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2023年春学期射阳外国语学校八年级抽考数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分）
1. 已知点 到圆心 的距离为 5，若点 在圆内，则⊙ 的半径可能为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 如图， 是⊙ 的直径， 为弦， ⊥ 于点 ，则下列结论中不成立的是( )
A. = B. = C. = D. =
3. 如图， ， 是⊙ 的半径，连结 ，过点 作 // 交⊙ 于点 ，连结 ，
若∠ = 100°，则∠ 的度数为 ( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
4. 如图，从圆 外一点 引圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，如果∠ = 60°，
= 8，那么弦 的长是( )
A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3
5. 正六边形的周长为 6，则它的外接圆半径为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
6. 一个扇形的半径为 24 ，面积是 240 2，则扇形的圆心角是( )
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
7. 已知圆锥的底面圆半径为 2 ，母线长为 6 ，则圆锥的侧面积是( )
A. 12 2 B. 16 2 C. 20 2 D. 24 2
8. 黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了 110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有
( )
A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支
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二、填空题（本大题共 8 小题，共 24 分）
9. ⊙ 的圆心是原点 (0,0)，半径为 5，点 (3, )在⊙ 上，如果点 在第一象限内，
那么 =______．
10. 圆被一弦分成的两条弧的比是 1：2，这弦所对的圆周角的度数是______．
11. 已知 △ 的两边的长分别为 6 和 8 ，则它的外接圆的半径为______ ．
12. 如图，四边形 内接于⊙ ，连接 ， .若∠ = 130°，则∠ 的度数
是 °.
13. 如图，在正八边形 中， 、 是两条对角线，则∠ 的度数为 °.
14. 如图所示，△ 中，∠ = 90°， = 8 ， = 12 .点 沿射线 方向从
点 出发以 1 / 的速度移动，点 沿射线 方向从点 出发以 2 / 的速度移动， ，
同时出发， 秒后，△ 的面积为 1 2．
15. 2021年 3月 25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全
球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带
病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 169人患新冠肺炎(假设每轮传染的人
数相同)，则每轮传染中平均每个人传染了几个人__________．
16. 3如图，直线 = 4 3交 轴于点 ，交 轴于点 ，点 是 轴上一动点，以点
为圆心，以 1个单位长度为半径作⊙ ，当⊙ 与直线 相切时，点 的坐标是______．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分）
17. (本小题 10 分) 解下列方程：(1) 2 16 = 0; (2) 2 + 4 = 12．
18. (本小题 8分)已知关于 的一元二次方程 2 + + 2 2 = 0有一个实数根为
1，求 的值及方程的另一个实数根．
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19. (本小题 8 分)
如图， 为⊙ 的直径，△ 内接于⊙ ，∠ = 45°， 交 于点 ．
(1)求∠ 的度数；
(2)若点 为 中点， = 5，求 的长．
20. (本小题 8 分)
(1)如图，已知△ ，用尺规作图画出△ 的外接圆⊙ (不写画法，保留作图痕
迹)；
(2)若△ 是直角三角形，且∠ = 90°， = 5，则△ 的外接圆的半径为______．
21. (本小题 8.分)
如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点 、 、 ，请在网格
图中进行下列操作：
(1)经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 点坐标为
______；
(2) ⊙ 的半径为________(结果保留根号)；
(3)连接 、 ，若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，
求该圆锥底面半径．(结果保留根号)
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22. (本小题 8 分)
已知，如图，△ 的顶点 ， 在⊙ 上，⊙ 与 相交于点 ，连接 ，∠ = 30°．
(1)若⊙ 半径为 3，求弦 的长；
