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第八讲 字母表示数（1）
一、要点复习
（1）设计目的：知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；会识别单项式系数与次数、多项式的项与次数；理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系．
（2）基本方法：知识点提问、典型例题回顾
二、知识梳理
用字母表示
1.代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。单独一个数或一个字母也是代数式。
2.代数式书写注意点：
（1）用字母表示数时,数与字母,字母与字母中的乘号可以省略不写；或用“·”表示．
例：“a×b”记为“ab” ．
（2）字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．例：“a×4”记为“4a”．
（3）出现除式时，用分数表示． 例：“a÷2”记为“” ．
（4）结果含加减运算的，单位前加“（ ）”。例：“a+2岁”应为“（a+2)岁” ．
（5）系数是带分数时，带分数要化成假分数．
代数式
1.式子3x, 0.55a,0.8a,它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2.（1）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
（2）一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。如的系数是，次数是1；abc的系数是1，次数是3；的系数是，次数是2.
3.几个单项式的和叫做多项式。例如，n-2,0.55a+0.35b等都是多项式。
（1）多项式中，每个单项式叫做多项式的项；
（2）多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。
4.单项式和多项式统称整式。
三、典型例题
知识点1：用字母表示数
例1：已知甲数为a，甲数比乙数大b+5，则乙数为____________．
【解析】甲数比乙数大b+5所以：甲数-（b+5）=乙数．
【解答】解：a-（b+5）=a-b-5．
故答案为：a-b-5。
例2：直径为4cm的圆，半径扩大xcm后的圆的面积为____________cm2
【解析】因为圆的面积=π×半径2，直径为4cm的圆，半径扩大xcm后的圆的半径为（2+x），代入求解即可．
【解答】解：此题中应由所给的直径得出圆的半径为2，扩大xcm的半径为（2+x）cm，所以面积为．
故答案为：。
例3：（1）买一副羽毛球拍需要m元，买一副乒乓球板需要n元，则买6副羽毛球拍和8副乒乓球板共需要 _______元。
（2）小李栽下1.8米高的小树苗，以后每年长0.3米，则t年后的树增高了_____米。
【解析】（1）根据已知条件列出代数式求值
（2）依据题意列出代数式，代入数字计算求值
【解答】解：（1）6m+8n（2）0.3t；
故答案为：（1）6m+8n（2）0.3t。
例4：下列各式中：(1)；(2)(a﹣b)÷c；(3)n﹣3人；(4)2 5；(5)．其中符合代数式书写要求的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据代数式的书写要求判断各项．
【解答】解：（1）应写成，当带分数与字母相乘时，应将带分数变成
分数；
（2）（a-b）÷c应写成，当表示商数关系时，应按分数的形式来书写，将
“除号”变成“分数线”；
（3）应写成（n-3）人；
（4）2 5应写成2×5，当两数相乘时应用“×”号；
（5）符合书写要求；
因此（1）、（2）、（3）、（4）皆错，所以符合要求的只有1个；
故答案为：A．
例5：如图，搭一条、两条、三条、四条金鱼各用几根火柴棒？
金鱼的条数 1 2 3 4 …… 20 …… n
所用火柴棒的根数 …… ……
【解析】观察图形可知，搭一条金鱼需要8根小棒，搭两条金鱼需要8+6根小棒，搭三条金鱼需要8+2×6=20根，以此类推
【解答】解：
金鱼的条数 1 2 3 4 …… 20 …… n
所用火柴棒的根数 8 14 20 26 …… 122 …… 6n+2
故答案为：8；14；20；26；122；6n+2。
知识点2：单项式
例1：的系数是_____，次数是_____．
【解析】单项式的次数是所含所有字母指数的和，系数就是前面的数字
【解答】解：的系数是1，次数是6；
故答案为：1，6。
例2：有代数式：(1)0；(2)﹣x；(3)；（4）；（5）；（6）；其中单项式有 ．
【解析】根据单项式的定义来作答．表示数与字母乘积的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也是单项式；分母中不含字母．其中，π是常数
【解答】解：（1）、（2）是单独一个数或字母，（3）是表示数与字母乘积，（4）π+2是数字，属于单项式；（6）m+n表示字母的和，是多项式；故单项式有（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案为：（1）（2）（3）（4）
例3：下列结论正确的是(　 　)
A.没有加减运算的代数式叫单项式 B.单项式的系数是3，次数是2
C.单项式m既没有系数，也没有次数 D.单项式的系数为-1，次数是4
【解析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】A.没有加减运算的代数式叫单项式，不正确，因为两个数相加也是单项式，如：1+π，错误；
B.系数包括分母，是，次数是字母的指数和，应为1+2=3，错误；
C.单项式m的系数是1，次数是1，可以省去不写，错误；
D.系数是数字因数-1，次数是字母指数和，是4，正确；
故答案为：D．
知识点3：多项式
例1：下列说法中正确的是(　　)
A.单项式一定是整式，而整式不一定是单项式
B.整式一定是多项式，而整式不一定是单项式
C.只含有乘除运算的式子叫单项式
D.单项式的次数是各个字母指数中最大的数
【解析】根据整式、单项式、单项式次数的定义来求解．单项式和多项式统称整式；表示数与字母乘积的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也是单项式，分母中不含字母；所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】A.正确，整式包括单形式和多项式；
B.错误，整式包括单形式和多项式；
C.错误，表示数与字母乘积的代数式叫单项式；
D.错误，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．故选：A．
故答案为：A。
例2：下列多项式中是二次三项式的是( 　)
