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第一讲 直线专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.若直线倾斜角的余弦值为,则该直线的斜率为
【答案】
【解析】因为所以
因为所以.
2.直线过三点:,且满足,则直线的方程为
【答案】或
【解析】若时,直线方程设为∵直线过,∴直线方程为
若时,直线方程设为,∵∴解得直线方程为
3.若是两条平行直线,则的值
【答案】或
【解析】因为两直线平行,所以,即.
解得或
4.已知直线和两个定点,在直线上取一点使最小,求点的坐标
【答案】
【解析】由题意可知,点是直线上任意一点.
所以当线段的垂直平分线与直线相交于点时,最小.
因为线段的中点为且线段所在直线的斜率为,
所以线段的垂直平分线斜率为.所以线段的垂直平分线的方程为
即为.
联立方程
解得
即点.
课中讲解
一.会求直线斜率与倾斜角
已知两点求直线的斜率:
直线斜率与倾斜角的关系:
例1:
已知直线经过点和点,则直线的斜率为
【答案】
【解析】
例2:
直线的斜率求倾斜角的范围.
直线的斜率求倾斜角的范围.
,过的直线与线段相交,求直线斜率的范围.
【答案】
【解析】①因为所以倾斜角的范围是
②因为所以倾斜角的范围是
③,所以直线斜率的范围为
过关检测（10mins）
1.直线的倾斜角为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由题意知所以
2.过的直线与线段相交,则直线的斜率的取值范围为.
【答案】
【解析】由题意知画图可知斜率的取值范围是.
3.如图所示,菱形中,,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
【答案】，
【解析】如图所示,菱形中,,．
．
4.已知四边形的顶点,求和的值,使四边形为直角梯形．
【答案】或
【解析】
∵四边形是直角梯形,∴有种情形:
(1),
由图可知:．
(2),
∴，综上或
二.会求直线方程
直线的五种表示形式:
斜截式:
点斜式::
两点式:
截距式:
一般式:
例1:
根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(1)斜率为,且经过点；
(2)过点,且垂直于轴；
(3)斜率为,在轴上的截距为；
(4)在轴上的截距为,且平行于轴；
(5)经过两点；
(6)在轴,轴上截距分别是．
【解析】(1)由点斜式方程得,
即．
(2),即．
(3),即．
(4),即．
(5)由两点式方程得，
即．
(6)由截距式方程得,即．
例2:过点作一直线,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5,求
直线的方程。
【答案】或.
【解析】解法一:设直线的方程为分别令,
得在轴,轴上的截距为:,
由条件得
得无实数解；或,解得
故所求的直线方程为:或。
解法二:设的方程为,因为经过点,则有:
① 又②
联立①、②,得方程组解得或
因此,所求直线方程为:或.
过关检测（10mins）
1.已知直线的倾斜角为,在轴上的截距为,则此直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】直线的倾斜角为,则其斜率为,利用斜截式直接写方程．
2.已知中,边上的中线所在直线方程分别为和,求各边所在直线方程．
【答案】，
【解析】设则的中点，∵在中线上∴,解得, 故.
同样,因点在直线上,可以设为,
的中点坐标为即由
得.
根据两点式,得中，.
3.已知直线的斜率为,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线的方程．
【答案】．
【解析】方法一：设所求直线的方程为．
∵,∴方程为．
令,∴,与轴的交点为；
令,∴,与轴的交点为.
根据勾股定理得,
∴，因此直线的方程为．
方法二：设所求直线为,则与轴、轴的交点分别为．
由勾股定理知．
又,∴，
解此方程组可得或.
因此所求直线的方程为或，即.
4.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线的方程．
【答案】或.
【解析】当直线经过原点时,直线在两坐标轴上截距均等于,故直线的斜率为.
∴所求直线方程为，
即．
当直线不过原点时,设其方程,
由题意可得,①
又经过点,有,②
由①②得,则的方程为,即．
故所求直线的方程为或．
三.会求解点与直线的距离
1.两点间的距离:两点间的距离公式为
2.点到直线的距离:点到直线的距离为
3.两条平行直线的距离:两条平行直线的距离转化为点到直线的距离求解；两平行直线与的距离可用公式求解。
例1:
与直线平行,并且距离等于的直线方程是____________
【答案】或
【解析】设直线为或
例2:
过点的所有直线中,与原点距离最远的直线方程是___________________。
【答案】
【解析】过点且与垂直的直线到原点的距离最远,所以，直线方程为，即.
