资源简介

第四讲 双曲线专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知,则满足的动点的轨迹方程为_______.
2.在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为___．
3.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4.双曲线（,）的渐近线为正方形的边,所在的直线,点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为,则=____．
课中讲解
会正确利用双曲线定义与性质解题LV.2
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
第一定义 到两定点的距离之差等于常数2,即
范围 或 或
顶点 实轴、 虚轴、 实轴、 虚轴、
轴长 实轴长虚轴长 实轴长虚轴长
对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
渐近线
离心率
切线方程
焦点三角形面积 ①,（为短轴的端点） ②
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
例1.
(1)双曲线的焦点坐标是（ ）
A., B.,
C., D.,
(2)已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
(3)若实数k满足，则曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
例2.
在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为____．
(2)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
例3.
(1)已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的方程为_______
(2)已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐
标是．则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
例4.
已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两
点，且AB的中点为,则的方程式为________
过关检测（10mins）
1.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.已知双曲线的一个焦点是,其渐近线方程为,该双曲线的方程是.
3.已知为双曲线的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为（2,0）,则C的右顶点为__________.C的方程为____________
4.设是不为零的实数,则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二.会正确求解双曲线离心率和渐近线相关问题LV.3
求解方法1.给出具体方程，利用，求出具体的，求解离心率
求解方法2.离心率与渐近线之间的转化
求解方法3.焦点三角形中，求解离心率
求解方法4.根据题意列出公式得到的关系式，根据求解离心率
例1.
（1）已知双曲线，画出图像，标出焦点及顶点坐标并求解渐近线及离心率
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______
（3）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
例2
（1）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为________
例3.
如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是
A． B． C． D．
例4.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若
且△的最小内角为,则C的离心率为___.
例5.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例6.
已知椭圆,双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆的离心率为;双曲线的离心率为.
过关检测
1.双曲线()的一条渐近线方程为,则.
2.已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为.
3.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则________
A.1或5 B.6 C.7 D.9
4.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线
的标准方程为
A. B.
C. D.
三.会利用焦点三角形性质解题LV.4
例1
已知双曲线,点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若,则的值为___________________.
例2
已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
过关检测（10mins）
1.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，，则到轴的距离为( )
A B. C. D.
2.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上， ，则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
课后练习
补救练习（20mins）
1.★双曲线的一条渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为.
3.若双曲线的离心率为,则实数 .
4.设双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,则其离心率为__________;若点在上,则双曲
线的方程为____________.
4.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，
则双曲线的离心率__________.
5.已知双曲线的离心率为，则点到
的渐近线的距离为__________．
巩固练习（20mins）
1.已知双曲线的一个焦点F,点P在双曲线的一条渐近线上,点O为双曲线的对称中心,若△ 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
2.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )
A．2 B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_________.
4.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
拔高练习（20mins）
1.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若
且△的最小内角为,则C的离心率为___.
2.椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是___________．
3.已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.第四讲 双曲线专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.已知,则满足的动点的轨迹方程为_______.
【答案】
【解析】由可知;由得,从而.
又因为焦点在轴上,所以双曲线方程为.
2.在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为____．
【答案】2
【解析】由得。
∴，即，解得
3.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由右焦点,得 ，由离心率等于，得 ，所以 ，，故双曲线方程为
4.双曲线（,）的渐近线为正方形的边,所在的直线,点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为,则=____．
【答案】
【解析】由正方形边长为2,所以对角线,
又点为该双曲线的焦点,所以．由,
可知渐近线方程为,
所以,由,所以,即．
课中讲解
会正确利用双曲线定义与性质解题LV.2
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
第一定义 到两定点的距离之差等于常数2,即
范围 或 或
顶点 实轴、 虚轴、 实轴、 虚轴、
轴长 实轴长虚轴长 实轴长虚轴长
对称性 关于轴、轴对称,关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
渐近线
离心率
切线方程
焦点三角形面积 ①,（为短轴的端点） ②
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
例1.
(1)双曲线的焦点坐标是（ ）
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】本题考查双曲线.因为,且焦点在轴上,所以焦点坐标为.
