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2.12 函数的图象
【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
【再现型题组】 基础知识回顾练
1.下列结论中正确的是（ ）
A函数y＝|f(x)|为偶函数．
B函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．
C当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．
D函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．
【答案】D
2.函数y＝1－的图象是(　　)
【答案】　B
【解析】　将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象，故选B.
3.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为,所以将其图象向左平移1个单位长度所得函数解析式为.故正确.
4.分别画出下列函数的图象：（1）（2）（3）
【解析】 (1)首先作出y＝lg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分).
(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.
(3) 第一步作y＝lgx的图像．
第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．
第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像
第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得的图像，如图3．
5.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
【答案】　e－x＋1
【解析】　∵f(x)＝e－x，
∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【变式1】在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
【变式2】函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.
故选：B.
【变式3】已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】图1：当时，，当时，
当时，于图2不符合，故排除C、D．
∵恒成立，于图2不符合，故排除B．
故选：A．
【变式4】已知函数与的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图1可知：函数关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即.
函数的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即.
由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.
A：设，因为，
所以是偶函数，不符合题意；
B：设，因为，
所以是奇函数，符合题意；
C：设，因为，
所以是偶函数，不符合题意；
D：由图1可知：，因为函数在时没有意义，故不符合题意，故选：B
2.已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
【答案】　C
【解析】　画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|3.函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．
【答案】　(－3，0)∪(0，3)
【解析】　函数f(x)的图象大致如图所示．
因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，
所以2x·f(x)<0.
由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．
【变式】若不等式(x－1)2＜logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2] B. C．(1，) D．(，2)
【答案】 A
【解析】 要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．故选A.
【提高型题组】 能力提升拓展练
1,、双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数，和双曲余弦函数.下列结论错误的是（ ）
A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称
B．若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点，则
C．双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方
D．双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合
【答案】B
【详解】对于A，由于，故为奇函数，其图象关于原点中心对称，
而，故为偶函数，图象关于y轴对称，
故A正确；
对于B，当时 ，，故在时为增函数，
当时 ，，故在时为减函数，
因此的最小值在 时取到，最小值为1；
又，故在R上为增函数，
又因为，
由此作出，的大致图象，如图示，
由图象可知，当时，直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有2个交点，故B错误；
对于C，由对B的分析可知，双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方，C正确；
对于D，由于，故双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合，D正确，
故选：B
2.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是
【答案】　
【解析】　∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍．
当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，
令4(x－2)(x－3)＝－，
解得x1＝，x2＝，
∴要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，
则m≤，∴m∈
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】　A
【解析】　将函数y＝2x的图象向右平移3个单位长度得到y＝2x－3的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝2x－3－1的图象．
2.函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
当，，函数为奇函数，排除C；
，排除AD；
故选：B.
3.已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．
故选：D．
4.设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　　)
A.y＝f(|x|)　　 B.y＝－|f(x)| C.y＝－f(－|x|) D.y＝f(－|x|)
【答案】 C
5.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】　A
【解析】　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜时，0＜cos x＜1，故y＝＜≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.
6.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　
【答案】 B
【解析】 函数是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B．
7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　)
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
【答案】　C
【解析】　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示，
由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0，
则或
解得x<－2或故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)．
8.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
【答案】　BCD
【解析】　由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；
当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；
当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．
此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；
因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即单调递增，故D正确．2.12 函数的图象
【考试要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
【再现型题组】 基础知识回顾练
1.下列结论中正确的是（ ）
A函数y＝|f(x)|为偶函数．
B函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．
C当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．
D函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．
2.函数y＝1－的图象是(　　)
3.将函数的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4.分别画出下列函数的图象：（1）（2）（3）
5.函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为
A．B．C．D．
【变式1】在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】已知函数的图象如下图1，则如下图2对应的函数有可能是（ ）
A． B．C． D．
【变式4】已知函数与的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（ ）
A． B． C． D．
2.已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
3.函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．
【变式】若不等式(x－1)2＜logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2] B. C．(1，) D．(，2)
【提高型题组】 能力提升拓展练
1,、双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数，和双曲余弦函数.下列结论错误的是（ ）
A．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y轴对称
B．若直线与双曲余弦函数图象和双曲正弦函数图象共有三个交点，则
C．双曲余弦函数图象总在双曲正弦函数图象上方
D．双曲正弦函数导函数的图象与双曲余弦函数图象重合
2.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2.函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A．B．C．D．
4.设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　　)
A.y＝f(|x|)　　 B.y＝－|f(x)| C.y＝－f(－|x|) D.y＝f(－|x|)
5.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
6.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　
7.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　)
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
8.(多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增

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