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教案(55)——电磁感应综合问题分析
考点解读
考点 解读 学 题目分布
电磁感应与运动、能
量相结合 掌握电磁感应与运
动、能量的综合应用 C 12年上海高考第25题
12年上海高考第33题
教学目标
1．熟练运用右手定则和楞次定律判断感应电流及感应电动势的方向．
2．熟练掌握法拉第电磁感应定律，及各种情况下感应电动势的计算方法．
3．掌握电磁感应与电路规律的综合应用．
教师归纳
处理电磁感应电路的题目，常涉及电 ( http: / / www.21cnjy.com )磁感应定律、直流电路、功、动能定理、能量转化与守恒等多个知识点，突出考查理解能力、分析综合能力，尤其从实际问题中抽象概括构建物理模型的创新能力．求解策略主要是变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法．巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化．
分类剖析
(一)导体切割与运动结合问题
例1
　如图甲所示，一正方形金属线框位于有界匀强 ( http: / / www.21cnjy.com )磁场区域内，线框的右边紧贴着磁场边界，t＝0时刻对线框施加一水平向右的外力F ，让线框从静止开始做匀加速直线运动，在t0时刻穿出磁场．图乙为外力F随时间变化的图像，若线框质量为m ，电阻为R ，图像中的F、t0 也为已知量，则线框在穿出磁场时的速度v＝________，匀强磁场的磁感强度B＝________.
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　　　甲 　　　　　　　　乙
【解析】　线框做匀加速直线运动，t＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )时，线框所受安培力为0，由图可知线框运动的加速度：a＝F0/m，则线框穿出磁场时的速度v＝at0＝ F0 t0/m ；线框的边长L＝at/2，t＝t0时，根据牛顿第二定律：F－F安＝ma 即： 3 F0－B2L2v/R＝ma 得： B＝eq \r(\f(8m3R,Ft))
例2
　如图所示，光滑足够长导轨倾斜放置 ( http: / / www.21cnjy.com )，导轨间距为L＝1m，导轨平面与水平面夹角为θ＝30°，其下端连接一个灯泡，灯 泡电阻为R＝2Ω，导体棒ab垂直于导轨放置，除灯泡外其它电阻不计．两导轨间的匀强磁场的磁感应强度为B＝0.5T，方向垂直于导轨所在平面向上．将导体棒从静止释放，在导体棒的速度v达到2m/s的过程中通过灯泡的电量q＝2C.随着导体棒的下滑，其位移x随时间t的变化关系趋近于x＝4t－2(m)．取g＝10m/s2，求：
(1)导体棒的质量m；
(2)当导体棒速度为v＝2m/s时，灯泡产生的热量Q；
(3)为了提高ab棒下滑过程中小灯泡的最大功率，试通过计算提出两条可行的措施．
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【解析】　(1)由x＝4t－2( ( http: / / www.21cnjy.com )m)可知，导体棒先加速下滑最后匀速运动，其匀速速度为vm＝4m/s匀速运动时，F安＝mgsin30°　即B2L2vm/R＝ mgsin30°　解得m＝0.1kg
(2)导体棒的速度达到2m/s，通过灯泡的电量q＝It＝＝＝2C可得s＝8m
由动能定理得 mgssin30°－W安＝mv2/2
灯泡产生的热量Q＝W安＝mgssin30°－mv2/2＝3.8J
(3)小灯泡的功率P＝I2R，所以提高 ( http: / / www.21cnjy.com )ab棒下滑过 程中小灯泡的最大功率，须增大电流I或电阻R，小灯泡有最大功率是导体棒匀速下滑时，此时， F安＝BIL＝mgsinθ
I＝ mgsinθ/BL，所以可以减小B、L，或增大m、R、θ.