(2)已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵双曲线的右焦点为（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2
∵=3，∴，故选C．
(3)若实数k满足，则曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
【解析】∵，∴，本题两条曲线都是双曲线，
又，∴两双曲线的焦距相等，选A．
例2.
(1)在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为____．
【答案】2
【解析】由得。
∴，即，解得
(2)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.
例3.
(1)已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的方程为_______
【答案】
【解析】由题意得，，由，解得，所以双曲线的方程为
(2)已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐
标是．则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，所以，将代入，
得，所以，又的坐标是，所以点到的距离为1，
故的面积为，选D．
例4.
已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两
点，且AB的中点为,则的方程式为________
【答案】
【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为
，设，
即则，
则，故的方程式为
过关检测（10mins）
1.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的，，，所以右焦点为
2.已知双曲线的一个焦点是,其渐近线方程为,该双曲线的方程是.
【答案】
【解析】本题考查双曲线的基本性质.
焦点为,,渐近线为,,
又,解得,双曲线的方程为.
3.已知为双曲线的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为（2,0）,则C的右顶点为__________.C的方程为____________
【答案】
【解析】倾斜角为,则斜率为1,所以,,且,所以
4.设是不为零的实数,则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
时,表示焦点在轴上的双曲线
时,表示焦点在轴上的双曲线
充分性:表示双曲线
必要性:表示双曲线,可以推出,即或
因此“”是“表示双曲线”的充分不必要条件
二.会正确求解双曲线离心率和渐近线相关问题LV.3
求解方法1.给出具体方程，利用，求出具体的，求解离心率
求解方法2.离心率与渐近线之间的转化
求解方法3.焦点三角形中，求解离心率
求解方法4.根据题意列出公式得到的关系式，根据求解离心率
例1.
（1）已知双曲线，画出图像，标出焦点及顶点坐标并求解渐近线及离心率
【答案】渐近线方程为,离心率为2
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______
【答案】：或
【解析】本题属于易错题：要考虑焦点为轴或者轴，若焦点为轴，则，则，若焦点为轴，则则则
（3）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的顶点坐标为，渐近线为，即．带入点到直线距离公式=
例2
（1）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______
【答案】：()
【解析】椭圆，则则∴，
可得焦点坐标为()；双曲线，，所以，根据双曲线
所以，所以双曲线渐进线方程为，即
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为________
【答案】
【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。
由渐近线方程可知①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②
又③
联立①②③，解得，所以双曲线的方程为
例3.
如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在椭圆中，根据题意可知，,且，所以求解可得，所以离心率
例4.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若
且△的最小内角为,则C的离心率为___.
【答案】
【解析】设P点在右支上，
△
例5.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.
例6.
已知椭圆,双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆的离心率为;双曲线的离心率为.
【答案】
【解析】本题考查圆锥曲线（椭圆和双曲线）.
①如图:连接,
由正六边形的性质可知,为直角三角形,且,.
所以在中,
又由椭圆的定义可知,
∴,
∴.
②由正六边形的性质可知,
,
,
又由双曲线的性质可知:
∴.
过关检测
1.双曲线()的一条渐近线方程为,则.
【答案】1
2.已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为.
【答案】1
3.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则________
A.1或5 B.6 C.7 D.9
【答案】C
4.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线
的标准方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
三.会利用焦点三角形性质解题LV.4
例1
已知双曲线,点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若,则的值为___________________.
【答案】
【解析】由双曲线的方程可知
例2
已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
【答案】C
【解】：∵双曲线中∴
∵∴
作边上的高，则∴
∴的面积为故选C
过关检测（10mins）
1.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，，则到轴的距离为( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】根据焦点三角形面积公式，，所以得到=
2.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，，则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析1】.由余弦定理得
cos∠P=
4
【解析2】由焦点三角形面积公式得：
4
课后练习
补救练习（20mins）
1.★双曲线的一条渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为.
【答案】或
3.若双曲线的离心率为,则实数 .
【答案】
【解析】根据题意得且,解得
4.设双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,则其离心率为__________;若点在上,则双曲
线的方程为____________.
【答案】:;
【解析】:由已知得:,所以离心率.设双曲线的方程为,又将点
代入解得,所以双曲线的方程为.
4.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，
则双曲线的离心率__________.
【答案】
【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率
5.已知双曲线的离心率为，则点到
的渐近线的距离为__________．
【答案】
巩固练习（20mins）
1.已知双曲线的一个焦点F,点P在双曲线的一条渐近线上,点O为双曲线的对称中心,若△为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】B
2.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
3.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_________.
【答案】．2
4.若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.
拔高练习（20mins）
1.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若
且△的最小内角为,则C的离心率为___.
【答案】
【解析】设P点在右支上，
2.椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是___________．
【答案】设，则，所以，又，所以，所以，所以，不妨取，所以中点，代入，
得，化简得或，所以.
3.已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.
【答案】.
【解析】由题意，又因为，则，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为.

展开更多......

收起↑