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2.13　函数的零点与方程的解
【考试要求】　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．
【再现型题组】 基础知识回顾练
1.下列结论中正确的是（ ）
A函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．
B连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.
C函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点
D用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．
【答案】D
2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
【答案】　B
【解析】　因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，
又当x＝2时，y＝－ln 2>0；
当x＝3时，y＝1－ln 3<0，
两函数值异号，
所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2,3)．
（多选）下列函数中，在定义域内有2个零点的是（ ）
A f(x)＝ex＋3x BC f(x)＝x2－2|x|－1 Df(x)＝|x|－|x|
【答案】CD
【解析】A中由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点；
B中当时，令可得，
当时，令可得：或，
综上所述函数的零点为，，，有个.
C中画出函数f(x)＝x2－2|x|－1的图像，可知函数有两个零点；
D中在同一平面直角坐标系中作出y＝|x|，y＝|x|的图象如图所示
可知D正确。
4.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】　C
【解析】　∵开区间(2,3)的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为，
故有≤0.1，解得n≥4，
∴至少需要操作4次．
5.是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是_______.
【答案】13
【详解】是定义在上的以为周期的奇函数，
，且，
则，则，
，，
，，，
方程的解至少有0，3，6，，，2，5，，，，1，4，，共13个．
故答案为：13
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】　A
【解析】　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
【变式1】设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3)
【答案】A
【详解】函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象交点的横坐标，
画出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，从图象可知它们仅有一个交点A，且交点横坐标的范围为.
【变式2】函数在上不存在零点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若函数在上不存在零点，，
当时，或，或，
解得：，
当时，或，解得：，
若时， ，解得：，
综上可知，函数在区间上不存在零点的的取值区间是，
所以函数在区间上不存在零点的充分不必要条件是的真子集，只有B选项是真子集.故选：B
2.已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】恰有三个不同的实数解等价于函数的图象与直线有三个公共点.
作出的图象如下图：
由图可知，的图象与直线有三个公共点时有，
解得，所以实数的取值范围为.故选:C.
【变式1】(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(2－6,0) B．(2－6,0) C．(－2,0) D．(2－6,0)
【答案】　D
【解析】　作出函数f(x)＝的图象，如图所示，
设与y＝4－x2相切的直线为l，
且切点为P(x0,4－x)，
因为y′＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0，
则切线方程为y－4＋x＝－2x0(x－x0)，
因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，
代入切线方程求得x0＝3－或x0＝3＋(舍去)，
所以切线的斜率为k＝2－6，
因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，
由图象知，实数k的取值范围为(2－6,0)．
【变式2】已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，
而直线与函数至多两个交点，
函数与函数有三个不同的交点，
则只需要满足直线与函数有一个交点
直线与函数有两个交点即可，
如图所示，与函数的图象交点为，，
故有.
而当时，直线和射线无交点，
故实数的取值范围是.
故选：A.
【变式3】已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】　由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为
因此实数a的取值范围是
3.已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为(　　)
A．404 B．405 C．406 D．203
【答案】　C
【解析】　因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；
因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；
故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，
故f(x)是以10为周期的函数．
又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，
根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，
又区间[0,2 023]内包含202个周期，
故f(x)在[0,2 020]上的零点个数为202×2＝404，
又f(x)在(2 020,2 023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个．
故f(x)在[0,2 023]上有406个零点，
即f(x)＝0在区间[0,2 023]上有406个根．
【提高型题组】 能力提升拓展练
1. 已知函数和在的图象如下所示:
给出下列四个命题：
(1)方程有且仅有6个根(2)方程有且仅有3个根
(3)方程有且仅有5个根(4)方程有且仅有4个根其中正确的命题是________.
将所有正确的命题序号填在横线上)
【答案】(1)(3)(4).
【解析】(1)或0或1,共有6个解.(1)正确.
(2)或,其中为的两根,有一个根,有三个根,共有四个根.(2)不正确
(3)有三个根,或0或有三个根,有一个根,有一个根,共有五个根,(3)正确(4)有二个根,或有二个根,有二个根,
共有四个根,(4)正确.
【变式1】关于的方程的不相同实根的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.8
【答案】C
【解析】可将视为一个整体,即,则方程变为
可解得:或,则只需作出的图像,然后统计与与的交点总数即可，共有5个
【变式2】已知实数若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】做出函数的图象,如图所示,由图可知，当时直线与的图象有两个交点,当时直线与的图象有一个交点,题意要求方程有三个不同
的实根,则方程必有两不等实根,且一根小于1,一根不小于1,当,即时,方程的两根为1和,符合题意;当,即时,方程有两个不等实根，且一根小于1,一根大于1,符合题意.综上由.
