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第三讲 椭圆专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测(10mins)
1.椭圆的一个焦点坐标为( )
A． B． C． D．
2.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,,则( )
A．2 B．10 C．12 D．12
3.椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
4.设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )
A． B． C． D．
5.设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
6.过椭圆的中心作直线与椭圆交于两点,为椭圆的焦点,则三角形面积的最大值为
6 12 24 48
课中讲解
会正确利用椭圆定义与性质解题LV.2
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2,即()
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长短轴长 长轴长短轴长
对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
点和椭圆的关系
切线方程
例1．
(1).已知三点,那么以为焦点且过点的椭圆的短轴长为()
(A) (B) (C) (D)
(2).点是椭圆上的一点,,分别是椭圆的左右焦点,则的周长是.
(3).在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,
___
例2
(1)已知椭圆的左焦点为,则( )
A．9 B．4 C．3 D．2
(2)已知椭圆C：,四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆上.求的方程_________；
(3)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的离心率为,椭圆C截直线所得线段的长度为.则椭圆的方程为__________
例3.
(1)已知椭圆C：的左、右焦点为,,离心率为,过的直线交C于A,B两点,若的周长为,则C的方程为( ).
A． B． C． D．
(2)已知椭圆：,点与的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,,线段的中点在上,则_________．
例4.
已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上的任意一点,则的最大值是( )
(A)9 (B)16 (C) (D)
例5.
若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
例6.
已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点．若的中
点坐标为,则的方程为________
过关检测(10mins)
1.求焦点的坐标分别为和,且过点的椭圆的方程．
2.已知是椭圆的两个焦点,过的直线与椭圆交于两点,则△的周长
为.
3.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则．
4.过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于两点．若,则点与左焦点的距离=_________.
5.如图所示,椭圆：的离心率是,点在短轴上,且.求椭圆的方程；
6.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆：的半径,则椭圆的标准方程是(　　)
A. B. C. D.
二.会正确求解椭圆离心率相关问题LV.3
1.
2.离心率方程及不等式的巧妙解法列出之间关系式,消
技巧：方程或不等式两边同除以
例如：
例1．
设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
例2．
如图,已知,图中的一系列圆是圆心分别,的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,,利用这两组同心圆可以画出以,为焦点的椭圆,若,,,分别是椭圆上的点,则三个椭圆的离心率分别是_________
例3．
在椭圆中,为其左、右焦点,以为直径的圆与椭圆交于四个点,若,恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
例4．
椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是.若,,成等比数列,则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
例5．
如图,已知椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,,
则该椭圆的离心率是.
过关检测(10mins)
1.已知椭圆的短轴长为6,焦点到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆的离心率等于___________
2.若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________________
3.已知椭圆的左右焦点分别为,点为椭圆上一点,且,,则椭圆的离心率＝__________.
4.(2015-2016东城区高三二模文8)如图,在边长为的正方形组成的网格中,有椭圆,他们的离心率分别为,则
A. B． C． D．
5.已知是以为焦点的椭圆上的一点,若,,则此椭圆的的离心率为( )
A. B． C． D．
6.如图,已知、是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且点为线段的中点,则_______；椭圆的离心率为________．
三.会利用焦点三角形性质解题LV.4
焦点三角形面积 ①,(为短轴的端点) ②
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=(最短的过焦点的弦)
例1.
在椭圆中,焦点分别为,点是椭圆上任意一点,设,证明：。
例2.
已知点为椭圆上动点,分别是椭圆的两个焦点,则的最大值为
例3.
在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,则___
过关检测（10mins）
1.若为椭圆上的点,分别是椭圆的两个焦点,,则三角形的面积为___________.
2.是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则________.
3.设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是
A. B.
C. D.
4.椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为,则等于
A. B. C. D.4
5.是椭圆上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则的最小值是(　　)
（A） （B） （C） （D）
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知椭圆两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为______.
2.椭圆的焦点坐标是
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦点在轴上,若椭圆的焦距为4,则的值为
A. B. C. D.
4.椭圆和一定具有
A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长轴长
5.已知、是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,,椭圆的短半轴长为,则三角形的面积为______
6.已知方程表示椭圆,则实数的取值范围是__________.
