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第六讲 数的混合运算
要点复习
知识梳理
1.运算的分级：我们把加、减、乘、除、乘方和开方(以后再学)这六种基本运算分成三级.加与减是第一级运算,乘与除是第二级运算,乘方与开方是第三级运算.
2.确定运算顺序的原则是:①先算高级运算,再算低一级的运算；
②同级运算在一起,按从左到右的顺序运算；
③如有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的，简单地说:先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的.
※注意：小括号表示的意义有两种:如(-3)＋(-15)这里的括号不是结合运算的，而是结合性质符号和数码的.它的作用是区分性质符号与运算符号.又如(2－3),这里小括号是结合运算的，应先算这种小括号内的算式.
三、典型例题
例1：下列计算有无错误？若有错，应怎样改正？
（1）74－22÷70＝70÷70＝1； （2）2×32＝2＝62＝36；
（3）； （4）．
【解析】根据有理数的运算逐一计算，计算时要注意运算顺序，先乘方运算，再算乘除，最后计算加减，有括号的要先算括号里的同级运算要按从左往右的顺序计算；
【解答】解：（1）74－22÷70＝70÷70＝1，错误，原式=，运算顺序错误，先乘方再乘除，最后加减；
（2）2×32＝2＝62＝36，错误，原式=，运算顺序错误，先乘方再乘除；
，错误，原式=，运算顺序错误，有括号的先算括号；
，错误，原式=，乘方结果以及简便运算符号错误；
故答案为：（1）错误；原式=；
错误，原式=；
错误，原式=；
错误，原式=。
例2：计算：
； （2）9＋5×－2÷4
（3） （4）
【解析】考查了有理数的混合运算顺序，根据有理数混合运算顺序：先乘方运算，再算乘除，最后计算加减，有括号的要先算括号里的同级运算要按从左往右的顺序计算；
【解答】解：（1）=；
（2）9＋5×－2÷4 =；
（3）=；
（4）；
故答案为：（1）4；（2）-7；（3）-1060；（4）。
变式：计算：


【解析】考查了有理数的混合运算顺序，根据有理数混合运算顺序：先乘方运算，再算乘除，最后计算加减，有括号的要先算括号里的同级运算要按从左往右的顺序计算；
【解答】解：；
；
；
；
故答案为：（1）-27；（2）；（3）；（4）。
例3：在下列表达式：5_____4_____6_____3的空格中如果+，-，这三个运算符号每一个恰只用到一次，那么下面四个数值中可能是运算结果的是（ ）
A.9 B.10 C.15 D.19
【解析】解答此类题目的关键是要列举出可能出现的所有情况，分别进行讨论，列出各种式子计算后的结果，再与选项对比即可；
【解答】解：+，-，这三个运算符号，在下列表达式：5_____4_____6_____3的空格中可以有以下情况：
；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
只有（4）符合，所以D选项是正确的；
故答案为：D。
变式：将2，-7,1，-5这四个数（四个数都有且只能用一次）进行“+”“-”“×”“÷”运算，可加括号使其结果等于24.写出其中的一种算法：____________________。
【解析】根据题意，在4个有理数中间加入适当的符号，一般配凑24的约数再相乘即可；
【解答】解：（1）；（2）；（答案不唯一）
故答案为：（1）；（2）；（答案不唯一）
例4：对任意有理数x,y定义新运算“*”如下：x*y=,若，则
a*b=（ ）
A.5 B.1 C.11 D.7
【解析】考查新定义以及有理数的混合运算，利用非负数的性质求出a和b的值，代入原式后利用新定义计算即可；
【解答】解：根据题意得：，
，
a*b=，所以C选项正确；
故答案为：C。
变式：“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，....
G(）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，....
利用以上规律计算：G（2019）-G（）-2019=________.
【解析】考查找规律，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，计算即可；
【解答】解：G（2019）-G（）-2019=；
故答案为：-2018.
