资源简介

第二讲 圆专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 圆的方程为点到圆上的最大距离为________．
【答案】
【解析】点与圆心连线的延长线与圆的交点到点的距离最大,最大距离为点到圆心的距离加上半径长5,即为.
2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】关于原点得,则得
3. 已知过点的直线交圆于,两点,,则直线的方程为____.
【答案】或
【解析】本题考查直线方程运算
由弦长公式和圆内部割线定理,化简得或者,所以或.
4. 在平面直角坐标系中,点（不过原点）到轴,轴的距离之和的倍等于点到原点距离的平方,则点的轨迹方程所围成的面积是
【答案】
【解析】设点的坐标为
当时
由图易知
阴影部分面积是由一个边长为2的等腰直角三角形和一个
半径为1的半圆
∴
同理可知,当时,面积是由上述4个这样的阴影构成
所以
课中讲解
一.会圆的方程及转化LV.3
标准方程:
其中:圆心,半径为.
一般式方程:
其中:圆心半径
注:方程表示圆
圆的直径式方程:
其中:是圆直径的端点
例1:
如果圆的方程为,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________．
【答案】
【解析】
当时,最大,此时圆面积最大,圆的方程可化为
即,圆心坐标为
例2:
求以为直径两端点的圆的方程
【答案】
【解析】
得
过关检测（10mins）
1.已知圆,则圆心坐标为;
【答案】
【解析】本题考查圆的一般方程
解:圆,可化为,圆心坐标为.
2. 已知为的三个顶点,分别为边的中点,求的外接圆的方程,并求这个圆的圆心和半径．
【答案】外接圆的方程为圆心为,半径.
【解析】∵点分别为的中点且
∴
∵所求圆经过点
∴设外接圆的方程为
把点的坐标分别代入圆的方程得
解得
∴外接圆的方程为圆心为,半径.
3. 为何值时,方程表示圆,并求出半径最小时的值及此时圆的方程．
【答案】
【解析】方程可化为:
∴当时,方程都表示圆
∵当时,的最小值为
∴圆的半径最小时,
此时圆的方程为
二.会点与圆的位置关系及应用LV.4
点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内.
判断点与圆的位置关系有两种方法:
（1）几何法:将所给的点与圆心的距离跟半径比较:
若,则点在圆上；
若,则点在圆外；
若,则点在圆内．
（2）代数法:可利用圆的标准方程来确定:
点在圆上 ；
点在圆外 ；
点在圆内 .
例1:
使圆上点与点的距离最大的点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】点到圆上的距离最大,需满足过圆心且长度为点到圆心的距离加上半径.并且该点在圆上.
由此可解得该点坐标为
例2:
点在圆的内部,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为点在圆内,所以代入圆的方程应满足
由此解得.
例3:
已知圆,则原点在(　　)
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
【答案】B
【解析】先化成标准方程将代入可得,即原点在圆外.
过关检测（10mins）
1. 点与圆的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
【答案】C
【解析】将点的坐标代入圆方程,得,所以点在圆外.
2. 已知以点为圆心,半径长等于的圆,则点与圆的位置关系是(　　)
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
【答案】B
【解析】点到圆心的距离为,恰好等于半径长,故点在圆上.
3. 若两直线与的交点在圆的内部,则的范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知两直线交点为
因为该点在圆内,所以满足
解得
三.会圆与圆的位置关系及应用LV.4
已知圆与圆
利用圆心距与半径和、半径差的关系判断圆与圆的位置关系:
（1）当时,两圆外切,当时,两圆内切,
（2）当时,两圆相离,当时,两圆内含,
（3）当时,两圆相交.
若两圆相交会求过两圆公共点的直线方程（公共弦所在的直线方程）,及公共弦长.
例1:
圆与圆外切,则的值为(　　)
A．2 B．
C．2或 D．不确定
【答案】C
【解析】外切时满足
即解得或．
例2:
两圆和的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【答案】A
【解析】圆心距选A
例3:
已知半径为的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
【解析】设动圆圆心为,已知圆的圆心为,则外切时,内切时,所以的轨迹为以 为圆心,3或5为半径的圆,选D．
例4:
已知圆和两点,,若圆上存在点,使得
,则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】圆C:的圆心为半径为1.
圆心到原点的距离为5,所以圆上的点到原点的最大距离为6.
因为可得,以为直径的圆和圆有交点,可得
故有
过关检测（10mins）
1. 两圆和相切,则实数的值为_______
【答案】或
【解析】∵圆心分别为和,半径分别为和,两圆外切时有
两圆内切时有
综上, 的值为或
2. 集合其中若中有且仅有一个元素,则的值是________．
【答案】或
【解析】这是以集合为载体考查两圆位置关系．
∵中有且仅有一个元素,
∴两圆与相切,
故或,∴或
3. 若⊙与⊙相交于两点,且两圆在点处的切线互相垂直,则线段的长度为________．
【答案】
【解析】如图所示,
在中,
4. 已知圆与圆交于两点,则所在的直线方程是__________.
【答案】
【解析】两圆联立即可解得直线方程.
