附加压强p为
p＝＝＝＝ρgh
所以磁感应强度B的大小为：
B＝.
例9
　如图所示为利用电磁作用输送非 ( http: / / www.21cnjy.com )导电液体装置的示意图．一边长为L、截面为正方形的塑料管道水平放置，其右端面上有一截面积为A的小喷口，喷口离地的高度为h.管道中有一绝缘活塞．在活塞的中部和上部分别嵌有两根金属棒a、b，其中棒b的两端与一电压表相连，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中．当棒a中通有垂直纸面向里的恒定电流I时，活塞向右匀速推动液体从喷口水平射出，液体落地点离喷口的水平距离为s.若液体的密度为ρ，不计所有阻力．
( http: / / www.21cnjy.com )
求： (1)活塞移动的速度；
　(2)该装置的功率；
　(3)磁感应强度B的大小；
　(4)若在实际使用中发现电压表的读数变小，试分析其可能的原因．
【解析】　(1)设液体从喷口水平射出的速度为v0，活塞移动的速度为v
v0＝s　
v0A＝vL2
v＝()v0＝　
(2)设装置功率为P，Δt时间内有Δm质量的液体从喷口射出
PΔt＝Δm(v－v2)
∵Δm＝L2vΔtρ
∴P＝L2vρ(v－v2)
＝(1－)v
∴P＝()
(3)∵P＝F安v
∴L2ρv(v－v)＝BILv
∴B＝eq \f(ρv（L4－A2）,2IL3)＝
(4)∵U＝BLv
∴喷口液体的流量减少，活塞移动速度减小，或磁场变小等会引起电压表读数变小．教案(49)——安培力参与的计算
考点解读
考　点 解　读 学 题 目 分 布
磁场对直线电流的作用力
安培力
左手定则
演示实验： 磁场对电流的作用
左手定则 知道： 磁场对电流的作用
理解： 安培力的大小和方向
注： 安培力的计算只限于I与B垂直的情况
会用： 左手定则 A
B
B 04年上海高考第22题
05年上海高考第1A题
06年上海高考第12题
22题
07年上海高考第23题
( http: / / www.21cnjy.com ) 教学目标
1．掌握磁场对通电直导线的作用，安培力、左手定则．
2．能够分析计算通电直导线在磁场中的平衡和运动问题．
教师归纳
1．安培力方向的判定
(1)用左手定则．
(2)用“同性相斥，异性相吸”(只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时)．
(3)用“同向电流相吸，反向电流相斥”(反映了磁现象的电本质)．可以把条形磁铁等效为长直螺线管(不要把长直螺线管等效为条形磁铁)．
2．安培力大小的计算
F＝BLIsinα(α为B、L间的夹角)高中只要求会计算α＝0(不受安培力)和α＝90°两种情况．
分类剖析
(一)简单计算
例1
　如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨 ( http: / / www.21cnjy.com )宽L.匀强磁场磁感应强度为B.金属杆长也为L，质量为m，水平放在导轨上．当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止．
求： (1)B至少多大？这时B的方向如何？
(2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能使金属杆保持静止？
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【解析】　画出金属杆的截面图．由三角形定则 ( http: / / www.21cnjy.com )得，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小．根据左手定则，这时B应垂直于导轨平面向上，大小满足： BI1L＝
mgsinα，B＝mgsinα/I1L.
当B的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向 ( http: / / www.21cnjy.com )变为水平向右，沿导轨方向合力为零，得BI2Lcosα＝mgsinα，I2＝I1/cosα.(在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清各矢量方向间的关系)．
图(1)
例2
　如图(1)所示，ACD是 ( http: / / www.21cnjy.com )被弯折成直角“L”形的均匀导线，其AC边长为L1，CD边长为L2，垂直纸面的匀强磁场的磁感强度为B.当导线通以电流I，则它受到的安培力的大小是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．IB(L1＋L2)
B．IL1B
C．IBeq \r(L＋L)
D．IL2B
【解析】　对L形导线的AC和CD边分别 ( http: / / www.21cnjy.com )用左手定则，这两条边受到的安培力分别为F1和F2，它们的作用点在每条边的中点上．ACD导线受到的安培力应该是F1和F2的合力，合力的大小F＝
eq \r(F＋F)，其中F1＝BIL1，F2＝BIL2，故答案为C.
