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第十一讲 代数式复习
一、要点复习
（1）设计目的：进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示； 理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活的密切联系；会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律；理解并掌握单项式与多项式的相关概念；理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练的运用整式的加减运算法则，进行整式的加减运算、求值；深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
（2）基本方法：知识点提问、典型例题回顾
二、知识梳理
三、典型例题
例1：如图，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个正方形组成.
（1）第2个图形中，火柴棒的根数是 ；
（2）第3个图形中，火柴棒的根数是 ；
（3）第n个图形中，火柴棒的根数是 ；
（4）按此规律，拼到第几个图形时所用的火柴数量是2011根。
【解析】（1）（2）图片中的火柴根数可以数得；
根据（1）（2）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴棒数为：4+3（n-1）；
令4+3（n-1）=2011求得n的值即可；
【解答】解：根据已知图形可以发现：
第2个图形中，火柴棒的根数是7；
第3个图形中，火柴棒的根数是10；
∵每增加一个正方形火柴棒数增加3，
∴第n个图形中应有火柴棒数为：4+3（n-1）=3n+1；
当4+3（n-1）=2011时，解得：n=700，答：第700个图形有火柴棒数量2011根；
故答案为：（1）7；（2）10；（3）3n+1；（4）2011；
例2：在中多项式的个数有 个.
【解析】根据多项式的定义来判定，多个单项式的和是多项式；
【解答】解：因为3mn是乘积的形式，所以它是单项式；
故答案为：4；
变式：（1）多项式中，四次项的系数为 .
（2）若为七次四项式，则= .
【解析】根据多项式的项和次数以及单项式的系数的定义解答即可；
【解答】（1）多项式是由四项组成，所以是四项式；其中四次项的系数是为1；
由于多项式是关于、的七次四项式，所以，解得将代入到=；
故答案为：（1）1；（2）5；
变式：若多项式A与多项式的和为，则多项式A为 .
【解析】根据多项式的加减运算法则对代数式进行计算；
【解答】根据题意可得这个多项式A为：
故答案为：；
例3：若是同类项，则x+y= .
【解析】利用同类项的定义求出的值，即可确定出的值；
【解答】∵
∴
∴将的值代入到中得
故答案为：9；
变式：若与是同类项，求代数式的值．
【解析】利用同类项的定义求出的值，代入代数式求值即可；
【解答】解：∵与是同类项，
∴
∴
又∵=;
将的值代入到
故答案为：15；
例4：化简求值：，其中
【解析】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值；
【解答】解：原式=
当原式=；
故答案为：；
变式：若，求的值.
【解析】由非负数的性质先求得的值，然后代入数值进行计算即可；
【解答】解：∵∴
=
=
=
故答案为：8；
例5：对于代数式2x2+7xy+3y2+x2-kxy+5y2，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，代数式中不含xy项，第二个问题是：在第一问的前提下，如果x=2，y=-1，代数式的值是多少？（1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧．（2）在做第二个问题时，马小虎同学把y=-1，错看成y=1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
【解析】（1）代数式中不含xy项就是合并同类项以后xy的系数为0，据此可以得出；
（2）把x=2,y=-1和x=2,y=1代入（1）中的代数式求值即可判断；
【解答】解：（1）因为2x2+7xy+3y2+x2-kxy+5y2
=（2x2+x2）+（3y2+5y2）+（7xy-kxy）
=3x2+8y2+（7-k）xy
所以只要7-k=0，这个代数式就不含有xy项，即k=7,代数式中不含有xy项；
（2）因为在第一问的前提下原代数式为3x2+8y2
当x=2,y=-1时，原式=3×22+8×（-1）2=12+8=20；
所以马小虎的结果是正确的;
故答案为：（1）k=7；（2）20；
变式：若已知，则 .
【解析】利用代数式整体代入的方法即可求出值；
【解答】∵；
∴
又∵
∴原式=
故答案为：
例6：一个两位数，十位上数字,个位上数字分别是.已知,现将十位上数字,个位上数字都减去3,所在位置不变组成一个新两位数.求原两位数与新两位数之和是多少
【解析】根据题意列出正确的代数式，然后代数式求和即可；
【解答】由题意知原来的两位数是，现在两个数都减去3，所得的新的两位数为：所以两个数求和所得的结果为：
故答案为：；
四、易错指津
一、选择题
1.单项式2a的系数是（　　）
A．2 B．2a C．1 D．a
2．下列计算正确的个数 （ ）.
