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第十讲 字母表示数的加减
一、要点复习
（1）设计目的：会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
（2）基本方法：知识点提问、典型例题回顾
二、知识梳理
1. 同类项
（1）所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；
（2）所有的常数项都是同类项.
2. 合并同类项
（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；
（2）合并同类项法则：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变.
3. 去括号、添括号法则
（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里的各项都改变符号.
（2）括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号.
4. 整式加减的一般步骤
（1）如果有括号，那么先去括号；
（2）如果有同类项，再合并同类项.
三、典型例题
例1：合并同类项
（1） （2）
（3） （4）
【解析】根据去括号法则进行去括号，括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号.
【解答】（1）原式=2a-3a+b= -a+b;
（2）原式=3x-3-2x=x-3;
（3）原式=5x-3y-4x+8y=x+5y;
（4）原式=x-2x+y+3x-2y=2x-y;
故答案为：（1）-a+b；（2）x-3；（3）x+5y；（4）2x-y；
变式：合并同类项
(1) (2)
【解析】先去括号，再合并同类项即可；
【解答】（1）原式=9a2－6ab-8a2+2ab=a2－4ab；
原式=2x-(2x+6y-3x+6y)=2x+x-12y=3x-12y；
故答案为：（1）a2－4ab；（2）3x-12y；
例2：求下列多项式的值:
，其中x=2，；
【解析】先合并同类项，然后代入求值即可；
【解答】原式=.当x=2,时，原式=；
故答案为： ；
变式：已知（a＋2）2＋|a＋b＋5|＝0，求3a2b一[2a2b－（2ab－a2b）－4a2]－ab的值．
【解析】由平方与绝对值的非负性，得出a与b的值，先化简再求值；
【解答】∵（a＋2）2≥0，|a＋b＋5|≥0,又（a＋2）2＋|a＋b＋5|＝0;
∴a+2=0且a+b+5=0;
∴a=-2,b=-3;
原式=3a2b-(2a2b-2ab+a2b-4a2]-ab=4a2+ab=4×(-2)2+(-2)×(-3)=16+6=22;
故答案为：22；
例3：某地电话拨号上网有两种方式，用户可以任选其一：
A．计时制：0.05元/分；
B．包月制：50元/月(限一部个人住宅电话上网).
此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.
（1）某用户某月上网的时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
【解析】（1）第一种是费用=每分钟的费用×时间+通信费；第二种的费用=月费﹢通信费；
（2）分别计算x=20时对应的费用，再进行比较；
【解答】（1）采用计时制应付费用为：0.05x·60﹢0.02·x·60=4.2x（元）；采用包月制应付的费用为：50﹢0.02·x·60=（50﹢1.2x）（元）；
（2）若一个月的上网时间为20个小时，代入到（1）中的代数式求值，则计时制应付的费用为84元，包月制应付的费用为74元，很明显，包月制较为合算；
故答案为：（1）计时制应付费用为：4.2x元，包月制应付费用为：（50+1.2x）元；
（2）包月制比较合算；
例4：已知A=5a2b+4ab+a，B=4a2b+5ab-3a，求3B-2（3B-A）的值，其中a=-2，b=-1．
【解析】先将3B-2（3B-A）化简为2A-3B，然后用2（5a2b+4ab+a）-3（4a2b+5ab-3a）代替，然后去括号，合并同类项，得出结果-2a2b-7ab+11a，然后代数式求值即可；
【解答】3B-2（3B-A）=2A-3B=2（5a2b+4ab+a）-3（4a2b+5ab-3a）=-2a2b-7ab+11a；
因为a= -2，b= -1；当a= -2，b=-1时，原式=-2×（-2）2×（-1）-7×（-2）×（-1）+11×（-2）=8-14-22=-28；
故答案为：-28；
变式：若(x2＋ax－2y＋7)―(bx2―2x＋9 y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值．
【解析】将原式化简，组成“Ax2＋Bx-Cy+常数”的形式，根据题意可知x的二次方系数之差为0，x的一次方系数之差也为0，由此可解出a,b的值；
【解答】(x2＋ax－2y＋7)―(bx2―2x＋9 y－1)=x2＋ax－2y＋7－bx2﹢2x－9 y﹢1
=（1－b）x2＋（a﹢2）x-11y﹢8;
∵原式的值与字母x的取值无关，
∴1－b=0，a﹢2=0，
∴a=-2,b=1;
故答案为：a=-2,b=1；
例5：若多项式的值与字母x无关，试求多项式的值
【解析】对多项式进行合并同类项，然后由多项式的值与字母x无关，使得x的系数为0，得出关于a,b的方程组解出a,b，再化简代值计算得值；
【解答】2x2－ax＋3y－b＋bx2＋2x－6y＋5=（2+b）x2＋（2-a）x-3y+5-b;
∵多项式2x2－ax＋3y－b＋bx2＋2x－6y＋5的值与字母x无关，
∴2+b=0,2-a=0，
解得b=-2,a=2;
6(a2－2ab－b2)－(2a2－3ab＋4b2)
=6a2－12ab－6b2－2a2﹢3ab－4b2
=4a2－9ab－10b2
=4×22－9×2×（-2）－10×（-2）2