7.已知椭圆过点和,则此椭圆的标准方程为
A. B.
C.或 D.以上都不对
8.已知是以为焦点的椭圆上的一点,若,,则此椭圆的的离心率为
A. B. C. D.
巩固练习（20mins）
1.设分别为椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于两点,则的周长为
A. B. C. D
2.椭圆上一点到左焦点的距离为2,是的中点,则等于
A. B. C. D.
3.椭圆的焦点为,点在椭圆上,线段中点在轴上,则为
A. B. C. D
4.椭圆的左右焦点为,点是椭圆上任意一点,当时,点的横坐标的取值范围是__________.
5.已知点是椭圆上的动点,点的坐标为,则的最小值为
A. B. C. D.
6.为椭圆上一点,分别是圆和上的点,则的取值范围是
A. B. C. D.
7.对于椭圆,左右焦点为,椭圆上存在一点使得直线与直线垂直,则椭圆的离心率的取值范围为：_________
拔高练习（20mins）
1.已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为__________.
【解析】
2.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部七个点,是椭圆的左焦点,则.
3.椭圆的四个顶点为、、、,若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
4.已知是椭圆的右焦点,以坐标原点为圆心,为半径作圆,过垂直于轴的直线与圆交于两点,过点作圆的切线交轴于点.若直线过点且垂直于轴,则直线的方程为______________；若,则椭圆的离心率等于_________.
5.若椭圆：和椭圆：的焦点相同且.给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②；
③； ④.
其中,所有正确结论的序号是
A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
6.已知,是圆：（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为______________.
7.点为椭圆在第一象限内的一点,以点以及焦点,为顶点的三角形的面积为4,则点的坐标是______；
8.设分别是椭圆的左右焦点,若椭圆上存在点,使线段的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
9.椭圆的左右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,则直线的斜率的取值范围是
A. B. C. D.第三讲 椭圆专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测(10mins)
1.椭圆的一个焦点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆定义可知该椭圆焦点在轴上，且，故选B。
2.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,,则( )
A．2 B．10 C．12 D．12
【答案】C
【解析】由椭圆定义可知,故选C。
3.椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】化成标准形式：,则,,则∴
4.设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )
A． B． C． D．
·
【答案】C
【解析】因为是底角为的等腰三角形,则有,
因为,所以,,所以,即,所以,即,所以椭圆的离心率为,选C.
5.设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中,,其中,,故,解的.
6.过椭圆的中心作直线与椭圆交于两点,为椭圆的焦点,则三角形面积的最大值为
6 12 24 48
【答案】B
【解析】
课中讲解
会正确利用椭圆定义与性质解题LV.2
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2,即()
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长短轴长 长轴长短轴长
对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
点和椭圆的关系
切线方程
例1．
(1).已知三点,那么以为焦点且过点的椭圆的短轴长为()
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】设椭圆的标准方程为:,
可得:,解得.
∴.
∴椭圆的短轴长为6.
故选:B
(2).点是椭圆上的一点,,分别是椭圆的左右焦点,则的周长是.
【答案】6
【解析】由定义可知,
(3).在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,
___
【答案】
【解析】有正弦定理可知,故
例2
(1)已知椭圆的左焦点为,则( )
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由题意得：,因为,所以,故选C．
(2)已知椭圆C：,四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆上.求的方程_________；
【答案】
【解析】由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此,解得.故C的方程为.
(3)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:的离心率为,椭圆C截直线所得线段的长度为.则椭圆的方程为__________
【答案】;
【解析】得,由椭圆截直线所得线段的长度为得,,得椭圆方程为
例3.
(1)已知椭圆C：的左、右焦点为,,离心率为,过的直线交C于A,B两点,若的周长为,则C的方程为( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可知的周长为,所以,故,又由得,所以,则的方程为,故选A.
(2)已知椭圆：,点与的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,,线段的中点在上,则．
【答案】12
【解析】设交椭圆于点,连接和,利用中位线定理可得
．
例4.
已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上的任意一点,则的最大值是( )
(A)9 (B)16 (C) (D)
【答案】C
【解析】根据定义：,根据均值不等式
例5.
若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意，F（－1，0），设点P，则有,
解得，因为，，
所以==，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，
所以当时，取得最大值，选C．
例6.