例3:
设点在直线上,且到原点的距离与到直线的距离相等,则点坐标是___________.
【答案】或
【解析】设,则由题意知:,解得或
过关检测（10mins）
1.直线在两坐标轴上的截距相等,且到直线的距离为,求直线的方程．
【答案】,或
【解析】解:由题,若截距为,则设所求的直线方程为．
,．
若截距不为,则设所求直线方程为．
,或,
所求直线为,或
2.（1）已知,,在轴上找一点,使,并求的值；
（2）已知点与间的距离为,求的值．
【答案】、;或
【解析】解（1）设点为,则有
,
．
由得,解得．
即所求点为且．
（2）由,又,
得,解得或,故所求值为或．
3.已知直线,直线,,两平行直线间距离为,而过点的直线被、截得的线段长为,求直线的方程．
【答案】或．
【解析】,得．
,．故,．
又与间距离为,,解得或（舍）．
故点坐标为．再设与的夹角为,斜率为,斜率为,
,,,解得或．
直线的方程为或．
即或．
4.一直线过点,且点到该直线距离等于4,求该直线倾斜角
【答案】或．
【解析】当过点的直线垂直于轴时,点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为,
当过点的直线不垂直于轴时,直线斜率存在,设过点的直线为,即．
由,解得．
直线倾斜角为．
综上,该直线的倾斜角为或．
四.会判断直线与直线的位置关系
已知两条直线,.
1.若,则,且.
2.若,则.
已知两条直线,.
1.若,则,
2.若,则.
已知两条直线,相交,则交点坐标为方程组
的解.
例1:
已知两直线,直线过点,并且直线与直线垂直,求的值．
【答案】
【解析】
即①
又点在上,②
由①②解得:
例2:
已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直,求实数的值.
【答案】或
【解析】的斜率
当时,的斜率,
，即得.
当时,,这时直线为轴,,这时直线为轴,显然
综上可知,实数的值为和。
例3:
已知三点,求点,使直线,且。
【答案】
【解析】设，则，
，
，
即
过关检测（10mins）
1.已知直线，问当为何值时,直线与平行．
【答案】
【解析】当时,.
显然与不平行,同理,当时,与也不平行．
当且时,,
，
∴为时,直线与平行．
2.过点的直线被两平行直线１:与:所截线段的中点恰在直线上,求直线的方程
【答案】
【解析】设线段的中点的坐标,由到,、的距离相等,得
经整理得,,又点在直线上,所以
解方程组得即点的坐标,又直线过点
所以直线的方程为,即。
3.已知两直线,求分别满足下列条件的的值。
（1）直线过点（,并且直线与直线垂直。
（2）直线与直线平行,并且坐标原点到,的距离相等。
【答案】或
【解析】（1），即①
又点在上,②
由①②得
（2）且的斜率为，的斜率也存在且，
故和的方程分别表示为和
因为原点到和的距离相等,所以，或
因此或
4.三角形的三个顶点分别为，
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程；
(3)求边上的中垂线所在直线的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)由截距式得，
∴所在直线方程为,
由两点式得，
∴所在直线方程为．
(2)点坐标为,由两点式得
∴所在直线方程为．
(3)由边上的中垂线的斜率为,
又,由点斜式得,
∴边上的中垂线所在直线方程为．
五.会理解并运用对称问题
1.点关于点对称
2.点关于直线对称
3.直线关于点对称
4.直线关于直线对称
例1:
点关于直线的对称点的坐标是.
【答案】
【解析】设,则由题意知:
解得
例2:
点关于直线的对称点为,则的方程为________________．
【答案】
【解析】设直线方程为,则由题意知:
解得,故直线方程为.
例3:
光线从点经轴上点反射后过点,那么点的坐标是___________．
【答案】
【解析】由题意知关于轴的对称点为.
点在直线与轴的交点,故坐标为.
例4:
在直线上的射影为,则关于对称的直线方程为________．
【答案】
【解析】代入得,将其代入
,得,此直线与垂直,
∴其关于的对称的直线是其本身．
过关检测（10mins）
1.一束平行光线从原点出发,经过直线反射后通过点,求反射光线与直线的交点坐标．
【答案】
【解析】设原点关于的对称点的坐标为,由直线与垂直和线段的中点在上得
,解得，
∴的坐标为.