① ；② ； ③ ；
④ ； ⑤
A．2 B．1 C．4 D．0
3．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b，其中a，b为有理数，则3 * 5的值为( )．
A．11 B．12 C．13 D．14
4．化简(n为正整数)的结果为( )．
A．0 B．-2a C．2a D．2a或-2a
5．已知a-b＝-3，c+d＝2，则(b+c)-(a-d)为( )．
A．-1 B．-5 C．5 D．1
6. 有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则 （ ）.
A．－2b B．0
C．2c D．2c－2b
7．当x＝-3时，多项式的值是7，那么当x＝3时，它的值是( )．
A．-3 B．-7 C．7 D．-17
8．如果是关于的二次三项式，那么m，n应满足的条件是( )．
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠-1，n为大于3的整数 D．m≠-1，n＝5
五、课堂练习
1．是关于x，y的一个单项式，且系数是3，次数是4，则m＝________，n＝________．
2． （1）（___________）；
（2）2a－3（b－c）＝___________．
（3）(________)＝7x+8．
3．当b＝________时，式子2a+ab-5的值与a无关．
4．若，则________．
5.一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要　 　元．
6.当k=__________时，多项式x2－3kxy－3y2－xy－8中不含xy项.
7．若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10=　 　．
8．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
9.先化简，再求值．
（a2+1）﹣3a（a﹣1）+2（a2+a﹣1），其中a=﹣1．
10.观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
（1）按此规律写出第9个单项式；
（2）试猜想第N个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
11. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形
和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,
其中，GH=2cm, GK=2cm, 设BF=x cm,
（1）用含x的代数式表示CM= cm,
DM= cm.
（2）若x=2cm，求长方形ABCD的面积.
12. 测得一弹簧的长度L(厘米)与悬挂物体的质量x(千克)有下面一组对应值：
试根据表中各对对应值解答下列问题：
(1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L．
(2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？
(3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？
(4)若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？
六、举一反三
一、选择题
1．已知a与b互为相反数，且x与y互为倒数，那么|a+b|-2xy的值为( )．
A．2 B．-2 C．-1 D．无法确定
2．多项式2a2b﹣ab2﹣ab的项数及次数分别是（　　）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2
3．在-3，π，-2，，，六个代数式中，是单项式的个数（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．对于式子，下列说法正确的是( )．
A．不是单项式
B．是单项式，系数为-1.2×10，次数是7
C．是单项式，系数为-1.2×104，次数是3
D．是单项式，系数为-1.2，次数是3
5．下面计算正确的是（ ）
A．3－=3 B．3＋2=5 C．3＋=3 D．－0.25＋=0
6．2a-(5b-c+3d-e)＝2a□5b□c□3d□e，方格内所填的符号依次是( )．
A．+，-，+，- B．-，-，+，-
C．-，+，-，+ D．-，+，-，-
7．某工厂现有工人a人，若现有工人数比两年前减少了35%，则该工厂两年前工人数为( )．
A． B．(1+35%)a C． D．(1-35%)a
8．若的值为8，则的值是( )．
A．2 B．-17 C．-7 D．7
二、填空题
9.端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖_______元．
10．单项式的系数是 ，次数是 ．
11．是________次________项式，最高次项的系数是________．
12．化简：2a-(2a-1)＝________．
13．如果，，那么________．
14．一个多项式减去3x等于，则这个多项式为________．
15．若与﹣3ab的和为单项式，则m+n=　 　．
16．如图所示，外圆半径是R厘米，内圆半径是r厘米，四个小圆的半径都是2厘米，则图中阴影部分的面积是________平方厘米．
三、解答题
17．化简：
(1) (2)
18.已知：，，，当时，求代数式的值.
19.列式计算：一个多项式加上2x2﹣x+5等于4x2﹣6x﹣3，求这个多项式？
20．某农场有耕地1000亩，种粮食、棉花和蔬菜. 其中蔬菜用地a亩，粮食用地比蔬菜用地的6倍还多b亩，求棉花用地多少亩？当a=120，b=4时，棉花用地多少亩？
七、拓宽视野
　　法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。
第十一讲 代数式的复习
【答案与解析】
四、易错指津
1.【答案】A．
2．【答案】D
3. 【答案】C
【解析】按规定的运算得：3*5＝3×5+3-5＝13．
4. 【答案】A
【解析】分析两种情况，当n为偶数时，，，当n为奇数时，，，无论哪种情况，结果都是0．
5．【答案】C
【解析】(b+c)-(a-d)＝b+c-a+d＝-a+b+c+d＝-(a-b)+(c+d)
当a-b＝-3，c+d＝2时，原式＝-(-3)+2＝5，所以选C．
6．【答案】B
7. 【答案】D
【解析】由已知条件得：，通过适应变形得：
．当x＝3时，原式，再把变形后的式子的值整体代入即可．
8．【答案】D
【解析】由题意得：n-3＝2且m+1≠0，得n＝5且m≠-1．
五、课堂练习
1．【答案】-3 , 3
【解析】由系数为3，得-m＝3，则m＝-3．由次数为4，得x，y的指数之和为4，即n+1＝4，则n＝3．
2.【答案】
3.【答案】-2
【解析】2a+ab-5＝(2+b)a-5．因为式子的值与a无关，故2+b＝0，所以b＝-2．
4.【答案】-24
【解析】因为与互为相反数，又因为，
所以，由此可得．
5.【答案】2000a．
6.【答案】－；
【解析】，解得．
7．【答案】1；
【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10，
把mn=m+3代入得：原式=﹣3m﹣9+3m+10=1，
故答案为：1.