四.会直线与圆的位置关系及应用LV.5
直线与圆的位置关系及判断
已知直线与圆
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法:设圆心到 直线的距离
代数法:由 消元得到一元二次 方程的判别式
图形
例1:
圆C:,则圆心的坐标为,圆C截直线的弦长为.
【答案】,
【解析】圆C方程化为标准方程得:
则圆C的半径为1,圆心C坐标为;
圆心C到直线的距离
∴圆C截直线的弦长为
故答案为,
例2:
已知过点的直线交圆于,两点,,则直线的方程为____
【答案】或
【解析】本题考查直线方程运算
由弦长公式和圆内部割线定理,化简得或者,所以或.
例3:
已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数;直
线的方程为.
【答案】,
【解析】因为点满足圆的方程,所以在圆上,
又过点的直线l与圆相切,且与直线垂直,
所以切点与圆心连线与直线平行,
所以直线的斜率为:,所以.
直线的方程为,即
故答案为:,
例4:
圆上到直线的距离等于的点有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】由题意知圆心到直线的距离为半径为3,故在圆的一侧有两个,一侧有一个,故共三个.
例5:
设直线圆,若在直线上存在一点,使得过的圆的切线（为切点）满足,则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】设直线上任一点,随着的运动,当与直线垂直时,取到最大值,此时四边形为正方形,=2,利用点到直线距离公式,可以算出或,只需,即,即可存在点M满足题意,所以的取值范围是
例6:
已知圆O:,直线过点,若直线上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径,则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由题可得直线的率存在且不为零,设直线的方程为,则即,则直线的方程为,因为直线的圆心为,且上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径,则,解得,故选
过关检测（10mins）
1. 已知为圆,上关于点对称的两点,则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】由题意,圆的圆心坐标为,
∵圆上存在两点关于点成中心对称,
∴,为的中点,
∵,∴,
∴直线的方程为,即.故选:A
2. 已知圆,过圆心的直线交圆于两点,交轴于点.若恰为的中点,则直线的方程为
【答案】或
【解析】由
则,即是的三等分点
代入圆方程
即或故直线的方程为:或
课后练习
补救练习（20mins）
1. 圆心为且过原点的圆的方程是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】圆心为,则可设圆的方程为
因为圆过原点,故圆的方程为.
2. 圆的圆心到直线的距离为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】试题分析:圆心坐标为,由点到直线的距离公式可知,故选C
3. “”是“直线与圆相切”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题考查充分必要条件
当“直线与圆相切”成立时,圆心到直线的距离等于半径,
即,解得,所以“”是“直线与圆相切”的充分而不必要条件,故选A.
4. 已知圆,则圆心坐标为;若直线过点且与圆相切,则直线的方程为
【答案】;
【解析】圆C:可化为,圆心坐标为,
设直线的方程为,即,
圆心到直线的距离d==1,∴,
∴直线的方程为
故答案为;
5. 直线被圆截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知圆的半径为圆心在直线上,所以弦长为直径,结果为
6. 方程表示圆的条件是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】表示圆应满足
巩固练习（20mins）
1. 经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】本题考查直线与圆的方程.
由题意可得,圆心坐标为,直线的斜率为,则所求直线方程为,即,故选
2. 设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上,且与直线相交的弦长为求圆的方程．
【解析】设圆的方程为,
∵圆上的点关于的对称点仍在圆上,
∴圆心在直线上,
即 ①
圆被直线截得的弦长为
∴ ②
由点在圆上得 ③
由①②③解得或
∴圆的方程为或
3. 求圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的方程.
【解析】由于过垂直于切线的直线必定过圆心,故该直线的方程为
由得
故圆心为
∴所求圆的方程为
4. 已知动直线与圆
(1)求证:无论为何值,直线与圆总相交．
(2)为何值时,直线被圆所截得的弦长最小？请求出该最小值．
【解析】(1)证明:直线变形为
令解得
如图所示,故动直线恒过定点
而
∴点在圆内,故无论取何值,直线与圆总相交．
(2)解:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小,即当垂直直线时,弦长最小,
此时即
最小值为
故为时,直线被圆所截得的弦长最小,最小值为
拔高练习（20mins）
1. 已知圆,直线,,若被圆所截得的弦的长度之比为,则的值为
（A） （B）1 （C） （D）
【答案】C
【解析】考查直线与圆
2. 已知为圆()上两个不同的点（为圆心）,且满足,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查平面向量与圆的方程.
设圆与轴交于两点,取线段的中点,
则由弦的性质可得,且=,故的长度即为圆心到弦的距离.
∴圆心到的距离为,由于圆的半径为,
故,
故选:A.
3. 已知.若直线上总存在点,使得过点的的两条切线互相垂直,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】考查圆与直线
圆心为,半径.
设两个切点分别为,则由题意可得四边形
为正方形,
故有,
圆心到直线的距离,
即,
即,解得或.
