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第九讲 定点定值相关问题
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知椭圆与轴交于两点,为椭圆的左焦点,且是边长为的等边三角形
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为（与不重合）,则直线与轴是否交于一个定点？若是,请写出该定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
课中讲解
一.会判断并解决定点相关问题LV.5
例1.
设经过点直线与椭圆交于两点，
设与关于轴对称，求证：直线与x轴交于一个定点。
例2.
已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点， △是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
过关检测（15mins）
已知椭圆和点，垂直于轴的直线与椭圆交于两点，连结交椭圆 于另一点.
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）证明直线与轴相交于定点.
二.会判断并解决定值相关问题LV.5
例1:
已知椭圆:的一个焦点为,点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率;
（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点,关于原点对称,直线,分别交轴于,两点.求证:以为直径的圆被轴截得的弦长是定值.
例2:
已知椭圆:过点两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率;
（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.
例3.
已知椭圆（）的一个焦点坐标为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）若椭圆与轴交于两点（点在点的上方），是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于，为线段的中点，直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点.证明为定值
例4.
已知椭圆的离心率,焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）若分别是椭圆E的左、右顶点,动点满足,连接,交椭圆E于点.证明:为定值（为坐标原点）.
例5.
已知椭圆的焦点分别为.
（Ⅰ）求以线段为直径的圆的方程;
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
过关检测（15mins）
1. 已知椭圆:的长轴长为,离心率为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点,点的坐标为,记直线,的斜率分别为,.
（1）求椭圆的方程;
（2）求证:为定值.
课后练习
补救练习（20mins）
已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设,是椭圆上不同于点的两点,且直线,的斜率之积等于,试问直线是否过定点？若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
巩固练习（20mins）
已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.
拔高练习（20mins）
已知椭圆的右焦点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）是椭圆在轴右侧部分上的两个动点,若原点到直线的距离为,证明:的周长为定值.第九讲 定点定值相关问题
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知椭圆与轴交于两点,为椭圆的左焦点,且是边长为的等边三角形
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为（与不重合）,则直线与轴是否交于一个定点？若是,请写出该定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
【答案】；直线过定点
【解析】:（1）由已知得,所以椭圆方程为
（2）设,,由条件可知
所以由两点式直线方程可知,直线为,
令得到
由已知可得:
判别式
由韦达定理可得
所以
带入可得
所以直线过定点
课中讲解
一.会判断并解决定点相关问题LV.5
例1.
设经过点直线与椭圆交于两点，
设与关于轴对称，求证：直线与x轴交于一个定点。
【答案】（2，0）
【解析】设经过点的直线与椭圆交于两点
设直线（存在）
联立得
则，则
设
所以
所以直线
因为直线恒过定点
由椭圆对称性
所以恒过定点
所以
所以
所以存在
例2.
已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点， △是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
【答案】；见解析.
【解析】（Ⅰ）由已知可得 ， 所求椭圆方程为．
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ．
则，由已知，
所以（计算技巧），即．
所以，整理得 ．（用k 表示m也可以）
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）．
过关检测（15mins）
已知椭圆和点，垂直于轴的直线与椭圆交于两点，连结交椭圆 于另一点.
（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）证明直线与轴相交于定点.
【答案】焦点坐标为； 离心率
【解析】（1）由题意知： 所以
所以，焦点坐标为； 离心率
（2）由题意知：直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为
， ，则，
由 得
则
直线AE的方程为，令，得
又 ， 代入(2)式，得 (3)
把(1)代入(3)式，整理得，所以直线AE与轴相交于定点
二.会判断并解决定值相关问题LV.5
例1:
已知椭圆:的一个焦点为,点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率;
（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点,关于原点对称,直线,分别交轴于,两点.求证:以为直径的圆被轴截得的弦长是定值.
【答案】；2
【解析】解:（Ⅰ）依题意,.
点在椭圆上.所以
所以
所以椭圆的方程为
离心率
（Ⅱ）因为,两点关于原点对称
所以可设,,
所以
直线:
当时,,所以
直线:
当时,,所以
设以为直径的圆与轴交于点和,（）
所以,,
所以
因为点在以为直径的圆上
所以,即
因为,即
所以,所以
所以,.所以
所以以为直径的圆被轴截得的弦长是定值
例2:
已知椭圆:过点两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率;
（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:四边形的面积为定值.