(二)电路与电磁感应结合问题
例3
　如图所示，水平面上有两电阻不计的 ( http: / / www.21cnjy.com )光滑金属导轨平行固定放置，间距d为0.5m，左端通过导线与阻值为2Ω的电阻R连接，右端通过导线与阻值为4Ω的小灯泡L连接；在CDEF矩形区域内有竖直向上均匀磁场，CE长为2m，CDEF区域内磁场的磁感应强度B如图所示随时间t变化；
在t＝0s时，一阻值为2Ω的金属棒在 ( http: / / www.21cnjy.com )恒力F作用下由静止从AB位置沿导轨向右运动，当金属棒从AB位置运动到EF位置过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求：
(1)通过的小灯泡的电流强度；
(2)恒力F的大小；
(3)金属棒的质量．
【解析】　(1)在金属棒未进入磁场时， ( http: / / www.21cnjy.com )电阻R与AB棒并联再与灯泡串联，电路中总电阻：R总＝RL＋R/2＝4Ω＋ 2/2Ω＝5Ω 线框中感应电动势：E1＝＝＝V＝
0．5V
灯泡中的电流强度：IL＝＝A＝0.1A
(2)根据灯泡中亮度不变 ( http: / / www.21cnjy.com )，可判断金属棒在4s末刚好进入磁场，作匀速直线运动，切割磁感线，产生感应电动势．此时，金属棒作为电源，电阻R与灯泡并联．
金属棒中的电流强度：I＝IL＋IR＝IL＋＝0.1＋A＝0.3A
恒力F的大小：F＝FA＝BId＝0.3N
(3)金属棒产生感应电动势：E2＝IR＋＝1V
金属棒在磁场中的速度：v＝＝m/s＝1m/s
金属棒的加速度：a＝＝m/s2
据牛顿第二定律，金属棒的质量：m＝＝kg＝1.2kg
(三)电磁感应中与能量结合综合问题
例4
　相距L＝0.8m的足够长金属导轨 ( http: / / www.21cnjy.com )的左侧为水平轨道，右侧为倾角37°的倾斜轨道，金属棒ab和金属棒cd分别水平地放在两侧的轨道上，如图(a)所示，两金属棒的质量均为1.0kg.水平轨道位于竖直向下的匀强磁场中，倾斜轨道位于沿斜面向下的匀强磁场中，两个磁场的磁感应强度大小相等．ab、cd棒与轨道间的动摩擦因数为μ＝0.5，两棒的总电阻为R＝1.5Ω，导轨电阻不计．ab棒在水平向左、大小按图(b)所示规律变化的外力F作用下，由静止开始沿水平轨道做匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g取10m/s2)
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(a)
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(b)
(1)求两个磁场的磁感应强度B的大小和ab棒的加速度a1的大小；
(2)已知在2s内外力F做功为18J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
(3)写出cd棒运动的加速度a2(m/s2)随时间t(s)变化的函数式a2(t)，并求出cd棒达到最大速度所需的时间t0；
(4)请在图(c)中画出cd棒受到的摩擦力fcd随时间的变化的图像．
( http: / / www.21cnjy.com )(c)
【解析】　(1)ab棒： ( http: / / www.21cnjy.com )F－μmg－FA＝m1a1，FA＝BIL＝v＝，当t＝0时，F＝6N、FA＝0，可得a1＝1m/s2，a1为定值，则＝1.5，代入L、R、a1的数值，得B＝15/8T＝1.875T
(2)2s末，ab棒的速度vt＝a1t＝2m/s，位移s＝a1t2＝2m　对ab棒有WF＝mv＋μm1gs＋Q　解得Q＝6J
(3)对cd棒有m2gsin37°－μ(m2gcos37°＋FA)＝m2a2，其中FA＝BIL＝
可得a2＝2－0.75t　当a2＝0时cd棒的速度最大，此时t＝t0＝2.67s.
(4)f＝μ(m2gcos37°＋FA)＝4＋0.75t
如图
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例5
　如图所示，倾角θ＝30°、宽度L ( http: / / www.21cnjy.com )＝1m的足够长的“U”形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B ＝1T，范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下．用平行于轨道的牵引力拉一根质量m ＝0.2kg、电阻R＝1Ω的垂直放在导轨上的金属棒ab，使之由静止开始沿轨道向上运动．牵引力做功的功率恒为6W，当金属棒移动2.8m时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8J，不计导轨电阻及一切摩擦，取g＝10m/s2.求：
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(1)金属棒达到稳定时速度是多大？
(2)金属棒从静止达到稳定速度时所需的时间多长？
【解析】　(1)金属棒沿斜面上升达稳定速度时，设所受的安培力为F安，由平衡条件得：F＝mgsinθ＋F安
而F安＝BIL＝BL
又F＝
联立解得v＝2m/s
(2)由动能定理得：W牵＋W重＋W安＝
mv2－0，可得Pt－mgssinθ－Q＝mv2
代入数据解得：t ＝1.5s
本章小结
知识网络
( http: / / www.21cnjy.com )考题剖析
考题1　　如图，线圈A中接有如图所示电源，线圈B有一半面积处在线圈A中，两线圈平行但不接触，则当开关S闭合瞬间，线圈B中的感应电流的情况是(　　)
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A．无感应电流
B．有沿顺时针的感应电流
C．有沿逆时针的感应电流
D．无法确定
【解析】　当开关S闭合瞬间，线圈 ( http: / / www.21cnjy.com )A相当于环形电流，其内部磁感线方向向里，其外部磁感线方向向外．线圈B有一半面积处在线圈A中，则向里的磁场与向外的磁场同时增大．这时就要抓住主要部分．由于所有向里的磁感线都从A的内部穿过，所以A的内部向里的磁感线较密，A的外部向外的磁感线较稀．这样B一半的面积中磁感线是向里且较密，另一半面积中磁感线是向外且较稀．主要是以向里的磁感线为主，即当开关S闭合时，线圈B中的磁通量由零变为向里，故该瞬间磁通量增加，则产生的感应电流的磁场应向外，因此线圈B有沿逆时针的感应电流，答案为C.