故答案为:
4. 如图,圆内有一点,为过点的弦．
（1）当弦被点平分时,写出直线的方程；
（2）当的倾斜角为时,求弦的长．
【解析】（1）连接∵弦被点平分,∴
∴
由,可得
∴
∴直线的方程为
即
（2）∵倾斜角为∴的斜率为
又∵直线过点∴直线的方程为
∴圆心到直线的距离为
又∵圆的半径
∴弦的长第2讲 圆专题复习讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1. 圆的方程为点到圆上的最大距离为________．
2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
3. 已知过点的直线交圆于,两点,,则直线的方程为____.
4. 在平面直角坐标系中,点（不过原点）到轴,轴的距离之和的倍等于点到原点距离的平方,则点的轨迹方程所围成的面积是
课中讲解
一.会圆的方程及转化LV.3
标准方程:
其中:圆心,半径为.
一般式方程:
其中:圆心半径
注:方程表示圆
圆的直径式方程:
其中:是圆直径的端点
例1:
如果圆的方程为,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________．
例2:
求以为直径两端点的圆的方程
过关检测（10mins）
1.已知圆,则圆心坐标为;
2. 已知为的三个顶点,分别为边的中点,求的外接圆的方程,并求这个圆的圆心和半径．
3. 为何值时,方程表示圆,并求出半径最小时的值及此时圆的方程．
二.会点与圆的位置关系及应用LV.4
点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内.
判断点与圆的位置关系有两种方法:
（1）几何法:将所给的点与圆心的距离跟半径比较:
若,则点在圆上；
若,则点在圆外；
若,则点在圆内．
（2）代数法:可利用圆的标准方程来确定:
点在圆上 ；
点在圆外 ；
点在圆内 .
例1:
使圆上点与点的距离最大的点的坐标是( )
A. B. C. D.
例2:
点在圆的内部,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
例3:
已知圆,则原点在(　　)
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
过关检测（10mins）
1. 点与圆的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆内
C．在圆外 D．不能确定
2. 已知以点为圆心,半径长等于的圆,则点与圆的位置关系是(　　)
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
3. 若两直线与的交点在圆的内部,则的范围是( )
A. B.
C. D.
三.会圆与圆的位置关系及应用LV.4
已知圆与圆
利用圆心距与半径和、半径差的关系判断圆与圆的位置关系:
（1）当时,两圆外切,当时,两圆内切,
（2）当时,两圆相离,当时,两圆内含,
（3）当时,两圆相交.
若两圆相交会求过两圆公共点的直线方程（公共弦所在的直线方程）,及公共弦长.
例1:
圆与圆外切,则的值为(　　)
A．2 B．
C．2或 D．不确定
例2:
两圆和的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
例3:
已知半径为的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．
B．或
C．
D．或
例4:
已知圆和两点,,若圆上存在点,使得
,则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
过关检测（10mins）
1. 两圆和相切,则实数的值为_______
2. 集合其中若中有且仅有一个元素,则的值是________．
3. 若⊙与⊙相交于两点,且两圆在点处的切线互相垂直,则线段的长度为________．
4. 已知圆与圆交于两点,则所在的直线方程是__________.
.
四.会直线与圆的位置关系及应用LV.5
直线与圆的位置关系及判断
已知直线与圆
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法:设圆心到 直线的距离
代数法:由 消元得到一元二次 方程的判别式
图形
例1:
圆C:,则圆心的坐标为,圆C截直线的弦长为.
例2:
已知过点的直线交圆于,两点,,则直线的方程为____
例3:
已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数;直
线的方程为.
例4:
圆上到直线的距离等于的点有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
例5:
设直线圆,若在直线上存在一点,使得过的圆的切线（为切点）满足,则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
例6:
已知圆O:,直线过点,若直线上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径,则直线的斜率为
（A） （B） （C） （D）
过关检测（10mins）
1. 已知为圆,上关于点对称的两点,则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
2. 已知圆,过圆心的直线交圆于两点,交轴于点.若恰为的中点,则直线的方程为
课后练习
补救练习（20mins）
1. 圆心为且过原点的圆的方程是
（A） （B）
（C） （D）
2. 圆的圆心到直线的距离为
（A） （B） （C） （D）
3. “”是“直线与圆相切”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 已知圆,则圆心坐标为;若直线过点且与圆相切,则直线的方程为
5. 直线被圆截得的弦长等于( )
A. B. C. D.
6. 方程表示圆的条件是(　　)
A． B．
C． D．
巩固练习（20mins）
1. 经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是
（A） （B）
（C） （D）
2. 设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上,且与直线相交的弦长为求圆的方程．
3. 求圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的方程.
4. 已知动直线与圆
(1)求证:无论为何值,直线与圆总相交．
(2)为何值时,直线被圆所截得的弦长最小？请求出该最小值．
拔高练习（20mins）
1. 已知圆,直线,,若被圆所截得的弦的长度之比为,则的值为
（A） （B）1 （C） （D）
2. 已知为圆()上两个不同的点（为圆心）,且满足,则
A. B. C. D.
3. 已知.若直线上总存在点,使得过点的的两条切线互相垂直,则实数的取值范围是_________.
4. 如图,圆内有一点,为过点的弦．
（1）当弦被点平分时,写出直线的方程；
（2）当的倾斜角为时,求弦的长．

展开更多......

收起↑