四、易错指津
1.若，则的值是( )
A.5 B.1 C.－1 D.－5
2.在数轴上，表示的点在表示的点的右边，且，则的值为(　 )
Ａ．－3 Ｂ.－9 Ｃ.－3或－9 Ｄ.3或9
3.有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则( )
A.a＋b＝0 B.a＋b＞0 C.a－b＜0 D.a－b＞0
4.分别输入－1，－2，按图所示的程序运算，则输出的结果依次是 、 ．
5.计算
（1） （2）[12－4×]÷4
（3）2×3－4×＋15 （4）－14－×[2―2]
（5） （6）－8－3×3―4
（7）
五、课堂练习
1．下列计算结果正确的是（　　）
A．﹣7﹣2×5=（﹣7﹣2）×5 B．
C． D．﹣（﹣32）=9
2．a，b两数在数轴上对应点的位置如图所示，则有（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞O C．ab＜O D．（a﹣b）（a+b）＞0
3．已知①1﹣22；②|1﹣2|；③（1﹣2）2；④1﹣（﹣2），其中相等的是（　　）
A．②和③ B．③和④ C．②和④ D．①和②
4．计算的结果是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．小燕做了下列三道计算：①﹣×2=0×2=0；②6÷（﹣）=6÷﹣6÷=9﹣4=5；③﹣22﹣（﹣3）3=4﹣27=﹣23其中正确的有（　　）
A．0道 B．1道 C．2道 D．3道
6．下列运算结果最小的是（　　）
A．（﹣3）×（﹣2） B．（﹣3）2÷（﹣2）2 C．（﹣3）2×（﹣2） D．﹣（﹣3﹣2）2
7．形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为=xn﹣ym，依此法则计算的结果为（　　）
A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1
8．按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（　　）
A．x=3，y=﹣3 B．x=﹣4，y=2 C．x=5，y=﹣2 D．x=﹣3，y=﹣9
9．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+a．如：1☆3=1×32+1=10．则（﹣2）☆3的值为（　　）
A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20
10．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于3的负数，则m2+（cd+a+b）m+（cd）2017的值为（　　）
A．﹣8 B．0 C．4 D．7
11．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制（1111）2转换成十进制形式是（　　）
A．8 B．15 C．30 D．31
12．计算2﹣5=　 　；4×（﹣）=　 　；（﹣2）÷（﹣）=　 　；﹣（﹣2）2=　 　．
13．如果算式：6×÷8=3成立，那么中应填　 　．
14．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，共需　 　分钟．
15．定义运算“*”，规定x*y=2x+y，如1*2=4，2*3=7，则（﹣2）*5=　 　．
16．小明与小刚规定了一种新运算△：a△b=3a﹣2b．小明计算出2△5=﹣4，请你帮小刚计算2△（﹣5）=　 　．
17．已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，则代数式（x+y）y+xyz的值为　 　．
　
18．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．已知a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1．
（1）写出a，b，c的值；
（2）求代数式3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）的值．
20．一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是﹣1℃，小莉此时在山脚测得温度是5℃．已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，这个山峰的高度大约是多少米？
22．阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道： =1﹣， =﹣， =﹣， =﹣，……
那么：
（1）=　 　；
（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律　 　；
（3）求式子+++……．
　
六、举一反三
1．计算：(1)－8＋4－(－2)＝________，(2)_______．
2．按下面程序计算，输入x＝－3，则输出的答案是_______．
3．计算：(1)_______．(2)_______．
4．对整数2，3，－6，10(每个数只用一次)进行加减乘除四则运算，使其运算结果等于24，运算式可以是_______、_______、________．
5．下列各组运算中，其值最小的是 ( )
A．－(－3－2)2 B．(－3)×(－2)
C．(－3)2÷(－2)2 D．(－3)2÷(－2)
6．以下四个有理数运算的式子：①(2＋3)＋4＝2＋(3＋4)；②(2－3)－4＝2－(3－4)；
③(2×3)×4－2×(3×4)；④2÷3÷4＝2÷(3÷4)．其中正确的运算式子有 ( )