【答案】2
【解析】由题意得,
所以椭圆的方程为
所以
（Ⅱ）设
因为
所以直线的方程为
令,得到,从而
直线的方程为
令,得到,从而
所以四边形的面积为
例3.
已知椭圆（）的一个焦点坐标为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）若椭圆与轴交于两点（点在点的上方），是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于，为线段的中点，直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点.证明为定值
【答案】2
【解析】（Ⅰ）依题意，，，所以.
则椭圆的方程为.
离心率.
（Ⅱ）设，，则，．
又，所以直线的方程为．
令，则．
又，为线段的中点，所以．
所以，，
．
因为点在椭圆上，则，所以．
则．
因此．故．
例题4
已知椭圆的离心率,焦距为.
（1）求椭圆的方程;
（2）若分别是椭圆E的左、右顶点,动点满足,连接,交椭圆E于点.证明:为定值（为坐标原点）.
【答案】,4
【解析】（Ⅰ）解:因为
所以
因为,所以
因为, 所以
所以椭圆方程为
（Ⅱ）方法一:
证明:
设
则＝,＝
直线CM:,即
代入椭圆方程
得
所以
所以
所以＝
所以＝
即为定值
方法二:设
由可得,即
∵点在上
∴
∴
∴为定值
方法三:因为直线不在轴上,故可设
由得
∴,即
在直线中令,则,即
∴
∴为定值
例5.
已知椭圆的焦点分别为.
（Ⅰ）求以线段为直径的圆的方程;
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】，
【解析】（I）因为,,所以.
所以以线段为直径的圆的方程为
（II）若存在点,使得,
则直线和的斜率存在,分别设为,.
等价于.
依题意,直线的斜率存在,故设直线的方程为.
由,得.
因为直线与椭圆有两个交点,所以.
即,解得.
设,,则,,
,.
令,
,
当时,,
所以,
化简得,,
所以.
当时,也成立.
所以存在点,使得
过关检测（15mins）
1. 已知椭圆:的长轴长为,离心率为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点,点的坐标为,记直线,的斜率分别为,.
（1）求椭圆的方程;
（2）求证:为定值.
【答案】；2．
【解析】：（Ⅰ）解:依题意,所以.
因为,所以.
所以,
所以椭圆的方程为.
（2）联立方程组,
消得,成立.
所以,.
当直线的斜率不存在时,不妨取,,
此时.
当直线的斜率存在时,
设直线:,,.
此时.
分子化为
.
所以
.
综上所述,为定值.
课后练习
补救练习（20mins）
已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设,是椭圆上不同于点的两点,且直线,的斜率之积等于,试问直线是否过定点？若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】；
【解析】（Ⅰ）,,
过,,,
,
（Ⅱ）①当斜率不存在时,设,则,
,,
又在椭圆上,
,
解得,,
.
②当斜率存在时,设,与椭圆联立,由得,
,即,
设,,
则,,
,
,
,
或,
当时,,
恒过不符合①,
当时,,
结合①,恒过,
综上,直线恒过
巩固练习（20mins）
已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.
【答案】（Ⅰ）由题可得,解得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）结论:,理由如下:
由题知直线斜率存在,
设.
联立
消去得,
由题易知恒成立,
由韦达定理得,
因为与斜率相反且过原点,
设,,
联立
消去得,
由题易知恒成立,
由韦达定理得
,
因为两点不与重合,
所以直线存在斜率,
则
所以直线的倾斜角互补,
所以.
拔高练习（20mins）
已知椭圆的右焦点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）是椭圆在轴右侧部分上的两个动点,若原点到直线的距离为,证明:的周长为定值.
【答案】.
【解析】（Ⅰ）由题意 解得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）证明:①当垂直于轴时,方程为,
.
因为,所以.
②当不垂直于轴时,设的方程为.
因为原点到直线的距离为,
所以,即.
由得
即.
设,则
所以
因为,在轴右侧,所以,所以.
.
所以,同理,
所以.
所以
综上,的周长等于椭圆的长轴长.

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