考题2　　如右图，一有界区域内，存在着磁感应强度大小均为B，方向分别垂
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直于光滑水平桌面向下和向上的匀强磁 ( http: / / www.21cnjy.com )场，磁场宽度均为L，边长为L的正方形线框abcd的bc边紧靠磁场边缘置于桌面上，使线框从静止开始沿x轴正方向匀加速通过磁场区域，若以逆时针方向为电流的正方向，能反映线框中感应电流变化规律的是图(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
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【解析】　本题考查感应电流 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小和方向的判断，涉及的知识点为E＝BLv和右手定则．线框bc边进入磁场做匀加速运动，用右手定则可判断：感应电流的方向为顺时针、逆时针、顺时针．感应电流的大小i＝BLv/R，由于线框做匀加速，v＝at＝，当x≥L时，bc边和ad边同时切割磁感线，此时i＝2BLv/R.因此，正确选项为AC.
考题3　　在“研究回路中感应电动势大小与磁通量变化快慢的关系”实验(见图(a))中，得到E－1/Δt图线如图(b)所示．
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(1)(多选题)在实验中需保持不变的是(　　)
A．挡光片的宽度
B．小车的释放位置
C．导轨倾斜的角度
D．光电门的位置
(2)线圈匝数增加一倍后重做该实验，在图(b)中画出实验图线．　
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【解析】　本题考查“研究回路中 ( http: / / www.21cnjy.com )感应电动势大小与磁通量变化快慢的关系”实验的原理及实验方法，内容选自教材，与学生实验比较接近．学生只有认真做过该类实验才能正确答题，第(1)小题，要明确该实验采用控制变量法进行探索．当磁铁以不同速度靠近线圈时，穿过线圈的磁通量变化相同，探求感应电动势E与时间Δt的关系．要保持ΔΦ不变，就要保持挡光片宽度和光电门位置不变．应选A、D.第(2)小题，保持Δt不变，改变线圈的匝数，研究感应电动势E与匝数N的关系．从法拉第电磁感应定律可知：E与N成正比，图像如图所示．
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考题4　　如图(a)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．
(1)求导体棒所达到的恒定速度v2；
(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？
(4)若t＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加 ( http: / / www.21cnjy.com )速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其vt关系如图(b)所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时加速度的大小．
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【解析】　(1)磁场以恒定速度v1向 ( http: / / www.21cnjy.com )右移动(设导体棒不动)，则由金属导体棒和导轨构成的回路内磁场区域的面积变小，面积变小的速率为＝Lv1.
当导体棒随后以速度v2向 ( http: / / www.21cnjy.com )右运动时，回路的面积变大，其变化速率为＝Lv2，最后当导体棒与磁场两者一起运动时，该回路中磁场区域的面积变小的速率为＝L(v1－v2)，由于回路中磁通量的变化，在回路中产生的电动势为
E＝＝B＝BL(v1－v2)，
I＝＝(v1－v2)，
导体棒匀速运动，安培力与阻力相等
F安＝BIL＝，
速度恒定时有＝f，
可得v2＝v1－.
(2)由上面得出的速度值可以得到f越大，v2越小，v2最小为0，所以fm＝.
(3)设导体棒以恒定速度v2运动，P导体棒＝fv2＝f(v1－)，
P电路＝I2R＝＝.