【变式3】（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】BD
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，
设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，当时，即对应一个交点为，
方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为，
综上，4个实数根之和为或.
故选：BD.
2.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，
由图象知：，故选：B
【变式1】已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，
方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，
由，得：，即，而，，则，
于是得，
显然时，，当时，，
所以的取值范围是.故选：C
【变式2】已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】B
【详解】函数的四个不同零点，，，，就是函数与图象交点的横坐标，作出与的函数图象如下：
由图象知，，∴.
所以.
故选：B.
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.函数，则的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数，其定义区域为，
所以，所以函数在上单调递增，，，，
所以的零点所在区间为.故选：B.
2.用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
【答案】　D
【解析】　因为f(0)f(0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x0∈(0,0.5)，
根据二分法，第二次应计算f ，即f(0.25)．
3.函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】　C
【解析】　当x≤0时，令f(x)＝x2－2x－3＝0，
得x＝－1(x＝3舍去)，
当x>0时，令f(x)＝0，得log2x＝3x－4，
作出y＝log2x与y＝3x－4的图象，如图所示，
由图可知，y＝log2x与y＝3x－4有两个交点，
所以当x>0时，f(x)＝0有两个零点，
综上，f(x)有3个零点．
4.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】B
【详解】
函数的四个不同零点，，，，就是函数与图象交点的横坐标，作出与的函数图象如下：
由图象知，，∴.
所以.故选：B.
5.函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24）
【答案】B
【详解】解：函数的图象如图：
∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等
∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）
∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1
∴abc＝c
由函数图象得abc 的取值范围是（10，12）
故选：B．
6.（多选）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点 D．方程有两个实数解
【答案】AC
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B错；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D错.故选：AC.
7．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，若函数有三个零点，则
C．若函数恰有2个零点，则
D．若存在实数m使得函数有3个零点，则
【答案】ABD
【详解】对于A，当时，，
当时，令，解得，
当时，令，解得或，
综上，当时，函数有3个零点，故A正确；
对于B，当时，，
令，则，
如图，画出与的图象如下：
要想有三个零点，则，
不妨设，则，，
故，则，
则，故B正确；
对于C，因为时，，或4时，，
当时，不存在零点，而有两个零点，
此时函数恰有2个零点，
则当时，函数也恰有2个零点，故C错误；
对于D，画出与的图象如下：
要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确.故选：ABD.
8.（多选）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为16
【答案】ABD
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
要使直线与的图像有四个不同的交点，则，故A正确；
当时，对称轴为，所以，故B正确；
由，得或，则，
又，所以，
所以，故C错误；
所以，且，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，
故D正确. 故选：ABD
9.若函数有且只有2个零点，则a的取值范围是___________.
【答案】或.
【详解】
令，
因为函数有且只有2个零点，
所以与有两个交点，
由图象得或.
故答案为：或.
10.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
作出函数的图象，如图，
由图象可知当时，的图象与直线有两个交点，即方程有且仅有两个不等的实数根．
故答案为：．2.13　函数的零点与方程的解
【考试要求】　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．
【再现型题组】 基础知识回顾练
1.下列结论中正确的是（ ）
A函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．
B连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.
C函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点
D用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．
2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
（多选）下列函数中，在定义域内有2个零点的是（ ）
A f(x)＝ex＋3x BC f(x)＝x2－2|x|－1 Df(x)＝|x|－|x|
4.用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
5.是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是_______.
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【变式1】设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3)
【变式2】函数在上不存在零点的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】(2023·黄冈模拟)函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(2－6,0) B．(2－6,0) C．(－2,0) D．(2－6,0)
【变式2】已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是
3.已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为(　　)
A．404 B．405 C．406 D．203
【提高型题组】 能力提升拓展练
1. 已知函数和在的图象如下所示:
给出下列四个命题：
(1)方程有且仅有6个根(2)方程有且仅有3个根
(3)方程有且仅有5个根(4)方程有且仅有4个根其中正确的命题是________.
将所有正确的命题序号填在横线上)
【变式1】关于的方程的不相同实根的个数是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.8
【变式2】已知实数若关于的方程有三个不同的实根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式3】（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若关于x的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．4 B． C． D．8
2.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.函数，则的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2.用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
3.函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
5.函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24）
6.已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点 D．方程有两个实数解
7．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，若函数有三个零点，则
C．若函数恰有2个零点，则
D．若存在实数m使得函数有3个零点，则
8.（多选）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为16
9.若函数有且只有2个零点，则a的取值范围是___________.
10.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为___________.

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