已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于、两点．若的中
点坐标为,则的方程为________
【答案】
【解析】
设,则,①②
①②得：,即
∴,又∵,又,解得：,,所以方程为
过关检测(10mins)
1.求焦点的坐标分别为和,且过点的椭圆的方程．
【答案】
【解析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，故可设椭圆的标准方程为，把点代入方程
可得 ，解得，故椭圆的方程为。
2.已知是椭圆的两个焦点,过的直线与椭圆交于两点,则△的周长
为.
【答案】8
【解析】,其中,故
3.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则．
【答案】8
【解析】
4.过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于两点．若,则点与左焦点的距离=_________.
【答案】
【解析】因为可知轴，由通径公式可知，故由椭圆定义可知
5.如图所示,椭圆：的离心率是,点在短轴上,且.求椭圆的方程；
【答案】
【解析】由已知可得点的坐标分别为,.
又点的坐标为,且,所以,解得,.
所以椭圆方程为.
6.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆：的半径,则椭圆的标准方程是(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由得,,
∴,∴,∴,
∵,∴,∴.故选A.
二.会正确求解椭圆离心率相关问题LV.3
1.
2.离心率方程及不等式的巧妙解法列出之间关系式,消
技巧：方程或不等式两边同除以
例如：
例1．
设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义：；
根据题意,△为等腰直角三角形,设,
所以离心率
例2．
如图,已知,图中的一系列圆是圆心分别,的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,,利用这两组同心圆可以画出以,为焦点的椭圆,若,,,分别是椭圆上的点,则三个椭圆的离心率分别是_________
【答案】,,
【解析】, ∴;
, ∴
, ∴
例3．
在椭圆中,为其左、右焦点,以为直径的圆与椭圆交于四个点,若,恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为直角三角形,,所以设,所以
所以离心率
例4．
椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是.若,,成等比数列,则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为,所以,,又因为,,成等比数列,
所以有,即,所以,
离心率为,选B.
例5．
如图,已知椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,,
则该椭圆的离心率是.
【答案】
【解析】,所以,所以,即：
所以：,即,解得：
过关检测(10mins)
1.已知椭圆的短轴长为6,焦点到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆的离心率等于___________
【答案】
【解析】短轴,,又因为,所以求解得到：
所以得到：
2.若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________________
【答案】
解析：根据题意得：,又因为,所以得到
所以：
3.已知椭圆的左右焦点分别为,点为椭圆上一点,且,,则椭圆的离心率＝__________.
【答案】
【解析】△为直角三角形,,所以设,所以
所以离心率
4.(2015-2016东城区高三二模文8)如图,在边长为的正方形组成的网格中,有椭圆,他们的离心率分别为,则
A. B． C． D．
【答案】D
【解析】由图形可知,椭圆的长半轴长为,短半轴长为,则
椭圆的长半轴长为,短半轴长为,则
椭圆的长半轴长为,短半轴长为,则
∴,
故选:D
5.已知是以为焦点的椭圆上的一点,若,,则此椭圆的的离心率为( )
A. B． C． D．
【答案】D
【解析】为直角三角形,,设则
6.如图,已知、是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段与圆相切于点,且点为线段的中点,则_______；椭圆的离心率为________．
【答案】0,
【解析】①连接,因为点为线段的中点,为的中点,所以
所以：,所以0,
②在中,,则
又因为：,所以得到：,所以,所以
三.会利用焦点三角形性质解题LV.4
焦点三角形面积 ①,(为短轴的端点) ②
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=(最短的过焦点的弦)
例1.
在椭圆中,焦点分别为,点是椭圆上任意一点,设,证明：。
【答案】见解析
【解析】记,则；由余弦定理得
代入化简得
所以
例2.
已知点为椭圆上动点,分别是椭圆的两个焦点,则的最大值为
【答案】D
【解析】由焦点三角形相关结论可知，其中，其中，所以。
例3.
在平面直角坐标系中,已知的顶点和,顶点在椭圆上,则___
【答案】
【解析】有正弦定理可知,故
过关检测（10mins）
1.若为椭圆上的点,分别是椭圆的两个焦点,,则三角形的面积为___________.
【答案】
【解析】由焦点三角形面积公式，其中，故
2.是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则________.
