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3.3　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
【再现型题组】 基础知识回顾练
下列判断正确的是
①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的充要条件
②函数的极小值一定小于函数的极大值
③函数的极大值一定不是函数的最小值．
④函数的极小值点为
⑤若函数在区间D上单调，则一定在D上存在最值
⑥函数的函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
【答案】③⑥
2、已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上有且仅有3个零点
D．在区间上存在极大值点
【答案】D
【详解】由图可知，在区间为负，单调递减，
在区间为正，单调递增，故A错误；
在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负，
故有3个极值点，故B错误；
由选项B可知，只能判断在区间上有3个极值点，
当的3个极值都小于0时，至多只有1个零点，
当的3个极值有正有负时，至少有1个零点，
所以无法判断零点个数，故C错误；
在区间上为正，单调递增，
在区间上为负，单调递减，
则为极大值点，故D正确；
故选：D.
3、（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的最大值为
【答案】AB
【详解】函数的定义域为R，求导得，
由得：或，由得：，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
于是函数在处取极大值，在处取极小值，C错误；
函数有两个极值点，且是的极大值点，A正确，B正确；
显然，D错误.
故选：AB
4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
【答案】　(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
【答案】　4
【解析】　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　 )
A．0,1，－1 B. C．－ D.，－
【答案】B
【解析】由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－（舍去）.当x>时，f′(x)>0；当0【变式1】（多选）已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．的单调递增区间是
【答案】BC
【详解】，且在处取得极值，
，解得：或；
当，时，，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
是的极小值点，满足题意；
当，时，，
在上单调递增，不合题意；
综上所述：，；
对于AB，，A错误，B正确；
对于C，和分别为的极大值点和极小值点，C正确；
对于D，当，时，，
，，
，即不满足在单调递增，
的单调递增区间应为和，D错误.
故选：BC.
【变式2】若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】求，讨论和时的单调性与极小值点，使得极小值点位于区间即可求解.
【详解】由可得，当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值；当时，令可得或；令可得：，所以时，在处取得极小值，若函数在区间内有极小值，则，解得，综上所述：的取值范围为。
【变式3】若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.C. D.
【答案】　D
【解析】　由f(x)＝ex－ax2－2ax，
得f′(x)＝ex－2ax－2a.
因为函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，
所以f′(x)＝ex－2ax－2a有两个变号零点，
令f′(x)＝0，得＝，设g(x)＝，y＝；则g′(x)＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，解得x＝0，
当x>0时，g′(x)<0；当x<0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．
分别作出函数g(x)＝与y＝的图象，如图所示，
由图可知，0<<1，解得a>，所以实数a的取值范围为.
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为1
C．的最小值为1 D．的最小值为1
【答案】AC
【详解】对于A，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，A选项正确；
对于B，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，B选项错误；
对于C，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，C选项正确；
对于D，因为，所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，D选项错误．
【提高型题组】 能力提升拓展练
1.已知函数f(x)＝ln x＋－1，k∈R.判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝，
当k≤0时，f′(x)>0，y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)无极值；
当k>0，x∈(0，k)时，f′(x)<0；当x∈(k，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)．
所以f(x)的极小值点是x＝k，f(x)的极小值为f(k)＝ln k，无极大值点．
综上，当k≤0时，f(x)无极值；当k>0时，f(x)的极小值为ln k，无极大值．
2.设函数.
（1）若，求函数的递减区间；
（2）当时，记函数，求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为.
【详解】（1）当时，，．
由，得.故函数的递减区间为．
∵，∴.∵，，
∴当时，，在上为减函数．因此，有最小值；
当时，在上，在上，∴在上为减函数，在 上为增函数．故g(x)有最小值.
综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在上的最小值为.
【变式】已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值为3，则实数a＝　e　．
【解答】解：f′（x）＝a，
令g（x）＝（ax﹣1）（x﹣1），x∈（0，1），
①当a≤1时，ax﹣1≤x﹣1＜0，
∴g（x）＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，
∴f（x）max＝f（1）＝a，即a＝3（舍去），
②当a＞1时，x∈（0，），g（x）＞0，f′（x）＞0；x∈（，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
∴f（x）max＝f（），2﹣a﹣（a+1）ln3，即a﹣（a+1）lna+1＝0，即a﹣（a+1）lna+1＝0，
令h（x）＝x﹣（x+1）lnx+1（x＞1），h′（x）＝﹣lnx0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，且h（e）＝0，
∴a＝e，
故答案为：e．
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.（多选）如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
【答案】　AC
【解析】　由导函数f′(x)的图象可知，
当－2当x＝－1时，f′(x) ＝0；
当－10，则f(x)单调递增；
当x＝2时，f′(x)＝0；
当2当x＝4时，f′(x)＝0，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，故选项A正确；
f(x)在[－2,1]上有减有增，故选项B错误；
当x＝2时，f(x)取得极大值，故选项C正确；
f(x)在[－1,2]上单调递增，故选项D错误．
2.函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
令或，
又，所以
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以函数有极大值，
又，
所以函数在上的最大值为：，
故选：C.
3.(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
【答案】　B
【解析】　因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以依题意可知
而f′(x)＝－，
所以即
所以f′(x)＝－＋，
因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
当x＝1时取最大值，满足题意．
所以f′(2)＝－1＋＝－.故选B.
4.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　)
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
【答案】　AC
5.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．
【答案】　80
6.已知函数为f（x）＝ax+lnx，其中a为常数．
（1）当a＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为﹣3，求a的值．
【解答】解：（1）∵，∴f（x）＝ax+lnx，
当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x+lnx，，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）max＝f（1）＝﹣1．
（2）∵，x∈（0，e]，∴，
①若，则f'（x）≥0，f（x）在（0，e]上是增函数，
∴f（x）max＝f（e）＝ae+1≥0，不合题意；
②若，则由，即，
由，即，
从而f（x）在上为增函数，在上为减函数，
∴，
令，则，
∴，即a＝﹣e2，
∵，
∴a＝﹣e2为所求．3.3　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
【再现型题组】 基础知识回顾练
下列判断正确的是
①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的充要条件
②函数的极小值一定小于函数的极大值
③函数的极大值一定不是函数的最小值．
④函数的极小值点为
⑤若函数在区间D上单调，则一定在D上存在最值
⑥函数的函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
2、已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上有且仅有2个极值点
C．在区间上有且仅有3个零点
D．在区间上存在极大值点
3、（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的最大值为
4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
【巩固型题组】 核心考点重点练
1.函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(　 )
A．0,1，－1 B. C．－ D.，－
【变式1】（多选）已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定有两个极值点 D．的单调递增区间是
【变式2】若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．
【变式3】若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.C. D.
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为1
C．的最小值为1 D．的最小值为1
【提高型题组】 能力提升拓展练
1.已知函数f(x)＝ln x＋－1，k∈R.判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．
2.设函数.
（1）若，求函数的递减区间；
（2）当时，记函数，求函数在区间上的最小值．
【变式】已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx+1在（0，1]上的最大值为3，则实数a＝　　．
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1.（多选）如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　)
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
2.函数在区间上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
3.(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　)
A．－1 B．－ C. D．1
4.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　)
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
6.已知函数为f（x）＝ax+lnx，其中a为常数．
（1）当a＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为﹣3，求a的值．

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