=12
故答案为：12；
四、易错指津
1.计算：（2mn﹣m2+n2）+（m2﹣n2+mn）.
2.已知：ax2+2xy-x与2x2-3bxy+3y的差中不含2次项，求a2-15ab+9b2的值.
3.先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x=，y=2012．
五、课堂练习
一、选择题
1．下列各式中去括号正确的是（　　）.
A. a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a﹣b2+b
B. ﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2
C. 2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+5
D. ﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3+4a2﹣1+3a
2. 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ．
A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1
3．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
4.如果，那么代数式的值为（ ）．
A. 6 B.8 C. -6 D. -8
5.化简5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）之后，可得下列哪一个结果（　　）．
A. 2x﹣27 B. 8x﹣15 C. 12x﹣15 D. 18x﹣27
6. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，且，则代数式的值为（ ）．
A. B . 0 C. D.
7.﹣[x﹣（y﹣z）]去括号后应得（　　）
A．﹣x+y﹣z B．﹣x﹣y+z C．﹣x﹣y﹣z D．﹣x+y+z
8.如果对于某一个特定范围内的任意允许值，的值恒为一个常数，则此值为 （ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
9．
．
10．计算：2（a﹣b）+3b=　 　．
11. 当时，代数式的值等于-17，那么当时，代数式的值等于 ．
12. 有理数a,-b在数轴上的位置如图所示，化简= ．
13. 任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被______整除.
六、举一反三
一、选择题
1.下列各组中，不是同类项的是（　　）
A. 52与25 B. ﹣ab与ba C. 0.2a2b与﹣a2b D. a2b3与﹣a3b2
2．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
3． 三角形的一边长等于m+n，另一边比第一边长m-3，第三边长等于2n-m，这个三角形的周长等于( )．
A．m+3n-3 B．2m+4n-3 C．n-n-3 D．2，n+4n+3
4. 若为自然数，多项式的次数应为（ ）．
A． B． C．中较大数 D．
5.下列运算中，正确的是（　　）
A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5 C．5a2﹣4a2=1 D．5a2b﹣5ba2=0
6. 如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“ ”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“ ”所代表的单项式可能是( )．
A．6 B．d C．c D．e
7．若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是( )．
A．十四次多项式 B．七次多项式
C．不高于七次的多项式或单项式 D．六次多项式
二、填空题
8. （1）；（2）；
（3）
9. 找出多项式中的同类项 、 、 。
10.若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n=　 　．
11．当k＝ 时，代数式中不含xy项．
12．按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是　　．
13．把正整数依次排成以下数阵：
2， 4 ， 7，… …
5， 8，… …
6， 9， … …
10， … …
如果规定横为行，纵为列，如8是排在2行3列，则第10行第5列排的数是____________
三、解答题
14.若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
15．先化简，再求值．
(1)，其中x＝-2，；
(2)．其中a＝1，b＝-2．
16．要使关于的多项式不含三次项，求的值．
七、拓宽视野
国王做了一顶金王冠，他怀疑工匠用银子偷换了一部分金子，便要阿基米德鉴定它是不是纯金制的，且不能损坏王冠。阿基米德捧着这顶王冠整天苦苦思索，有一天，阿基米德去浴室洗澡，他跨入浴桶，随着身子浸入浴桶，一部分水就从桶边溢出，阿基米德看到这个现象，头脑中像闪过一道闪电，“我找到了！”
阿基米德拿一块金块和一块重量相等的银块，分别放入一个盛满水的容器中，发现银块排出的水多得多。于是阿基米德拿了与王冠重量相等的金块，放入盛满水的容器里，测出排出的水量；再把王冠放入盛满水的容器里，看看排出的水量是否一样，问题就解决了。
第十讲 整式的加减
【答案与解析】
1．【解析】
解：原式=2mn﹣m2+n2+m2﹣n2+mn
=3mn．
2. 【解析】
解： (ax2+2xy-x)-(2x2-3bxy+3y)=ax2+2xy-x-2x2+3bxy-3y=(a-2)x2+(2+3b)xy-x-3y.