(2)若∠ + ∠ = 180°，求证： 是⊙ 的切线．
23. (本小题 8 分)
已知 1， 2是一元二次方程 2 2 + + 2 = 0 的两个实数根．
(1)求 的取值范围．
(2) 1 1是否存在实数 ，使得等式 + = 2成立？如果存在，请求出 的值；如果不1 2
存在，请说明理由．
24. (本小题 10 分)
某超市于今年年初以每件 25元的进价购进一批商品.当商品售价为 40元时，一月份
销售 256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底
的销售量达到 400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降
价 1元，销售量增加 5件，当商品降价多少元时，商场获利 4250元？
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25. (本小题 10 分)
如图，四边形 内接于⊙ ， 为直径， 平分∠ ．
(1)若 = 5 ， = 12 ，求 的长；
(2)求证： + = 2 ．
26. (本小题 12 分)
点 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 向 轴， 轴作垂线段，若垂线
段的长度的和为 4，则点 叫做“垂距点”.例如：下图中的 (1,3)是“垂距点”．
(1) 3在点 (2,2)， ( 2 ,
5
2 )， ( 1,5)中，是“垂距点”的点为______；
(2)求函数 = 2 + 3 的图象上的“垂距点”的坐标；
(3) ⊙ 的圆心 的坐标为(1,0)，半径为 .若⊙ 上存在“垂距点”，则 的取值范围是
______．
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27. (本小题 12 分)
定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如：凸四边形
中，若∠ = ∠ ，∠ ≠ ∠ ，则称四边形 为准平行四边形．
(1)如图①， ， ， ， 是⊙ 上的四个点，∠ = ∠ = 60°，延长 到 ，使 =
.求证：四边形 是准平行四边形；
(2)如图②，准平行四边形 内接于⊙ ， ≠ ， = ，若⊙ 的半径为 5，
= 6，求 的长；
(3)如图③，在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 2，若四边形 是准平
行四边形，且∠ ≠ ∠ ，请直接写出 长的最大值．
第 6页，共 6页参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.4 10.60°或 120° 11.4或 5 12.115 13.45 14.7 2或 7或 7 + 2
15.12 16.( 73 , 0)
17
或( 3 , 0)
17.【答案】解：(1) 2 = 16， 19.【答案】解：(1)连接 ，
两边直接开平方得： =± 4，
故 1 = 4， 2 = 4；
(2)整理得： 2 + 4 12 = 0，
( + 6)( 2) = 0，
则 + 6 = 0， 2 = 0，
解得： 1 = 6， 2 = 2． ∵ ∠ = 45°，
18.【答案】 的值是 0或 2，方程的另一个实数根是 0
∴ ∠ = 2∠ = 90°，
【解析】略
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∴ ∠ 的度数为 45°；
(2)设 = ，
∵点 为 中点，
∴ = 2 = 2 ，
∴ = = = 2 ，
在 △ 中， = 5，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ 2 + (2 )2 = 52，
解得： = 5或 = 5(舍去)，
∴ = 5，
∴ = + = 3 = 3 5，
∴ 的长为 3 5．
【解析】(1)连接 ，利用圆周角定理可求出∠ = 2∠ = 90°，然后利用等腰直角
三角形的性质，即可解答；
(2)设 = ，根据线段中点的定义可得 = = = 2 ，然后在 △ 中，利用
勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适
当的辅助线是解题的关键．
20. 5【答案】2
【解析】解：(1)如图，⊙ 为所作；
(2) ∵ ∠ = 90°，
∴ 为△ 的外接圆的直径，
∴△ 1的外接圆的半径= 2 =
5
2．
5
故答案为：2．
(1)作 和 的垂直平分线，它们相交于点 ，然后以 点为圆心， 为半径作圆即可；
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(2)根据圆周角定理得到 为直角△ 的直径，从而得到△ 的外接圆的半径．
本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何
图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆和圆周
角定理．
21.【答案】解：(1)(2,0)；
(2)2 5；
(3)作 ⊥ 轴，垂足为 ．
∵ = = 2， = = 4，∠ = ∠ = 90°，
∴在 △ 和 △ 中，
=
∠ = ∠
=
∴△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 180° (∠ + ∠ ) = 90°，
∵弧 的长度即为圆锥底面圆的周长，
∴ = = 90 ·2 5 ，弧 180 180 = 5
设圆锥底面圆半径为 ，则 2 = 5 ，
∴ = 52 .