∵反射光线的反向延长线过，
又由反射光线过，两点纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为．
由方程组，解得，
∴反射光线与直线的交点坐标为．
2.在中,边上的高所在直线的方程为的角平分线所在直线的方程为,若点的坐标为,求点和点的坐标．
【答案】
【解析】
如图所示,由已知,应是边上的高线所在直线与的角平分线所在直线的交点．
由,得,
故．
又的角平分线为轴,
故,(也可得关于的对称点)
∴方程为,
又,
∴的方程为,
由得,
故点坐标为．
3.光线从点出发,到轴上的点后,被轴反射到轴上的点,又被轴反射,这时反射光线恰好过点,求直线的方程．
【答案】
【解析】
如图所示,由题设,点在原点的左侧,根据物理学知识,直线一定过关于y轴的对称点,直线一定过关于x轴的对称点且，
,
方程为，
令得，
.
方程为．
令,得．
∴的方程为,
即．
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知,且直线与直线平行,则的值为
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】当与斜率均不存在时,,此时,当时,m,此时
2.经过直线与的交点,且垂直于直线的直线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先解得交点坐标为,再根据垂直关系得斜率为,可得方程,即。
3.设是轴上两点,点的横坐标为,且,若直线的方程为,则直线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知得,由,得,由两点式得直线的方程为.
4.以为顶点的三角形是
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．无法确定
【答案】B
【解析】由题意知,所以为等腰三角形.
5.直线与之间的距离为,则等于
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】直线可变式为,由两直线距离公式得
解得或
6.如果关于直线的对称点为，则直的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设直线方程为,则,
解得直线方程为
7.以为端点的线段的垂直平分线方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】所求直线过线段的中点,且斜率,可得直线方程为
巩固练习（20mins）
1.若都在直线上,则用表示为（）
ABCD
【答案】D
【解析】
2.已知直线，则的值是
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】，则,
解得或或.
又当时，与重合，
故或.
3.已知直线与直线互相垂直,垂足为,则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】垂足是两直线的交点,且，故.将代入,得；将代入:得.则.
4.过点的直线与轴,轴分别交于两点,且,则的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知为线段的中点,,可求得直线的方程.
5.两平行直线分别过点,它们分别绕旋转,但始终保持平行,则之间的距离的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当这两条直线与直线垂直时,达到最大值,此时
.
6.直线在轴上截距为,而且它的倾斜角是直线倾斜角的倍,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意,
∴．故选D
拔高练习（20mins）
1.设点,直线过且与线段相交,则的斜率的取值范围是
A．或 B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【解析】
如图:，，结合图形可知
或
2.已知,若点在线段上,则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】试题分析:由题意得,
所以
当时等号成立,即的最大值为,故选C
3.已知直线与直线垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为,求直线的方程。
【解析】设直线的方程为，
因直线与直线垂直,故有得.
故直线的方程为,
其与轴、轴的交点坐标分别为与,
故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为:
,解得,
因此,所求直线的方程为或
即或
4.已知三条直线,试判断这三条直线能否构成一个三角形？若不能,求出对应的实数的值,并指出原因．
【答案】当其中两条直线平行时,三直线不能构成三角形,∵与不可能平行,
∴①当时,则有,解得;
②当时,则有,解得.
当三条直线过同一点时,不能构成三角形,
由，可得两直线的交点坐标为将其代入第三条直线方程可解得或.
综上所述,当或时,三直线不能构成三角形,在其余情况下,三直线总能构成三角形.
第2节 圆
问题层级图
目标层级图第一讲 直线专题讲义
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1.若直线倾斜角的余弦值为,则该直线的斜率为
2.直线过三点:,且满足,则直线的方程为
3.若是两条平行直线,则的值
4.已知直线和两个定点,在直线上取一点使最小,求点的坐标
课中讲解
一.会求直线斜率与倾斜角
已知两点求直线的斜率:
直线斜率与倾斜角的关系:
例1:
已知直线经过点和点,则直线的斜率为
例2:
直线的斜率求倾斜角的范围.
直线的斜率求倾斜角的范围.
,过的直线与线段相交,求直线斜率的范围.
过关检测（10mins）
1.直线的倾斜角为
(A) (B) (C) (D)
2.过的直线与线段相交,则直线的斜率的取值范围为.
.