(4)设磁场的加速度为a，金属棒的加速度为a′，当金属棒以一定速度v运动时，受安培力和阻力作用，由牛顿第二定律，可得
(at－v)－f＝ma′，
由图可知，在t时刻导体棒的瞬时速度大小为vt，此时棒做匀加速运动，磁场与棒之间必有v1－v2为常数，即a＝a′，则有－f＝ma，
可解得a＝.
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考题5　　电阻可忽略的光滑平行金属导轨长s＝1.15m，两导轨间距L＝0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R＝1.5Ω的电阻，磁感应强度B＝0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上．阻值r＝0.5Ω，质量m＝0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Qr＝0.1J.(取g＝10m/s2)求： (1)金属棒在此过程中克服安培力的功W安；
(2)金属棒下滑速度v＝2m/s时的加速度a.
(3)为求金属棒下滑的最 ( http: / / www.21cnjy.com )大速度vm，有同学解答如下：由动能定理W重－W安＝mv，…….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答．
【解析】　本题考查了电磁感应与电路、能量的综合应用．第(3)问是辨析题，与以往不同的是所给的解答思路是正确的，迷惑了许多概念不清的学生．
(1)下滑过程中安培力的功为在电路中所有电阻上产生的焦耳热，由于R＝3r，因此
QR＝3Qr＝0.3J
W安＝QR＋Qr＝0.4J
(2)金属棒下滑时受重力和安培力F安＝BIL＝v
由于牛顿第二定律
mgsin30°－v＝ma
a＝gsin30°－v＝10×－m/s2＝3.2m/s2
(3)此解法正确，金属棒下滑时受重力和安培力作用，其运动满足
mgsin30°－v＝ma
上式表明，加速度随速度增加而减小，棒 ( http: / / www.21cnjy.com )作加速度减小的加速运动．无论最终是否达到匀速，当棒到达斜面底端时速度一定为最大．由动能定理可以得到棒的末速度，因此上述解法正确．
mgssin30°－Q＝mv
vm＝
＝m/s＝2.74m/s.
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考题6　　如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25.
(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小．
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小．
(3)在上问中，若R＝2Ω，金属棒中的 ( http: / / www.21cnjy.com )电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．
【解析】　本题是一道涉及力学、电磁感应、 ( http: / / www.21cnjy.com )电路等多个知识点的综合计算题．正确分析金属棒的受力情况、运动情况是解题的基础．合理运用功率、感应电动势的计算公式是正确解题的途径．此题没有偏、怪、难之嫌，而着重于基本概念、基本规律的考查．
(1)金属棒开始下滑的初速度为零，根据牛顿第二定律
mgsinθ－μmgcosθ＝ma①
由①式解得a＝10×(0.6－0.25×0.8)m/s2＝4m/s2.②
(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡
mgsinθ－μmgcosθ－F＝0，③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率
Fv＝P，④
由③④两式解得
v＝＝m/s＝10m/s.⑤
(3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B，
I＝，⑥
P＝I2R，⑦
由⑥⑦两式解得B＝＝T＝0.4T，⑧
磁场方向垂直导轨平面向上．教案(55)——电磁感应综合问题分析
教学目标
1．熟练运用右手定则和楞次定律判断感应电流及感应电动势的方向．
2．熟练掌握法拉第电磁感应定律，及各种情况下感应电动势的计算方法．
3．掌握电磁感应与电路规律的综合应用．
教师归纳
处理电磁感应电路的题目，常涉及电磁感应定 ( http: / / www.21cnjy.com )律、直流电路、功、动能定理、能量转化与守恒等多个知识点，突出考查理解能力、分析综合能力，尤其从实际问题中抽象概括构建物理模型的创新能力．求解策略主要是变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法．巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化．
解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相 ( http: / / www.21cnjy.com )似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路．感应电动势的大小相当于电源电动势．其余部分相当于外电路，并画出等效电路图．此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，唯一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零．
分类剖析
(一)导体切割与运动结合问题
例1