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【解析】
【分析】
本题主要考查的是垂径定理，勾股定理，圆锥的相关计算，弧长公式，用到的知识点为：
非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的弧长等于底面周长．
(1)找到 ， 的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
(2)利用勾股定理可求得圆的半径；易得△ ≌△ ，那么∠ = ∠ ，即可得到
圆心角的度数为 90°；
(3)求得弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径．
【解答】
解：如图所示，
(1)点 的坐标为(2,0).
故答案为(2,0)；
(2)根据题意，得
= 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，
故答案为 2 5；
(3)见答案．
22.【答案】(1)解：连接 、 ，如图 1所示：
则 = = 3，
∵ ∠ = 30°，
∴ ∠ = 60°，
∴△ 是等边三角形，
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∴ = 3；
(2)证明：连接 并延长交⊙ 于点 ，连 ，如图 2所示：
则∠ = 90°，∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
即∠ = 90°，且 是⊙ 的直径，
∴ 是⊙ 的切线．
【解析】(1)连接 、 ，则 = = 3，由圆周角定理得∠ = 60°，得出△
是等边三角形，即可得出结果；
(2)连接 并延长交⊙ 于点 ，连 ，则∠ = 90°，∠ + ∠ = 180°，由三角形
内角和定理得∠ + ∠ = 90°，易证∠ = ∠ ，得出∠ = 90°，即可得出结论．
本题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质等知
识；熟练掌握圆周角定理与切线的判定是解题的关键．
23.【答案】解：(1) ∵一元二次方程 2 2 + + 2 = 0 有两个实数根，
∴ = ( 2)2 4 × 1 × ( + 2) ≥ 0，
解得： ≤ 1．
(2) ∵ 1， 2是一元二次方程 2 2 + + 2 = 0 的两个实数根，
∴ 1 + 2 = 2， 1 2 = + 2．
∵ 1 +
1
1
= 2，
2
∴ 1+ 2 =
2 = 2，
1 2 +2
∴ 2 6 = 0，
解得： 1 = 6， 2 = 6．
又∵ ≤ 1，
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∴ = 6．
∴ 1存在这样的 值，使得等式 +
1
= 2成立， 值为 6．1 2
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，
(1)根据方程的系数结合 ≥ 0，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值
范围；
(2) 1 1根据根与系数的关系可得出 1 + 2 = 2， 1 2 = + 2，结合 + = 2，即可得出1 2
关于 的方程，解之即可得出 值，再结合(1)即可得出结论．
24.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为 ，根据题意可得：
256(1 + )2 = 400，
= 1解得： 1 4， 2 =
9
4 (不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为 25%；
(2)设当商品降价 元时，商品获利 4250元，根据题意可得：
(40 25 )(400 + 5 ) = 4250，
解得： 1 = 5， 2 = 70(不合题意舍去)．
答：当商品降价 5元时，商品获利 4250元．
【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设 2月份到 3月份销售额的月平均
增长率，则二月份的销售量为：256(1 + )件；三月份的销售量为：256(1 + )(1 + )件，
又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出 的值，即求出了平均增长
率；
(2)利用销量×每件商品的利润= 4250求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列
出方程是解决问题的关键．
25.【答案】(1)解：∵ 为直径，
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∴ ∠ = ∠ = 90°，
在 △ 中， = 2 + 2 = 52 + 122 = 13( )，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴△ 为等腰直角三角形，
∴ = 22 =
13 2
2 ；
(2)证明：把△ 绕点 逆时针旋转 90°得到△ ，如图，
则∠ = ∠ = 90°， = ， = ，∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ + ∠ = 180°，
∴ 点在 的延长线上，
∴△ 为等腰直角三角形，
∴ = 2 ，
而 = + = + ，
∴ + = 2 ．
【解析】(1)先利用圆周角定理得∠ = ∠ = 90°，则根据勾股定理可计算出 =
13 ，再证明△ 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到 的长；
(2)把△ 绕点 逆时针旋转 90°得到△ ，如图，根据旋转的性质得到∠ =
∠ = 90°， = ，∠ = ∠ ，再证明 点在 的延长线上，于是可判断△
为等腰直角三角形，所以 = 2 ，从而得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转
的性质．
26.【答案】解：(1) ， ；
(2)设函数 = 2 + 3 的图像上的“垂距点”的坐标( , 2 + 3)，
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依题意得：| | + |2 + 3| = 4．
①当 > 0 时， + (2 + 3) = 4，
1
解得： = 3，
∴ 1 11此时“垂距点”的坐标为( 3 , 3 )；
3
②当 2 < < 0 时， + (2 + 3) = 4，
解得： = 1(不合题意，舍去)；
3
③当 < 2时， (2 + 3) = 4，
= 7解得： 3，
∴ 7 5此时“垂距点”的坐标为( 3 , 3 ).