A. B. C. D.
【解析】二次三项式即是指次数最高项的次数是2，项数是3的多项式，根据这个定义即可判定．
【解答】A、是二次三项式；
B、x+y+z不是二次三项式；
C、只有两项；
D、的次数是三次；
故答案为：A．
例3：一个多项式含有的项分别是，﹣xy，﹣，3，则这个多项式为(　　)
A. B. C. D.以上都不对
【解析】由于多项式是由多个单项式组成的，现在已知一个多项式含有的项分别是，-xy，-，3，而确立多项式时符号应是项的一部分，由此就可以确定这个多项式．
【解答】解：∵多项式是由多个单项式组成的，而现在一个多项式含有的项分别是，-xy，-，3，则这个多项式为．
故答案为：C．
例4：m，n都是正整数，多项式++3m+n的次数是(　　)
A.2m+2n B.m或n C.m+n D.m，n中的较大数
【解析】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此多项式++3m+n的次数是m，n中的较大数是该多项式的次数．
【解答】根据多项式次数的定义求解．由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此多项式中次数最高的多项式的次数，即m，n中的较大数是该多项式的次数．
故答案为：D．
四、易错指津
1．已知a，b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式2（a＋b）－3cd的值为（ ）．
A.2 B.－1 C.－3 D.0
2．当x＝3时，代数式px3＋qx＋1的值为2002，则当x＝－3时，代数式px3＋qx＋1的值为（ ）．
A.2000 B.－2002 C.－2000 D.2001
3．关于代数式的值，下列说法错误的是 （ ）．
A.当a＝时，其值为0 B.当a＝－3时，其值不存在
C.当a≠－3时，其值存在 D.当a＝5时，其值为5
4.某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下已知该楼梯长S米，同学上楼速度是a米/分，下楼速度是b米/分，则他的平均速度是（ ）米/分．
A、 B、 C、 D、
5．下列说法中，正确的是（　　）
　 A．﹣x2的系数是 B． πa2的系数是
　 C．3ab2的系数是3a D． xy2的系数是
6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，其中第10个式子是( )．
A． B． C． D．
五、课堂练习
1.一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙合做此项工程所需的时间为 小时．
2．代数式，，，，0，中是单项式的是________，是多项式的是________．
3.若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2+2015=　 　．
4．是关于x、y的五次单项式，且系数为3，则a+b的值为________．
5．多项式3x2+πxy2+9中，次数最高的项的系数是　 　．
6. 如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝______．
三、解答题
7. 某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本.
(1).用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2).若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？
8.要是关于x、y的多项式my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y不含三次项，求2m+3n的值．
9.做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 3a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
六、举一反三
一、选择题
1． x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）．
A、 B、 C、 D、
2. 下列各式符合代数式书写规范的是（　　）
　 A． B． a×3 C． 2m﹣1个 D． 1m
3.已知：a﹣3b=2，则6﹣2a+6b的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
4．已知单项式，下列说法正确的是( )．
A．系数是-4，次数是3
B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是3
D．系数是，次数是2
5．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数( )．
A．都小于3 B．都等于3 C．都不小于3 D．都不大于3
6．下列代数式：a+2b，，，，0中，整式的个数是( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7.校园里刚栽下1.8m高的小树苗，以后每年长0.3m，则n年后是 m．
8.某种电脑原来是a元钱，“五一”搞促销活动，每台下降10%，则“五一”期间这种电脑的售价为 元．
9.单项式的系数与次数之积为　 　．
10．三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4（n为整数），则最大的一个偶数为 ．
11.有一大捆同种型号的电线，现要确定其长度， 从中先取一段电线，称出它的质量为千克，量出它的长度为米，再称得其余电线的总质量为千克，则这捆电线的总长度为
米．
12.观察下列关于x的单项式，探究其规律x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2016个单项式是　 　．
