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教案(59)——力学综合
教师归纳
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分类剖析
理解力学各部分知识点之间的联系是解决力学综合问题的关键．而熟练掌握力学各物理规律的解题步骤是解决力学综合题的基础．
综合题即是各部分(物理规律)基础题型的组合．因此，解综合题即是将综合题型中各部分按其基础题型的解题步骤建立方程，最后解方程组以得其解．
例1
　光滑斜面倾角为θ，上面放一质量为M的长板．质量为m的人在长板上，如图所示．欲使长板相对地静止，人应以多大加速度沿斜面向下运动？
【解析】　以人为研究对象，其受力情况如图(甲)所示，则
f＋mgsinθ＝ma①
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以长板为研究对象，受力情况如图(乙)所示．则
Mgsinθ＝f②
将②式代入①式得
Mgsinθ＋mgsinθ＝ma
a＝gsinθ.
例2
　如图所示，绳长L＝0.5m，能承担最大 ( http: / / www.21cnjy.com )拉力为100N，一端固定在O点，另一端挂一质量为m＝0.2kg的小球，悬点O到地面高H＝5.5m，若小球绕悬点O转动至最低点绳刚好断掉，求小球落地点．
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【解析】　设落地点距悬点O正下方s，则
s＝v·t①
(H－L)＝gt2②
T－mg＝③
解得s＝7m.
例3
　一长L的细绳固定在O点，O点离地面的高大 ( http: / / www.21cnjy.com )于L，另一端系一质量为m的小球．开始时线与水平方向夹角为30°，如图甲所示．当小球由静止释放后，小球运动到最低点时，对绳的拉力多大？
甲
　 ( http: / / www.21cnjy.com )乙
【解析】　以小球为研究对象，如图乙所示，
T－mg＝meq \f(v,L)①
小球由B到C过程机械能守恒：
mg(L－Lcos60°)＋mv′＝mv②
v′B＝vBcos30°③
小球由A到B机械能守恒，则
mg·2Lsin30°＝mv④
由上面联立方程解得
T＝3.5mg.
例4
　如图所示，重为G的圆盘与一轻杆相连，杆与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆盘恰相切，支点为O.现用始终竖直向下的力F拉杆的另一端，使该端缓慢向下转动，则杆转到竖直之前，拉力F的力矩大小变化情况是____________，拉力F的大小变化情况是______________.
【解析】　可以记圆盘的重力 ( http: / / www.21cnjy.com )G的力矩为MG，拉力F的力矩为MF，F缓慢下拉过程整个系统平衡，则有MG＝MF，则MF的变化和MG一致．对MG，随着圆盘的上升，会有一个最大值：MGmax＝G·eq \r(r2＋l)，受力分析见图，则MG的变化是先增大到最大，然后再逐渐减小，同样，MF的变化情况也一样，即先增大后减小．记l2与水平方向的夹角为θ，则OO′与水平方向的夹角为(θ－θ0)，则由MG＝MF，有Geq \r(r2＋l)·cos(θ－θ0)＝Fl2cosθ.0≤θ≤，0<θ0<，则F＝eq \f(\r(r2＋l),l2)G·＝eq \f(\r(r2＋l),l2)G(cosθ0＋sinθ0tanθ)，则由上式易看出F随θ的增大一直增大．
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例5
　如图所示，一平板车以某一速度v0匀速 ( http: / / www.21cnjy.com )行驶，某时刻一货箱(可视为质点)无初速度地放置于平板车上，货箱离车后端的距离为l＝3m，货箱放入车上的同时，平板车开始刹车，刹车过程可视为做a＝4m/s2的匀减速直线运动．已知货箱与平板车之间的摩擦因数为μ＝0.2，g＝10m/s2.为使货箱不从平板上掉下来，平板车匀速行驶的速度v0应满足什么条件？
【解析】　货箱先相对平板车向左滑 ( http: / / www.21cnjy.com )，当与平板车的速度相等后相对平板车向右滑．若货箱与平板车的速度相等时，货箱仍未从平板车上掉下来，则以后货箱不会从平板上掉下来．设经过时间t，货箱和平板车达到共同速度v，以货箱为研究对象，由牛顿第二定律得，货箱向右做匀加速运动的加速度 a1＝μg①
货箱向右运动的位移 s箱＝ a1t2 ②
又 v＝a1t③
平板车向右运动的位移
s车＝v0t－ at2④
又 v＝v0－at⑤
为使货箱不从平板车上掉下来，应满足：
s箱＋l≥s车⑥
联立方程①～⑥解得： v0≤
代入数据得： v0≤6m/s.
例6
　如图所示，一轻弹簧竖直放置在地面 ( http: / / www.21cnjy.com )上，下端固定，上端连接一质量为M的水平钢板，处于静止状态．现有一质量为m的小球从距钢板h＝5m的高处自由下落并与钢板发生碰撞，碰撞后瞬间小球与钢板的速度大小相同．
已知M＝3m，不计空气阻力，重力加速度g取1 ( http: / / www.21cnjy.com )0m/s2.则小球与钢板第一次碰撞后瞬间，钢板速度的大小为________m/s；碰撞前后小球的动量变化大小为________kg·m/s.