A．1个 　　　 B．2个 C．3个　　　 D．4个
7．下列计算：①0－(－5)＝－5；②(－3)＋(－9)＝－12；③；④(－36)÷(－9)＝－4．其中正确的个数是 ( )
A．1个 B．2个 　 C．3个 　　　 D．4个
8．计算(－12)÷[6＋(－3)]的结果是 ( )
A．2 　　　　B．6 　　　　C．－4 　　　 D．0
9．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店 ( )
A．不赔不赚 B．赚了10元 C．赔了10元 D ．赚了50元
10．计算：
(1)6－(－12)÷(－3)； (2)3×(－4)＋(－28)÷7；
(3)(－48)÷8－(－25)×(－6)；　　　(4)；
(5)；　　　　　　(6)；
(7)；
(8)－54÷32×；　　　　　(9)2×(－3)2－5÷×2．
11．下列各式的结果等于－1的是 ( )
A．　　　　　　　B．
C．(－1)2n(n为整数)　　　　　　　D．(－7)×(－5)－22×(－3)2
12．已知a、b为有理数，且，则(a＋b)[－a－(－b)]的值为 ( )
A．4 　　　　 B．－4　　　　　C．16 　　 D．－16
13．若a、b互为相反数，且a≠0，c、d互为倒数，，则的值是 ( )
A．4 　　　　 B．－2　　　　　C．4或－2 D．0或－2
14．规定一种符号f(x)＝，例如f(1)＝，f（），…，那么计算f(1)＋f(2)＋f ()＋f(3)＋f()＋…＋f(10)＋f()的结果是 ( )
A．9　　　 B．9 　　　　　C．8　　　 D．10
15．按下图中的程序运算，当输入的数据为4时，则输出的数据是________．
16．计算：
(1)；　　　　　 　(2)；
(3)；　　(4)；
(5)．
17．观察下面的解题过程：
例：求的值．
解：因为
所以
请用上述方法计算：．
18．计算：
(－0.25)4×(－8)3＋．
七、拓展视野
　在古代巴比伦，泥板是人们记载文字主要载体，那时人们把空位充当零．现在数学家们设计出各种表达概念和运算的符号，其目的在于节约时间、空间和气力．
在15世纪，人们最先使用的加和减符号分别是p和m．这是德国商人用“＋”和“－”的记号表示重量的增加和差缺．很快地，这“＋”和“－”记号便为数学家们所采用．到公元1481年之后，这两个符号开始广泛地出现在人们的手稿中．
乘的符号“×”要规因于W·奥托．但遇到了一些数学家的反对．反对的理由是，这个符号会跟字母x产生混淆．
经常会有这种情况，对于同一个概念，由于数学家的不同，而出现许多不同的符号．例如，在16世纪，F 韦达先是用一个词，而后又用符号“～”表示相等．笛卡儿则倾向于用“∝”这个符号．但雷科德的符号“＝”（1557）则最终被人们普遍采用．雷科德表示，他选择两条等长的平行线作为等号，是因为它们再相等不过．
虽然用字母代替未知量，早在古希腊的数学家欧几里得和亚里士多德就曾使用过，但一直没有形成一种共有的习惯．在16世纪，像radix（拉丁语“根”），res（拉丁语“东西”）这类词都曾被用于未知数．在1584－1589年间，律师韦达出任布列塔尼议会议员，此间他额外地从事了许多数学研究．他发展了用字母表开头的几个字母作为已知量，而最后的几个字母作为未知量．最后，在1657年，J伍德则把字母用于正数和负数两者．
∞曾被罗马人用来表示1000，而后来用于表示任意的非常大的数．公元1665年，一位牛津大学的教授约翰威廉第一次用这个符号表示无限．但该符号直至1713年贝努利使用它之后，才被广为采纳．
其他符号的演化是这样的：括号用于1533年；中括号[ ]和大括号{ }用于1593年．
人们很难想象，没有“＋”、“0”等符号，及其他人们认定的记号，我们怎么去从事数学问题的研究，同样地，实现这种几个世纪的演化而能为人们所普遍接受，也是极为艰难的！
第六讲：
易错指津：1.C 2.D. 3.C 4.-12 -10
5. 10 -27 -261
课堂练习：
1．D．2．D．3．A．4．A．5．A．6．D．7．D．8．D．9．D．
10．D．11．B．
12．﹣3；﹣2；6；﹣4．
13．4．
14．150分钟．
15．1
16．16．
17．1．
　
三．解答题（共4小题）
18．解：（1）原式=﹣9+1×（﹣4）+0=﹣13；
（2）原式=×8+（﹣）=﹣=；
（3）原式=﹣﹣+×（﹣8）=﹣﹣﹣=﹣=﹣；
（4）原式=﹣1﹣×（﹣4﹣9）×（﹣8）=﹣1﹣32=﹣33．
　
19．解：（1）∵a的相反数是2，b的绝对值是3，c的倒数是﹣1，
∴a=﹣2，b=±3，c=﹣1；
（2）3a（b+c）﹣b（3a﹣2b）
=3ab+3ac﹣3ab+2b2
=3ac+2b2，
∵a=﹣2，b=±3，c=﹣1，
∴b2=9，
∴原式=3×（﹣2）×（﹣1）+2×9=6+18=24．
　
20．设这个山峰的高度大约是x米，
根据题意得：5﹣×0.8=﹣1，
解得：x=750．
即这个山峰大约是750米；
　
21．解：（1）=﹣；
（2）根据题意得： =﹣；
（3）原式=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
故答案为：（1）﹣；
举一反三：
1．(1)－2 (2)－10 　2．3　 3．(1)150 (2)－88　4．答案不唯一
5．A 6．B 7．B 8．C　 9．B 10．(1)2 (2)－16 　(3) －156 (4) －25
(5)－ (6)23　 (7)－ (8)0　(9)－2
11．D 　12．D 　13．C　 14．A 　15． 2.5
16．(1)　(2)　(3)　(4)－　(5)　17．
18．－96
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