三、解答题
13.请你结合生活实际，设计具体情境，解释下列代数式的意义：
（1）；
（2）（1+20%）x．
14．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
15.某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．
七、拓宽视野
阿基米德、牛顿、高斯被誉为历史上最伟大、最杰出的三位大数学家．牛顿也是17世纪英国著名的物理学家，他和德国数学家莱布尼兹共同创立了微积分，物理学中的牛顿三定律和万有引力定律就是他提出来的，同时，牛顿对光学的研究也有重大贡献．这位大数学家喜欢用方程解题，他并不认为用方程详细地解“文字题”会降低自己的身份．
牛顿曾经说过：“要想解一个有关数目的问题，或者有关量的抽象关系问题，只要把问题中的日常用语，译成代数用语就成了”．
第八讲 代数式
【答案与解析】
四、易错指津
1. 【答案】C；
2. 【答案】C；
3. 【答案】D；
4. 【答案】D；
【解析】平均速度等于总路程除以总时间，即上下楼梯的总路程2s，总时间是上楼时间：，下楼时间：，所以答案选Ｄ．
5.【答案】D．
【解析】A、﹣x2的系数是﹣，故本选项错误；
B、πa2的系数是π，故本选项错误；
C、3ab2的系数是3，故本选项错误；
D、xy2的系数，故本选项正确．
6．【答案】B
【解析】观察每个式子知，每个多项式都是二项式，且a、b的指数与式子的个数n之间的关系是a的指数为n，b的指数为2n-1，而且含a项的系数都是1，含b项的系数为，即第n个式子为，所以第10个式子是．
五、课堂练习
1. 【答案】；
【解析】甲的工作效率为，乙的工作效率为，合作的工作效率为，合作的工作时间为．
2. 【答案】，，，0 ； ，；
【解析】单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和．
3.【答案】2005．
【解析】6b﹣2a2+2015=﹣2（a2﹣3b）+2015=﹣2×5+2015=﹣10+2015=2005．
4.【答案】1；
【解析】由-a＝3，2+b-1＝5，得a＝-3，b＝4，则a+b＝-3+4＝1．
5.【答案】π；
【解析】解：多项式3x2+πxy2+9中，最高次项是πxy2，其系数是π．
故答案为：π．
6. 【答案】30．
【解析】2+4+6+…+2n＝930，即2(1+2+3+…n)＝930，2×即n(n+1)＝930，故n＝30．
三、解答题
7. 【解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1) 代数式分别为: 25×10+5(x-10), (25×10+5x)×90% ．
(2) 把x＝30分别代入两个代数式:
25×10+5(x-10)＝25×10+5(30-10)＝350，
(25×10+5x)×90%＝(25×10+5×30)×90%＝360 ．
所以选择第一种优惠方式.
8.【解析】
解：my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y=（m+2）y3+（3n﹣1）x2y+y，
∵关于x、y的多项式my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y不含三次项，
∴m+2=0，3n﹣1=0，
∴m=﹣2，n=，
∴2m+3n
=2×（﹣2）+3×
=﹣3．
9.【解析】
解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，
答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米．
（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc，
答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米．
六、举一反三
1.【答案】D；
2.【答案】A．
【解析】A、符合代数式的书写，故A选项正确；
B、a×3中乘号应省略，数字放前面，故B选项错误；
C、2m﹣1个中后面有单位的应加括号，故C选项错误；
D、1m中的带分数应写成假分数，故D选项错误．
3. 【答案】A；
【解析】解：∵a﹣3b=2，
∴6﹣2a+6b
=6﹣2（a﹣3b）
=6﹣2×2
=6﹣4
=2．
故选：A．
4．【答案】B；
5．【答案】D；
【解析】多项式的次数是该多项式中各项次数最高项的次数.
6. 【答案】C；
【解析】单项式与多项式统称为整式.
二、填空题
7. 【答案】（0.3n+1.8）；
8．【答案】90%a；
【解析】a（1-10%）＝90%.
9. 【答案】-2
【解析】根据单项式定义得：单项式的系数是﹣，次数是3；其系数与次数之积为﹣×3=﹣2．
10.【答案】2n+8；
【解析】三个连续偶数中，最小的偶数为2n+4，则其他偶数分别为：2n+6，2n+,8．
11.【答案】（或）；
【解析】1千克电线长米，则这捆电线的总长度为．
12.【答案】4031x2016．
【解析】解：根据分析的规律，系数满足的规律是2n-1，字母的指数等于n，得第2016个单项式是4031x2016．
故答案为：4031x2016．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）汽车每小时行驶a千米，行驶30千米所用时间为小时．
（2）小明家去年产粮食x千克，今年增产20%，则今年的产量为（1+20%）x千克．
14．【解析】
15. 【解析】
解： 第一排有18个座位；第二排有(18+2)个；第三排有(18+2+2)个；
第四排有(18+2+2+2个，…，第n排有[18+2(n-1)]个座位．
当n＝19时，18+2(n-1)＝18+2×(19-1)＝54（个）．
答：第n排有[18+2(n-1)]个座位，第19排有54个座位．
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