　据报道，1992年7月，美国“阿特兰蒂斯 ( http: / / www.21cnjy.com )”号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实验，实验取得了部分成功．航天飞机在地球赤道上空离地面约3000km处由东向西飞行，相对地面速度大约6.5×103m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长20km，电阻为800Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动．假定这一范围内的地磁场是均匀的．磁感应强度为4×10－5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度相同．根据理论设计，通过电离层(由等离子体组成)的作用，悬绳可以产生约3A的感应电流．
试求： (1)金属悬绳中产生的感应电动势；
(2)悬绳两端的电压；
(3)航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能(已知地球半径为6400km)．
【解析】　将飞机下金属悬绳切割磁感线产生感应电动势看作电源模型，当它通过电离层放电可看作直流电路模型．如图所示．
(1)金属绳产生的电动势：
E＝Blv＝4×10－5×20×103×6.5×103V
＝5.2×103V
(2)悬绳两端电压，即路端电压可由闭合电路欧姆定律得：
U＝E－Ir＝5.2×103－3×800V＝2.8×103V
(3)飞机绕地运行一周所需时间
t＝＝s＝9.1×103s
则飞机绕地运行一圈输出电能
E＝UIt＝2800×3×9.1×103J＝7.6×107J
例2
　如图，竖直向上的匀强磁场 ( http: / / www.21cnjy.com )，磁感应强度B＝0.5T，并且以＝0.1T/s在变化，水平轨道电阻不计，且不计摩擦阻力，宽0.5m的导轨上放一电阻R0＝0.1Ω的导体棒，并用水平线通过定滑轮吊着质量M＝0.2kg的重物，轨道左端连接的电阻R＝0.4Ω，图中的l＝0.8m，求至少经过多长时间才能吊起重物．
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【解析】　由法拉第电磁感应定律可求出回路感应电动势
E＝＝S①
由闭合电路欧姆定律可求出回路中电流I＝②
由于安培力方向向左，应用左手定则可判断出电流方向为顺时针方向(由上往下看)．
再根据楞次定律可知磁场增加，在t时磁感应强度为： B′＝(B＋·t)③
此时安培力为F安＝B′Ilab④
由受力分析可知F安＝mg⑤
由①②③④⑤式并代入数据得： t＝495s
(二)电路与电磁感应结合问题
例3
　半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感 ( http: / / www.21cnjy.com )强度为B＝0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a＝0.4m，b＝0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R＝2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计．
(1)若棒以v0＝5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′的瞬时(如图所示)，MN中的电动势和流过灯L1的电流．
(2)撤去中间的金属棒MN，将右面 ( http: / / www.21cnjy.com )的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为ΔB/Δt＝4T/s，求L1的功率．
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【解析】　(1)棒滑过圆环直径OO′的瞬时，MN中的电动势
E1＝B2av＝0.2×0.8×5＝0.8V
等效电路如图(1)所示，流过灯L1的电流
I1＝E1/R＝0.8/2＝0.4A
(1)
　　　(2)
(2)撤去中间的金属棒MN，将右面 ( http: / / www.21cnjy.com )的半圆环OL2O′以OO′为轴向上翻转90°，半圆环OL1O′中产生感应电动势，相当于电源，灯L2为外电路，等效电路如图(2)所示，感应电动势
E2＝ΔФ/Δt＝0.5×πa2×ΔB/Δt＝1V
L1的功率P1＝(E2/2)2/R＝0.125W
(三)电磁感应中与能量结合综合问题
1．当外力作用在金属棒上时，外力做功W外，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中一部分能量使机械能增加△E机(包括动能△Ek和势能△Ep)，另一部分用来克服安培力做功W克安，经电磁感应过程W克安转变成电能E电，电能通过电流做功W电最后变成焦耳热Q.有摩擦时还有一部分用来克服摩擦力做功，产生摩擦热Q′，所以有关系式　　W外＝△Ek＋△EP＋Q＋Q′
2．当棒在外力作用下在水平面上作匀速运动并不计摩擦时，则有关系式
　　　　W外＝W克安＝E电＝W电＝Q
3．当棒作匀速运动并不计摩擦，计算电路中的焦耳热时可以有以下几种方法：
(1)用克服安培力做的功计算　　Q＝F安s＝F安vt
(2)用外力做的功计算　　Q＝F外s＝F外
(3)用电流做的总功计算　　Q＝E2t/R＝I2Rt
例4
　如图所示，导体棒ab，c ( http: / / www.21cnjy.com )d放在水平放置的金属导轨上，磁场方向竖直向下，磁感应强度为B.cd棒通过滑轮悬挂一质量为m的砝码，当ab在外力作用下以v1向右匀速运动时，cd也向右运动，设ab，cd长度为l，ab棒电阻为r1，cd棒电阻为r2，不计导轨电阻和一切摩擦，求： (1)cd棒向右运动时速度v2；(2)回路的电功率P电；(3)外力的功率P外．
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【解】　(1)由于ab棒在外力作用下作匀速运动，所以cd棒也作匀速运动，但两者运动速度不一样，ab的速度v1大于cd的速度v2.
