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3.2　导数与函数的单调性
考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
【再现型题组】 基础知识回顾练
下列判断中正确的是
①若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增
②若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立
③若可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解④函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数
【答案】②③④
2.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
答案　C
解析　由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．
3.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0，得x＞2，故选D.
答案：D
4.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.
又∵f(x)在R上是单调增函数，
∴f′(x)≥0恒成立，
∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
答案：[，＋∞)
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.函数的单调减区间是（ ）
A．（－∞，] B．（0，） C．和（0，） D．
【答案】B
【解析】函数定义域是，
，
由可得．即减区间是．
故选：B．
【变式】函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，，
令，得，则，故的减区间是.
故选：C
2.已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】函数的定义域为，
.
①当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，由可得，由可得或，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
④当时，，由可得，由可得或，
此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
【变式1】已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】由题意，函数，可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，则在上恒成立，即恒成立，又在上单调递减，故，
所以，当时，导数不恒为0，
故选：D.
【变式1】已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是
【解析】因为，
令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，求解不等式组可得：，
解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.
【变式2】已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【解析】由题设，，由单调递减区间是，
∴的解集为，则是的解集，
∴，可得，故.
【变式3】已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，函数，可得，
因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，
则满足，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：C.
【变式4】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
【变式5】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
【变式6】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
【答案】(4，5)
【详解】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.
故答案为：.
【变式7】已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
答案　[0,1)
解析　由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)，
当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，
∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2) (0，＋∞)，
∴解得t∈[0,1)．
【变式8】函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.
故选：B
3.（1）已知函数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】，，∴当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数，又，∴.
故选：C.
（2）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【解析】设，则函数的导函数，
的导函数，，则函数单调递减，
，，则不等式，等价为，
即，则，即的解集为，故选：C.
【提高型题组】 能力提升拓展练
1.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设，则，又，于是当时，，故单调递减，注意到，则有，即.
故选：B.
【变式】已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，，，得，，，
又，即，同理，即，
所以，即，
设函数，在上恒成立，
故函数在上单调递增，所以，故选：A.
2.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）
【答案】D
设，（x＞0），则其导数，
而当x＞0时，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由f（3）＝0，则0，所以区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，，
且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0，
综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）．
故选：D.
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.函数的减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
∵，
∴，
由得，，
∴函数的减区间是.
故选：C.
2.已知函数，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为得，
当时，，所以在上单调递增，
又因为，，，
所以，从而．
故选：C.
3.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
4.已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝＋2x－a≥0对任意的x>0恒成立，即a≤2x＋，
当x>0时，由基本不等式可得2x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
所以a≤2.
因为{a|a≤2}?{a|a≤2}，
因此，“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．
5．(多选)(2023·深圳模拟)若0A．－>ln B．－C．x2>x1 D．x2答案　AC
解析　令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
则f′(x)＝ex－>0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，
因为0所以f(x1)即－ln(x1＋1)<－ln(x2＋1)，
故－>ln ，
所以A正确，B错误；
令f(x)＝且x∈(0,1)，
则f′(x)＝<0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为0所以f(x1)>f(x2)，
即>，
故x2>x1，
所以C正确，D错误．3.2　导数与函数的单调性
考试要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
【再现型题组】 基础知识回顾练
下列判断中正确的是
①若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增
②若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立
③若可导函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解④函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数
2.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　)
3.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
4.若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.函数的单调减区间是（ ）
A．（－∞，] B．（0，） C．和（0，） D．
【变式】函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.已知函数.讨论函数的单调性；
【变式1】已知函数.讨论函数的单调性；
3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是
【变式2】已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【变式3】已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
【变式7】已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
【变式8】函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
3.（1）已知函数，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【提高型题组】 能力提升拓展练
1.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】已知实数，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.函数的减区间是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)(2023·深圳模拟)若0A．－>ln B．－C．x2>x1 D．x2

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