图(2)
【点评】　此题可以用等效法求解，ACD导线受到的安培力F等效为AD导线通以电流I所受的安培力，如图(2)所示．
F＝BIL′＝BIeq \r(L＋L).
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例3
　六根互相绝缘的导线，在同一平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )组成四个相等的正方形，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示，在这四个正方形区域中，指向纸面内，磁通量最大的区域是(　　)
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【解析】　由于六根导线通过的电流强 ( http: / / www.21cnjy.com )度大小相等，而且互相平行的三根导线的电流方向相同，故可以等效为一根方向与水平面成45°角，通过Ⅱ、Ⅳ两个正方形的对角线并过中心点O的通电导线在该区域中产生的磁场，如图中虚线所示．由右手安培定则可以判断Ⅰ区域内的磁场方向是垂直纸面进去的，Ⅲ区域内的磁场方向是垂直于纸面出来的，而Ⅱ、Ⅳ中的磁通量为零，故答案为A.
【点评】　(1)本题利用了对称性来解答，若是根据每根导线在各个区域中产生的磁通量来判断，过程就太复杂了．
(2)用Φ＝BScosθ来计算磁通量必须是匀强磁场．
(3)Φ是双向标量，其正负表示与规定的正方向 ( http: / / www.21cnjy.com )(如平面法线的方向)是相同还是相反．若磁感线沿相反方向穿过同一平面，且正向磁感线条数为Φ1，反向磁感线条数为Φ2，则磁通量等于穿过平面的磁感线的净条数(磁通量的代数和)，即Φ＝Φ1－Φ2.
(二)综合应用
例4
　如图所示，质量为m的铜棒 ( http: / / www.21cnjy.com )搭在U型导线框右端，棒长和框宽均为L，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下．电键闭合后，在磁场力作用下铜棒被平抛出去，下落h后的水平位移为s.求闭合电键后通过铜棒的电荷量Q.
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【解析】　闭合电键后的极 ( http: / / www.21cnjy.com )短时间内，铜棒受安培力向右的冲量FΔt＝mv0而被平抛出去，其中F＝BIL，而瞬时电流和时间的乘积等于电荷量Q＝I·Δt，由平抛规律可算铜棒离开导线框时的初速度v0＝＝s，最终可得Q＝.
例5
　根据磁场对电流会产生作用力的
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原理，人们研制出一种新型的发射炮弹的装 ( http: / / www.21cnjy.com )置——电磁炮，其原理如图所示，把待发射的炮弹(导体)放置在强磁场中的两平行导轨上，给导轨通以大电流，使炮弹作为一个载流导体在磁场作用下沿导轨加速运动，并以某一速度发射出去，试判断图中炮弹的受力方向．如果想提高某种电磁炮的发射速度，理论上可以怎么办？
【解析】　对炮弹受力分析，安培力的方向 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直于磁感强度方向，并且遵从左手定则．当电流和磁感强度恒定时，安培力F恒定，可用动能定理求炮弹的速度．
【解】　由左手定则可判断炮弹的受力方向向右．
安培力F＝BIL①
由动能定理： F·s＝mv2②
联立①②可得： v＝.
故要提高电磁炮的发射速度，可增大磁场的磁感强度、增大电流、延长导轨.
例6
　如图所示，半径为R、单位长度电阻 ( http: / / www.21cnjy.com )为λ的均匀导体环固定在水平面上，圆环中心为O，匀强磁场垂直于水平面方向向下，磁感应强度为B.平行于直径MON的导体杆，沿垂直于杆的方向向右运动．杆的电阻可以忽略不计，杆与圆环接触良好．某时刻，杆的位置如图，∠aOb＝2θ，速度为v，求此时刻作用在杆上的安培力的大小．
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【解析】　ab段切割磁感线产生的感应电动 ( http: / / www.21cnjy.com )势为E＝vB·2Rsinθ，以a、b为端点的两个弧上的电阻分别为2λR(π－θ)和2λRθ，回路的总电阻为r＝，总电流为I＝E/r，安培力F＝IB·2Rsinθ，由以上各式解得： F＝.