回路的感应电动势　　E＝＝＝＝Bl(v1－v2)
回路感应电流　　I＝＝
cd受到向右的安培力F安和向左的绳子拉力T＝mg而平衡
　　　mg＝F安＝BIl＝B2l2(v1－v2)/(r1＋r2)
解得cd棒速度　　v2＝v1－
(回路的电功率也可用式P电＝EI来计算，结论相同)
(3)外力的功率　P外＝F外v1＝mgv1
本章小结
知识网络
( http: / / www.21cnjy.com )考题剖析
考题1　　如图(a)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．
(1)求导体棒所达到的恒定速度v2；
(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？
(4)若t＝0时磁场由静 ( http: / / www.21cnjy.com )止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其vt关系如图(b)所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时加速度的大小．
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【解析】　本题考查了电动势的概念及动电 ( http: / / www.21cnjy.com )路中功率等知识点，同时试题结合导体棒与磁场的相对运动，考查了运动学等概念．但本题与以往的试题有所不同，通常情况下导体棒在切割磁感线时是导体棒运动而磁场固定不动，而此题将两者的关系倒过来，取磁场运动随后带动导体棒运动，情景比平常的相关试题略微复杂．这种构思对学生有很好的启示作用，也为学生灵活主动地学习、多角度地思考问题提供了范例．
(1)磁场以恒定速度v1向右移动(设导体棒不动)，则由金属导体棒和导轨构成的回路内磁场区域的面积变小，面积变小的速率为＝Lv1.
当导体棒随后以速度v2向右运动时，回路 ( http: / / www.21cnjy.com )的面积变大，其变化速率为＝Lv2，最后当导体棒与磁场两者一起运动时，该回路中磁场区域的面积变小的速率为
＝L(v1－v2)，由于回路中磁通量的变化，在回路中产生的电动势为
E＝＝B＝BL(v1－v2)，　I＝＝(v1－v2)，
导体棒匀速运动，安培力与阻力相等
F安＝BIL＝，
速度恒定时有＝f，
可得v2＝v1－.
(2)由上面得出的速度值可以得到f越大，v2越小，v2最小为0，所以fm＝.
(3)设导体棒以恒定速度v2运动，P导体棒＝fv2＝f(v1－)，
P电路＝I2R＝＝.
(4)设磁场的加速度为a，金属棒的加速度为a′，当金属棒以一定速度v运动时，受安培力和阻力作用，由牛顿第二定律，可得
(at－v)－f＝ma′，
由图可知，在t时刻导体棒的瞬时速度大小为vt，此时棒做匀加速运动，磁场与棒之间必有v1－v2为常数，即a＝a′，则有－f＝ma，
可解得a＝.
考题2　　如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R1和R2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F，此时(　　)
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A．电阻R1消耗的热功率为
B．电阻R2消耗的热功率为
C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθ
D．整个装置消耗的机械功率为(F＋μmgcosθ)v
【解析】　本题考查电磁感应与安培力 ( http: / / www.21cnjy.com )等知识，是一道常见题，虽然包含的物理思想较多，但由于近年来这一类试题学生操练较多，因此总体上该试题的难度不是很大，大部分考生都能正确答题，该知识点属于理解和掌握程度．
当ab棒沿轨道向上滑动时，ab棒切割磁场 ( http: / / www.21cnjy.com )，在ab棒中有感应电动势ε，等效电路如图所示总电流为I＝，流过R2的电流只有总电流的一半，即I2＝，安培力为F＝IlB＝，电阻R2消耗的热功率为IR＝＝，所以选项B正确，而选项A错误．ab棒向上滑行时，棒与导轨间的摩擦力为f＝μmgcosθ，因此摩擦消耗的热功率为fv＝μmgvcosθ.ab棒在整个运动过程中所受到的安培力的方向与摩擦力方向相同，它们起阻碍作用，所以装置消耗的机械功率为(F＋f)v＝(F＋μmgcosθ)v，即选项B、C、D为正确答案．
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考题3　　在研究电磁感应现象实验中：
(1)为了能明显地观察到实验现象，请在如图所示的实验器材中，选择必要的器材，在图中用实线连接成相应的实物电路图．
(2)将原线圈插入副线圈中，闭合电键，副线圈中感应电流与原线圈中电流的绕行方向________(选填“相同”或“相反”)．
(3)将原线圈拔出时，副线圈中的感应电流与原线圈中电流的绕行方向________(选填“相同”或“相反”)．