∴ = 2 + 3 ( 1 , 11 ) ( 7 5综上所述，函数 的图像上的“垂距点”的坐标是 3 3 或 3 , 3 ).
(3) 3 2 ≤ < 5．2
【解析】
【分析】
本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征以及直线与圆
相切等知识，解题的关键是：(1)根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于 的含绝对值符号的
一元一次方程；(3)利用特殊值法，找出 的取值范围．
(1)将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为 4的点即是所求；
(2)设函数 = 2 + 3 的图像上的“垂距点”的坐标( , 2 + 3)，根据“垂距点”的定义可
得出| | + |2 + 3| = 4，解之即可得出 值，进而可得出“垂距点”的坐标；
(3)设“垂距点”的坐标为( , )，则| | + | | = 4( ≠ 0)，画出该函数图象，分⊙ 与
相切及⊙ 过点 两种情况求出 值，结合题意，即可得出 的取值范围．
【解答】
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解：(1) ∵ |2| + |2| = 4 | 3， 2 | + |
5
2 | = 4，| 1| + |5| = 6 ≠ 4，
∴是“垂距点”的点为 ， ．
故答案为： ， ．
(2)见答案；
(3)设“垂距点”的坐标为( , )，则| | + | | = 4( ≠ 0)，
当 > 0， > 0 时， + = 4，即 = + 4(0 < < 4)；
当 < 0， > 0 时， + = 4，即 = + 4( 4 < < 0)；
当 < 0， < 0 时， = 4，即 = 4( 4 < < 0)；
当 > 0， < 0 时， = 4，即 = 4(0 < < 4)，
画出该函数图象，如图所示．
当⊙ 与 相切时，过点 作 ⊥直线 于点 ，
则△ 为等腰直角三角形，
∴ = 2 2 3 2；2 = 2 × |4 1| = 2
当⊙ 过点 ( 4,0)时，⊙ 上不存在“垂距点”，
此时 = = |1 ( 4)| = 5．
∴若⊙ 上存在“垂距点”，则 的取值范围是3 2
2 ≤
< 5．
故答案为：3 2
2 ≤ < 5．
27.【答案】(1)证明：∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
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∵ ∠ = ∠ = 60°，∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 60° = ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ < 120°，
∠ > ∠ + ∠ = 120°，
∴ ∠ ≠ ∠ ，
四边形 是准平行四边形;
(2)解：如图②，连接 ，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，
由题意，可知∠ ≠ ∠ ，
∵四边形 是准平行四边形，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴ 是⊙ 的直径， = 10，
∴ = 2 2 = 8，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
又∠ = ∠ = 180° ∠ ， = ，
∴△ ≌△ ，
∴ = = 6， = ，
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即△ 为等腰直角三角形，斜边 = 14，
2 2
∴ = 2 = 2 × 14 = 7 2;
(3) 长的最大值为 2 3 + 2．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)如图 ，作△ 的外接圆⊙ ，过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
∵ ∠ = 90°，∠ = 30°， = 2，
∴ ∠ = 60°， = 3 = 2 3，
∵四边形 是准平行四边形，且∠ ≠ ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 120°，且 ⊥ ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°， = = 3，
∴ = 1， = 2 = 2，
∵ ⊥ ， ⊥ ，∠ = 90°，
∴四边形 是矩形，
第 20页，共 21页
∴ = = 3， = = 1，
∴ = + = 3，
∴ = 2 + 2 = 9 + 3 = 2 3，
∵当点 在 的延长线时， 的长有最大值，
∴ 长的最大值= + = 2 3 + 2．
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