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第七讲 弦长、面积范围问题
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
已知椭圆:的右焦点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标;
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点,若的面积为,求直线的方程.
【答案】;或.
【解析】由题意可知:,,所以.
所以.
所以椭圆的标准方程为,左顶点的坐标是.
（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为,.
由可得:.
所以,,.
所以的面积
.
因为的面积为,
所以.
令,则.
解得（舍）,.
所以.
所以直线的方程为或.
课中讲解
一.会判断并解决弦长相关问题LV.45
例1:设经过点直线与椭圆交于两点
（1）是否存在直线,使？若存在,求出直线的方程
【答案】
【解析】设直线（存在）
联立得
则,则
由得:
所以,当不存在时,
（2）若过椭圆中心的弦与平行,求的值.
【答案】2.
【解析】设
则
所以
所以
又因为
所以
例2:已知椭圆的离心率为,经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点,斜率为的直线与椭圆交于两点,与直线交于点(点与点不重合).当时,证明:;
【答案】;见解析
【解析】（Ⅰ）由题意,解得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设直线
.
联立椭圆与直线,直线与直线
由得.
由得,所以.
所以.
由得
所以
例3:已知椭圆G:,过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率;
（2）将表示为m的函数,并求的最大值。
【答案】；2
【解析】（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆的焦点坐标为离心率为
（Ⅱ）由题意知,.当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为此时当m=－1时,同理可得
当时,设切线l的方程为由
设A、B两点的坐标分别为,则又由l与圆所以
由于当时,
所以.因为
当且仅当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2
过关检测（15mins）
已知椭圆:过点,离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求证:.
【答案】；见解析
【解析】（1）根据题意解得:
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为
由得
由得且
设,线段中点
那么,
设,根据题意
所以由,得
所以
二.会判断并解决面积相关问题LV.4
例1:设经过点直线与椭圆交于两点,求三角形的面积的最大值
【答案】
【解析】设直线（存在）
联立得
则,则
当且仅当时取等,此时无解
所以存在时,,无最大值;当不存在时,
综上,的最大值为.
例2:已知椭圆的左右两个焦点为,且,椭圆上一动点满足.
（1）求椭圆的标准方程及离心率;
（2）如图,过点作直线与椭圆交于点,过点作直线,且与椭圆交于点,与交于点,试求四边形面积的最大值.
【答案】椭圆方程为,离心率为；4.
【解析】由题意,又因为
所以,椭圆方程为,离心率为.
（Ⅱ）①当直线斜率不存在或者为时
易得,从而四边形的面积为4.
②当直线斜率存在且不为时,设,直线
联立
由韦达定理得,
同理
所以
从而四边形面积的最大值为.
例3.已知椭圆:过点A（2,0）,离心率,斜率为直线过点M（0,2）,与椭圆C交于G,H两点（G在M,H之间）,与轴交于点 .
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）P为轴上不同于点B的一点,Q为线段GH的中点,设△HPG的面积为,面积为,求的取值范围.
【答案】；
【解析】（1）由已知得
又,所以
即
所以椭圆的标准方程为
（2）
设,直线
由得:
所以,
即……………7分
∵,即.
因为,所以.……………8分
又,
而
设
例4.已知椭圆C:的长轴长为,O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率;
（Ⅱ）设点A（3,0）,动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若|BA|=|BP|,求四边形OPAB面积的最小值
.【答案】:，；3.
【解析】:
（Ⅰ）解:由题意,椭圆C:
所以,故
（Ⅱ）解:设线段AP的中点为D,
因为|BA|=|BP|,所以BD⊥AP,
由题意,直线BD的斜率存在,设点P（
例5.在平面直角坐标系中,椭圆的中心为坐标原点,左焦点为,为椭圆的上顶点,且.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）已知直线:与椭圆交于,两点,直线:（）与椭圆交于,两点,且,如图所示.
（i）证明:;
（ii）求四边形的面积的最大值.
【答案】,
【解析】（1）解:设椭圆的标准方程为.
因为,,所以.
所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设,,,.
（i）证明:由消去得:.
则,
所以
.
同理.
因为,所以.
因为,所以.