【解析】　小球做自由落体运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，以向下为正方向，由mgh＝mv2可得：v＝＝10m/s.小球与钢板碰撞前后动量守恒，若小球碰撞后方向向下，由mv＝(M＋m)·v′可得：v′＝v＝2.5m/s.小球碰撞前动量为mv＝10mkg·m/s，碰撞后动量为mv′＝2.5mkg·m/s，变化量大小为7.5mkg·m/s.若小球碰撞后方向向上，mv＝－mv′＋Mv′，可得v′＝5m/s，小球碰撞后动量为－5mkg·m/s，变化量大小为15mkg·m/s.教案(60)——热学综合
教师归纳
1．知识框架：
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2．解题方法
(1)解题的一般方法(步骤)
①明确研究对象： 从实际 ( http: / / www.21cnjy.com )问题中选出发生状态变化的这部分气体，且要求它的质量一定．当有小孔与外界连通或发生气体的迁移等情况时，可采用“假设法”，必须保证研究对象的质量一定．
②列出状态参量： 即写出研究对象状态变 ( http: / / www.21cnjy.com )化前后的一组T、p、V值(或表达式)．这是研究气体问题关键的一步．在列出状态参量时，同时把各相应量的单位统一．
③建立状态方程： 根据状态变化的特征，用三条实验定律或理想气体状态方程，把状态参量联系起来．
④求解、计算、检验： 通常可先根据状态方程得出待求量的文字表达式，然后代入数值计算出结果．有的时候，还需对结果作合理性的检验．
(2)假设(设想)法
在气体问题中，对研究对象的选择、研究对象从一个状态到另一个状态所经历的变化过程等，常需要作一些设想或假设，这样可便于找出关系，列式求解．
例如，一个瓶子有小孔与外界相通，当温度从t1℃上升到t2℃时，要求留在瓶中的气体是原来气体的多少时，常可作两种设想．
①设想原来瓶中占V1这部分气体后来充满整个瓶子；
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②设想原来瓶中所有气体膨胀到体积V′，后来留在瓶中的气体就是V′范围内体积为V的一部分．
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通过这两种设想，只需由等压变化算出它们的体积比，即得前后瓶中气体的质量比．
(3)图线法
在p－V(或p－T、V－T)图上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )点，表示一定量气体的一个状态，连接两个点的一条线段，表示一定量气体所经历的一个过程．利用图线，可以很方便地确定状态参量的变化趋势，判断过程是否可能发生等．还可以在p－T图和V－T图上，由图线的斜率比较同样温度变化情况下压强变化或体积变化的大小等．
3．重要公式
内容 公式
玻意耳定律 p1V1＝p2V2
查理定律 pt＝p0(1＋)，＝
盖·吕萨克定律 Vt＝V0(1＋)，＝
理想气体状态方程 ＝
气体的密度公式 ＝
热力学温度与摄氏温度 T＝t＋273.15K≈t＋273K
分类剖析
(一)选择题型的判断
例1
　质量、体积、温度均相同的氢气和氧气(均可视为理想气体)相比较，下列说法中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．分子平均动能相同
B．分子平均动能不同
C．它们的内能相同
D．氢气的内能大
【解析】　由于温度相同，则两气体的 ( http: / / www.21cnjy.com )分子平均动能相同，选项A正确、B错误；质量相同下，氢气所含分子数多，则氢气内能大，选项C错误，D正确，故本题正确答案为AD.
(二)图像应用
例2
　如图所示是一定质量的理想气体的三个不同变化过程．则下列叙述正确的是 (　　)
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A．a→b过程气体的温度降低
B．b→d过程气体的温度降低
C．c→d过程气体的温度降低
D．b→d过程气体对外界做功
【解析】　＝C　∴p＝CT·，由图可知斜率ka>kd　∴Ta>Td故A正确；b→d过程中，温度不变，故B错误，c→d过程，kc>kd，温度增大，故C错误；b→d过程中，增大，V减小，外界对气体做功，故D错．本题正确答案为A.
(三)理想气体状态方程的综合应用
例3
　如图所示，用不导热的活塞把气缸分成 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B两部分气体，两部分气体均可看成理想气体，当A、B两部分气体的热力学温度之比3∶2时，它们的体积之比为2∶1.如果把A气体的温度提高到127℃，把B气体温度冷却到－73℃时，不计活塞与气缸间的摩擦，活塞达到平衡后，A、B两部分气体的体积之比为(　　)
A．2∶1 B．3∶2
C．5∶2 D．8∶3
【解析】　活塞到达平衡后，A、B两部分 ( http: / / www.21cnjy.com )气体压强相等，即pA＝pB＝p′，设两气体初始压强为p，气体A温度为3T，气温B温度为2T，气体A体积为2V，气体B体积为V.变化后A气体温度为400K，气体B温度为200K，由＝，＝可得VA′∶VB′＝8∶3.本题正确答案为D.
例4
　如图所示，两端封闭的U型玻璃 ( http: / / www.21cnjy.com )管中装有水银，并在上端封有理想气体，温度相同．若将管放在沸水中使两段气体同时升高相同温度，则下面说法中正确的是 (　　)
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A．气柱B的体积变小
B．气柱A的体积变小
C．气柱B的体积变大
D．无法判断气柱体积的变化过程
【解析】　这又是一种类型题，属于液柱(或液滴)移动方向的判断问题．
液柱移动与否，从动力学角度看，即是运动 ( http: / / www.21cnjy.com )状态发生变化与否．因此，必须从产生运动状态变化的原因——受力分析，看升温后两段气体的压强变化情况．为此应假设气柱体积不变，以气柱A为研究对象，根据查理定律：
＝
即　＝
∴＝，即ΔpA＝pA·　　①
(同理ΔpB＝pB·)
从图中可知： pA＞pB，∴ΔpA＞ΔpB，液柱向右移动，气柱B体积变小．答案为A.

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