【答案】3
【解析】由焦点三角形面积公式可知=9,又因为,所以,所以。
3.设是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当长轴为轴时，，当点与短轴端点重合时，。当长轴为轴时，，当点与短轴端点重合时，。故选
4.椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交,一个交点为,则等于
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】由椭圆定义可知，由通径可知，故。
5.是椭圆上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则的最小值是(　　)
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由椭圆性质可知，当点在短轴端点时取得最小值。此时，由倍角公式可知,故选D。
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知椭圆两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为______.
【答案】6
【解析】
2.椭圆的焦点坐标是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆定义可知，故，故选C。
3.已知椭圆的焦点在轴上,若椭圆的焦距为4,则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把椭圆方程化成标准方程为，因为焦点在轴上，所以，又因为焦距为4，所以。由椭圆定义可知，故选A。
4.椭圆和一定具有
A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长轴长
【答案】A
【解析】第二个椭圆方程化为标准方程为，由离心率公式可知，题设中两个椭圆具有相同的离心率，故选A。
5.已知、是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,,椭圆的短半轴长为,则三角形的面积为______
【答案】
【解析】由焦点三角形面积公式可知。
6.已知方程表示椭圆,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】方程表示椭圆的充要条件是，解得
7.已知椭圆过点和,则此椭圆的标准方程为
A. B.
C.或 D.以上都不对
【答案】B
【解析】设椭圆的标准方程为，因为椭圆过点和，把两点带入标准方程解得，故选B
8.已知是以为焦点的椭圆上的一点,若,,则此椭圆的的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，可知，又因为，故，又因为，所以，。在中，,故选
巩固练习（20mins）
1.设分别为椭圆的左右焦点,过的直线交椭圆于两点,则的周长为
A. B. C. D
【答案】D
【解析】
2.椭圆上一点到左焦点的距离为2,是的中点,则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在三角形中,为的中点，为的中点，故为三角形的中位线，故
3.椭圆的焦点为,点在椭圆上,线段中点在轴上,则为
A. B. C. D
【答案】C
【解析】因为线段中点在轴上，所以轴，由通径公式可知，由椭圆定义可知,故选C。
4.椭圆的左右焦点为,点是椭圆上任意一点,当时,点的横坐标的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可知焦点坐标分别为，设点坐标为，则，又因为，所以解得
5.已知点是椭圆上的动点,点的坐标为,则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设点的坐标为，则，又因为，所以，故选B。
6.为椭圆上一点,分别是圆和上的点,则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】数形结合可知，其中，故选A。
7.对于椭圆,左右焦点为,椭圆上存在一点使得直线与直线垂直,则椭圆的离心率的取值范围为：_________
【答案】
【解析】当点与短轴端点重合时，因为垂直，可知此时椭圆离心率为，故当存在一点使得直线与直线垂直时，椭圆的离心率的取值范围为
拔高练习（20mins）
1.已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
2.如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部七个点,是椭圆的左焦点,则.
【答案】35
【解析】由椭圆的对称性可知
3.椭圆的四个顶点为、、、,若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知内切圆的半径为，因为，即。又因为，解得。
4.已知是椭圆的右焦点,以坐标原点为圆心,为半径作圆,过垂直于轴的直线与圆交于两点,过点作圆的切线交轴于点.若直线过点且垂直于轴,则直线的方程为______________；若,则椭圆的离心率等于_________.
【答案】；
【解析】
5.若椭圆：和椭圆：的焦点相同且.给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②；
③； ④.
其中,所有正确结论的序号是
A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③
【答案】B
【解析】因为有相同的焦点，所以，变形之后，故③正确；又因为，所以，故④正确；又因为，所以，故①也正确。
6.已知,是圆：（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为______________.
【答案】
【解析】因为垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以,又因为,所以,由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆，故点的轨迹方程为。
7.点为椭圆在第一象限内的一点,以点以及焦点,为顶点的三角形的面积为4,则点的坐标是______；
【答案】
【解析】，故，带入椭圆方程得。
8.设分别是椭圆的左右焦点,若椭圆上存在点,使线段的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
9.椭圆的左右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是,则直线的斜率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】有椭圆的性质可知，又因为，所以选

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