3.如图所示,菱形中,,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
4.已知四边形的顶点,求和的值,使四边形为直角梯形．
二.会求直线方程
直线的五种表示形式:
斜截式:
点斜式::
两点式:
截距式:
一般式:
例1:
根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(1)斜率为,且经过点；
(2)过点,且垂直于轴；
(3)斜率为,在轴上的截距为；
(4)在轴上的截距为,且平行于轴；
(5)经过两点；
(6)在轴,轴上截距分别是．
例2:过点作一直线,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5,求
直线的方程。
过关检测（10mins）
1.已知直线的倾斜角为,在轴上的截距为,则此直线方程为
A． B．
C． D．
2.已知中,边上的中线所在直线方程分别为和,求各边所在直线方程．
3.已知直线的斜率为,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线的方程．
4.已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线的方程．
三.会求解点与直线的距离
1.两点间的距离:两点间的距离公式为
2.点到直线的距离:点到直线的距离为
3.两条平行直线的距离:两条平行直线的距离转化为点到直线的距离求解；两平行直线与的距离可用公式求解。
例1:
与直线平行,并且距离等于的直线方程是____________
例2:
过点的所有直线中,与原点距离最远的直线方程是___________________。
例3:
设点在直线上,且到原点的距离与到直线的距离相等,则点坐标是___________.
过关检测（10mins）
1.直线在两坐标轴上的截距相等,且到直线的距离为,求直线的方程．
2.（1）已知,,在轴上找一点,使,并求的值；
（2）已知点与间的距离为,求的值．
3.已知直线,直线,,两平行直线间距离为,而过点的直线被、截得的线段长为,求直线的方程．
4.一直线过点,且点到该直线距离等于4,求该直线倾斜角
四.会判断直线与直线的位置关系
已知两条直线,.
1.若,则,且.
2.若,则.
已知两条直线,.
1.若,则,
2.若,则.
已知两条直线,相交,则交点坐标为方程组
的解.
例1:
已知两直线,直线过点,并且直线与直线垂直,求的值．
例2:
已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直,求实数的值.
例3:
已知三点,求点,使直线,且。
过关检测（10mins）
1.已知直线，问当为何值时,直线与平行．
2.过点的直线被两平行直线１:与:所截线段的中点恰在直线上,求直线的方程
3.已知两直线,求分别满足下列条件的的值。
（1）直线过点（,并且直线与直线垂直。
（2）直线与直线平行,并且坐标原点到,的距离相等。
4.三角形的三个顶点分别为，
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程；
(3)求边上的中垂线所在直线的方程．
五.会理解并运用对称问题
1.点关于点对称
2.点关于直线对称
3.直线关于点对称
4.直线关于直线对称
例1:
点关于直线的对称点的坐标是.
例2:
点关于直线的对称点为,则的方程为________________．
例3:
光线从点经轴上点反射后过点,那么点的坐标是___________．
例4:
在直线上的射影为,则关于对称的直线方程为________．
过关检测（10mins）
1.一束平行光线从原点出发,经过直线反射后通过点,求反射光线与直线的交点坐标．
2.在中,边上的高所在直线的方程为的角平分线所在直线的方程为,若点的坐标为,求点和点的坐标．
3.光线从点出发,到轴上的点后,被轴反射到轴上的点,又被轴反射,这时反射光线恰好过点,求直线的方程．
课后练习
补救练习（20mins）
1.已知,且直线与直线平行,则的值为
A． B． C．或 D．或
2.经过直线与的交点,且垂直于直线的直线的方程是
A． B．
C． D．
3.设是轴上两点,点的横坐标为,且,若直线的方程为,则直线的方程为
A． B．
C． D．
4.以为顶点的三角形是
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．无法确定
5.直线与之间的距离为,则等于
A． B．
C．或 D．或
,
6.如果关于直线的对称点为，则直的方程是
A． B．
C． D．
7.以为端点的线段的垂直平分线方程是
A． B．
C． D．
巩固练习（20mins）
1.若都在直线上,则用表示为（）
ABCD
2.已知直线，则的值是
A． B．
C．或 D．或
3.已知直线与直线互相垂直,垂足为,则的值为
A． B． C． D．
4.过点的直线与轴,轴分别交于两点,且,则的方程是
A． B．
C． D．
5.两平行直线分别过点,它们分别绕旋转,但始终保持平行,则之间的距离的取值范围是
A． B．
C． D．
6.直线在轴上截距为,而且它的倾斜角是直线倾斜角的倍,则
A． B．
C． D．
拔高练习（20mins）
1.设点,直线过且与线段相交,则的斜率的取值范围是
A．或 B．
C． D．以上都不对
2.已知,若点在线段上,则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
3.已知直线与直线垂直,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为,求直线的方程。
4.已知三条直线,试判断这三条直线能否构成一个三角形？若不能,求出对应的实数的值,并指出原因．

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