∵此差中不含二次项，
解得：
当a=2且3b= -2时，
a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28.
3.【解析】
解：原式=﹣x2+x﹣2y+x+2y=﹣x2+x，
当x=，y=2012时，原式=﹣+ = ．
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】A、a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a+b2﹣b，故本选项错误；
B、﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项错误；
C、2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+15，故本选项错误；
D、﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3﹣[﹣4a2+1﹣3a]=﹣a3+4a2﹣1+3a，故本选项正确．
2．【答案】A
【解析】(3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．
3．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
4．【答案】C
【解析】，．
5. 【答案】D
【解析】5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）=5（2x﹣3）+4（2x﹣3）=9（2x﹣3）=18x﹣27．
6．【答案】A
【解析】由图可知：，
所以．
7．【答案】A
【解析】解：﹣[x﹣（y﹣z）]
=﹣（x﹣y+z）
=﹣x+y﹣z．
故选：A．
8．【答案】B
【解析】值恒为一常数，说明原式去绝对值后不含项，进而可得下图：
由此得：P =．
二、填空题
9. 【答案】
10. 【答案】2a+b
【解析】原式=2a﹣2b+3b=2a+b.
11．【答案】 22
【解析】由题意可得：，即有.
又因为.
12．【答案】
【解析】，所以原式=.
13．【答案】9
【解析】设任意一个的三位数为a×102+b×10+c.其中a是1～9的正整数，b,c分别是0～9的自然数.
∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用m表示整数11a+b) .
∴任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被9整除.
六、举一反三
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
3．【答案】B
【解析】 另一边长为，周长为
．
4．【答案】C
【解析】是常数项，次数为0，不是该多项式的最高次项．
5．【答案】D
【解析】解：A、3a+2b无法计算，故此选项错误；
B、2a3+3a2无法计算，故此选项错误；
C、5a2﹣4a2=a2，故此选项错误；
D、5a2b﹣5ba2=0，正确．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】题中“ ”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“ ”所代表的单项式可能是e，故选D．
7．【答案】C
二、填空题
8. 【答案】
9. 【答案】
10. 【答案】4.
【解析】解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，
∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n，
解得：m=3，n=1．
故m+n=4．
故答案为：4．
11. 【答案】
【解析】合并同类项得：．由题意得．故．
12. 【答案】12
【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入x的值输入计算即可．
由表列代数式：（x3﹣x）÷2
∵x=3，∴原式=（27﹣3）÷2=24÷2=12．
13. 【答案】101
【解析】第10行的第一个数是：1+2+3+…+10=55，第10行的第5个数是：55+10+11+12+13=101．
三、解答题
14.【解析】解：由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，得，
解得．
当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．
15.【解析】（1）原式．当，时，原式＝1；
（2）原式，当，时，原式＝5．
16.【解析】原式=
要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0，所以有：
，即有：
所以．
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