例7
　如图(1)所示，两根平行金属导轨间 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离为0.4m，导轨平面与水平面的夹角为37°，磁感应强度为0.5T的匀强磁场垂直于导轨平面斜向上，两根电阻均为1Ω、重均为0.1N的金属杆ab、cd水平地放在导轨上，杆与导轨间的动摩擦因数为0.3，导轨的电阻可以忽略．为使ab杆能静止在导轨上，必须使cd杆以多大的速率沿斜面向上运动？
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【解析】　设必须使cd杆以v沿斜面向上运动，则有cd杆切割磁场线，将产生感应电动势E＝Blv
在两杆和轨道的闭合回路中产生电流I＝
ab杆受到沿斜面向上的安培力F安＝BIl
ab杆静止时，受力分析如图(2)
根据平衡条件，应有Gsinθ－μGcosθ≤F安≤Gsinθ＋μGcosθ
联立以上各式，将数值代入，可解得1.8m/s≤v≤4.2m/s.
例8
　如图所示是一个可以用来测量磁感应强度 ( http: / / www.21cnjy.com )的装置： 一长方体绝缘容器内部高为L，厚为d，左右两管等高处装有两根完全相同的开口向上的管子a、b，上、下两侧装有电极C(正极)和D(负极)并经开关S与电源连接，容器中注满能导电的液体，液体的密度为ρ；将容器置于一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当开关断开时，竖直管子a、b中的液面高度相同，若当开关S闭合后，a、b管中液面将出现高度差为h，电路中电流表的读数为I，求磁感应强度B的大小．
【解析】　开关S闭合后，导电液 ( http: / / www.21cnjy.com )体中有电流由C流到D，根据左手定则可知导电液体要受到向右的安培力F作用，在液体中产生附加压强p，这样a、b管中液面将出现高度差．在液体中产生附加压强p为
p＝＝＝＝ρgh
所以磁感应强度B的大小为： B＝.
例9
　安培秤如图所示，它的一臂下面挂有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形线圈，线圈共有N匝，它的下部悬在均匀磁场B内，下边一段长为L，它与B垂直．当线圈的导线中通有电流I时，调节砝码使两臂达到平衡；然后使电流反向，这时需要在一臂上加质量为m的砝码，才能使两臂再达到平衡．求磁感应强度B的大小．
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【解析】　根据天平的原理很容易得出安培力F＝mg，
所以F＝NBLI＝mg
因此磁感应强度B＝.
例10
　如图所示为利用电磁作用输送非导电液体装置 ( http: / / www.21cnjy.com )的示意图．一边长为L、截面为正方形的塑料管道水平放置，其右端面上有一截面积为A的小喷口，喷口离地的高度为h.管道中有一绝缘活塞．在活塞的中部和上部分别嵌有两根金属棒a、b，其中棒b的两端与一电压表相连，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中．当棒a中通有垂直纸面向里的恒定电流I时，活塞向右匀速推动液体从喷口水平射出，液体落地点离喷口的水平距离为s.若液体的密度为ρ，不计所有阻力．
求： (1)活塞移动的速度；
　(2)该装置的功率；
　(3)磁感应强度B的大小；
　(4)若在实际使用中发现电压表的读数变小，试分析其可能的原因．
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【解析】　(1)设液体从喷口水平射出的速度为v0，活塞移动的速度为v
v0＝s　
v0A＝vL2
v＝()v0＝　
(2)设装置功率为P，Δt时间内有Δm质量的液体从喷口射出
PΔt＝Δm(v－v2)
∵Δm＝L2vΔtρ
∴P＝L2vρ(v－v2)＝(1－)v
∴P＝()
(3)∵P＝F安v
∴L2ρv(v－v)＝BILv
∴B＝eq \f(ρv（L4－A2）,2IL3)＝
(4)∵U＝BLv
∴喷口液体的流量减少，活塞移动速度减小，或磁场变小等会引起电压表读数变小．教

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