8.【答案】127, .
【解析】∵第1个图形需要7=1+6×1枚棋子，
第2个比第1个多12个，即1+6×（1+2）枚，
第3个比第2个多18个，即1+6×（1+2+3）枚，
第4个比第三个多24个，即1+6×（1+2+3+4）=61枚，
……,
∴第n个比第(n-1)个多6n个，即1+6×（1+2+3+4+…+n）=3n2+3n+1枚．
9. 【解析】
解：原式=a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1，
当a=﹣1时，
原式=﹣5﹣1=﹣6．
10.【解析】
解：（1）∵当n=1时，xy，
当n=2时，﹣2x2y，
当n=3时，4x3y，
当n=4时，﹣8x4y，
当n=5时，16x5y，
∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．
（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，
∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1xny，
它的系数是2n﹣1，次数是n+1．
11.【解析】
解：（1）(x＋2)，（2x＋2）（或（3x））.
（2）长方形的长为： (cm),
宽为：(cm).
∴长方形的面积为：14×10＝140 （cm2）.
答：长方形ABCD的面积为140cm2 .
12.【解析】
解：(1).
(2)将，代入，得（㎝）
∴所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17㎝.
(3)将，代入，得，解得
∴若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为12千克.
(4)∵弹簧的长度不超过20厘米，即L≤20，
∴≤20，得≤16.
∴若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过16千克.
六、举一反三
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】根据已知条件，a与b互为相反数，即a+b＝0，x与y互为倒数，即xy＝1，所以|a+b|-2xy＝0-2×1＝-2，故选B．
2.【答案】A
【解析】2a2b﹣ab2﹣ab是三次三项式，故次数是3，项数是3．
3. 【答案】B
【解析】解：﹣3，﹣x2y是单项式.注意-2是分式．故选：B．
4．【答案】 C
【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数，所以系数为-1.2×104，次数应为x与y的指数之和，不包括10的指数4，故次数为3．不要犯“见指数就相加”的错误．所以正确答案为C．
5. 【答案】D
6．【答案】 C
【解析】因为括号前是“－”号，所以去括号时，括号里各项都变号，故选C．
7. 【答案】C
【解析】把减少前的工人数看作整体“1”，已知一个数的(1-35%)是a，求这个数，则是，注意列式时不能用“÷”号，要写成分数形式．
8．【答案】C
【解析】，，，故．
二、填空题
9.【答案】．
10. 【答案】；
11．【答案】三， 三 ， ；
【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数，确定系数时不要忽视前面的“-”号．
12．【答案】1；
【解析】先根据去括号法则去括号，然后合并同类项即可，2a-(2a-1)＝2a-2a+1＝1．
13．【答案】5；
【解析】用前式减去后式可得．
14．【答案】；
【解析】要求的多项式实际上是，化简可得出结果．
15．【答案】4；
【解析】解：∵与﹣3ab的和为单项式，
∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n，
解得：m=3，n=1．
故m+n=4．
故答案为：4．
16．【答案】；
【解析】阴影部分的面积＝大圆面积-最中间的圆的面积-4个小圆的面积．
三、解答题
17. 【解析】
解：（1）
原式==.
（2）
18．【解析】
解：∵ ∴
∴
当时，
.
19.【解析】
解：根据题意得：（4x2﹣6x﹣3）﹣（2x2﹣x+5）=4x2﹣6x﹣3﹣2x2+x﹣5=2x2﹣5x﹣8．
20.【解析】
解：棉花用地：1000－a－(6a＋b)＝(1000－7a－b)亩.
　　当a＝120，b＝4时，原式＝1000－7×120－4
　　　　　 ＝156(亩).
答：棉花用地(1000-7a-b)亩.当a=120，b=4时，棉花用地为156亩.
…
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