（ii）解:由题意得四边形是平行四边形,设两平行线间的距离为,则.因为,所以.
所以
.
（或）
所以当时,四边形的面积取得最大值为.
过关检测（10mins）
1.已知和是椭圆的两个焦点,且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与轴和轴分别交于点,,当面积取最小值时,求此时直线的方程.
【答案】;
【解析】（1）由已知得,解得,所以椭圆方程为
（2）因为直线与椭圆只有一个公共点,所以联立方程得到:
化简可得
所以
因此有
由已知得,,
所以
当且仅当等号成立,又因为,所以
所以直线方程为
三.会判断并解决相关范围问题LV.4
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）当得面积为时,求的值.
【答案】,
【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.
（2）由得.
设点的坐标分别为,,则,,,.所以
由因为点到直线的距离,
所以的面积为.由,解得.
巩固练习（20mins）
已知椭圆离心率等于,、是椭圆上的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点,若直线的斜率为,求四边形面积的最大值.
【答案】;最大为
【解析】
（Ⅰ）因为,又,
所以
设椭圆方程为,代入,得
椭圆方程为
（Ⅱ）设
设方程为,代入化简得:
,
,又
当时,最大为
拔高练习（20mins）
1.已知曲线,直线与曲线交于两点,两点在轴上的射影分别为点.
（1）当点坐标为时,求的值;
（2）记的面积为,四边形的面积为.
①若,求线段的长度
②求证:
【答案】;
【解析】（1）因为,所以,
代入,解得,
代入直线,得.
（2）解法一:设点,.
因为,所以,
所以
①又因为,
而,
所以,
所以,
所以,解得,
所以.
法二:
解法一:设点,.
因为,所以,
所以
点到直线的距离为,
所以
所以,解得,
所以.
②因为,
所以,
而,
所以.第七讲 弦长、面积范围问题
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
已知椭圆:的右焦点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及左顶点的坐标;
（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点,若的面积为,求直线的方程.
课中讲解
一.会判断并解决弦长相关问题LV.45
例1:设经过点直线与椭圆交于两点
（1）是否存在直线,使？若存在,求出直线的方程
例2:已知椭圆的离心率为,经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点,斜率为的直线与椭圆交于两点,与直线交于点(点与点不重合).当时,证明:;
例3:已知椭圆G:,过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率;
（2）将表示为m的函数,并求的最大值。
过关检测（15mins）
已知椭圆:过点,离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求证:.
二.会判断并解决面积相关问题LV.4
例1:设经过点直线与椭圆交于两点,求三角形的面积的最大值
例2:已知椭圆的左右两个焦点为,且,椭圆上一动点满足.
（1）求椭圆的标准方程及离心率;
（2）如图,过点作直线与椭圆交于点,过点作直线,且与椭圆交于点,与交于点,试求四边形面积的最大值.
例3.已知椭圆:过点A（2,0）,离心率,斜率为直线过点M（0,2）,与椭圆C交于G,H两点（G在M,H之间）,与轴交于点 .
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）P为轴上不同于点B的一点,Q为线段GH的中点,设△HPG的面积为,面积为,求的取值范围.
例4.已知椭圆C:的长轴长为,O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率;
（Ⅱ）设点A（3,0）,动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若|BA|=|BP|,求四边形OPAB面积的最小值
例5.在平面直角坐标系中,椭圆的中心为坐标原点,左焦点为,为椭圆的上顶点,且.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）已知直线:与椭圆交于,两点,直线:（）与椭圆交于,两点,且,如图所示.
（i）证明:;
（ii）求四边形的面积的最大值.
过关检测（10mins）
1.已知和是椭圆的两个焦点,且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与轴和轴分别交于点,,当面积取最小值时,求此时直线的方程.
三.会判断并解决相关范围问题LV.4
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）当得面积为时,求的值.
巩固练习（20mins）
已知椭圆离心率等于,、是椭圆上的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点,若直线的斜率为,求四边形面积的最大值.
拔高练习（20mins）
1.已知曲线,直线与曲线交于两点,两点在轴上的射影分别为点.
（1）当点坐标为时,求的值;
（2）记的面积为,四边形的面积为.
①若,求线段的长度
②求证:

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