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【解析】　本题考查电磁感应实验原理， ( http: / / www.21cnjy.com )内容选自教材，与学生实验比较接近．从该题的设计思路可以看出，学生只有认真做过该类实验才能正确答题，本题既考查了电磁感应实验的思想，又考查了学生分析问题与正确决断的能力．本题首先要求学生能正确选择实验器材完成实验，题中有意多给了三样器材： 电压表、欧姆表和一个20kΩ的电阻，去除这三样器材后连成实验电路图才是正确的，会根据实际情况作出正确选择本身也是一种能力，这种能力正是素质教育中所提倡的一种能力．
第(1)小题，按照实验原理连接线路，大 ( http: / / www.21cnjy.com )线圈应连接到检流计上．但从实际答题情况来看，连接线路中存在不少问题，一种错误是将20kΩ的电阻接入原线圈回路，这说明该考生根本不知道如何才能产生感应电流，因此接入20kΩ电阻后，原线圈中的电流十分微弱，不足以使大线圈感应出感应电流．第二种错误是在大线圈回路中多接了电压表，有的考生干脆将大线圈接到电压表上，显然这些学生根本不懂实验原理，也没有做过该类实验．第(2)小题，当将小线圈插入大线圈时，小线圈中的磁场将穿入大线圈中，根据楞次定律，大线圈应感应出感应电流，感应电流产生的磁场将阻碍大线圈中磁场的增加，因此感应电流的方向与原线圈的电流的方向相反．而当小线圈从大线圈中拔出时，大线圈中的感应电流与原线圈中的电流方向相同，以补偿由于小线圈拔出时在大线圈中减弱的磁场．实物连线图如图所示．
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考题4　　如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f，且线框不发生转动．求：
(1)线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度v2；
(2)线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；
(3)线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q.
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【解析】　本题考查电磁感应及安 ( http: / / www.21cnjy.com )培力等知识，重在考查对该部分知识的理解和应用，试题有一定的综合性，过程比常见的试题复杂，而且要考虑在运动过程中阻力方向发生变化，要求学生的分析能力较强．
本题的求解过程是倒过来的．由于线框上升 ( http: / / www.21cnjy.com )后穿过磁场时的速度为v1，因此，此后线框做以v1为初速度的竖直上抛运动．然后再下落到磁场时恰好匀速进入磁场，说明此时作用在线框上的阻力与安培力之和与重力相平衡，于是可列出如下方程：
(1)线框在下落阶段匀速进入磁场瞬间
mg＝f＋，①
解得v2＝.②
(2)线框从离开磁场至上升到最高点的过程
(mg＋f)h＝mv，③
线框从最高点回落至进入磁场瞬间
(mg－f)h＝mv，④
③④式联立解得
v1＝v2⑤
＝.⑥
(3)线框在向上通过磁场过程中
mv－mv＝Q＋(mg＋f)(a＋b)，⑦
v0＝2v1，
Q＝m[(mg)2－f2]－(mg＋f)(a＋b)．⑧
考题5　　如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25.
(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小．
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小．
(3)在上问中，若R＝2Ω，金属棒中的电流 ( http: / / www.21cnjy.com )方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．
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【解析】　本题是一道涉及力学 ( http: / / www.21cnjy.com )、电磁感应、电路等多个知识点的综合计算题．正确分析金属棒的受力情况、运动情况是解题的基础．合理运用功率、感应电动势的计算公式是正确解题的途径．此题没有偏、怪、难之嫌，而着重于基本概念、基本规律的考查．
(1)金属棒开始下滑的初速度为零，根据牛顿第二定律
mgsinθ－μmgcosθ＝ma①
由①式解得a＝10×(0.6－0.25×8)m/s2＝4m/s2.②
(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡
mgsinθ－μmgcosθ－F＝0，③
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率
Fv＝P，④
由③④两式解得
v＝＝m/s＝10m/s.⑤
(3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B，
I＝，⑥
P＝I2R，⑦
由⑥⑦两式解得B＝＝T＝0.4T，⑧
磁场方向垂直导轨平面向上．

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