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第六讲 体积问题 2
入门测 2
知识清单 4
题型一：直接找高求体积 4
题型二：换底找高 10
题型三：割补法 14
出门测 21
课后作业 23
第六讲 体积问题
入门测
1.如图,正六边形的边长为,为中心,为的中点.现将四边形沿折起到四边形的位置,使得平面平面,如图.
（Ⅰ）证明:平面;
（Ⅱ）求几何体的体积;
（Ⅲ）在直线上是否存在点,使得平面？如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.（平行）
33.（Ⅰ）证明:图（1）中
图（2）中,
又面面,面面,
面.
面,
又为的中点,且,又,
四边形为菱形
面.
（Ⅱ）图二中,过作,垂足为
为的高,
（Ⅲ）过作交的延长线于点
又
四边形为矩形
知识清单
几何体 公式 代表量
柱体 柱体的底面面积为，高为
锥体 锥体的底面面积为，高为
题型一：直接找高求体积
方法说明：直接根据题目要求，做出相应底面的高，直接求解
典型例题
1. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，,平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，,求四棱锥的体积.
1.解：
（I）因为，
所以
又，，
所以
因为，
所以……………………10分
（II）因为是平行四边形对角线交点，所以为中点
又，，可求得
因为，所以
所以……………………14分
2. 如图,四边形为菱形,,平面,,,为中点．;（做高直接求）
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:;
（Ⅲ）若为线段上的点,当三棱锥的体积为时,求的值．
21.（Ⅰ）设,交于,连接,,即得,
又,
,
为平行四边形
又∵平面,平面
∴平面
（Ⅱ）∵平面,平面
∴
又∵为菱形
∴
又∵,平面
∴平面
又∵平面
∴
（Ⅲ）过作交于
∵平面
∴平面
∴
∵
∴
即得
3. 如图,四棱锥中,且平面为棱的中点. ;（做高直接求、底面积最值问题）
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）当四面体的体积最大时,判断直线与直线是否垂直,并说明理由.
24.（Ⅰ）取的中点,记为,连接
点、分别为、的中点
且
又且
且
四边形为平行四边形
又面,面
面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,
面且面
又
在中,为的中点
又
面
又面
面面
（Ⅲ）当最大时,
,高
又
当时,取最大值
即当时,取最大值
面
面
又面
又,
并且面,面
面
又面
题型二：换底找高
方法说明：题目让求某个几何体体积时，很多时候给的顶点所对应面不好找高，这个时候我们可以通过确定新的底面来找高，直到找到能使用的高为止.
1. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,点是对角线与的交点,,,是的中点.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）当三棱锥的体积等于时,求的长.（换底找高）
13.（1）证明：因为四边形是菱形，且对角线相交于点
为的中点
又为的中点
又平面，平面
平面
（2）证明：平面，平面
四边形是菱形
又,，平面
平面
又平面
平面平面
（3），，
平面，且三棱锥的体积等于
有，解得
2.. 在四边形中,,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.（换底找高）
（Ⅰ）求证:
（Ⅱ）试问当为何值时,平面？证明你的结论;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
17.（1）由已知得，四边形是等腰梯形，且腰为
又因为，所以有
在中，由勾股定理可得，即
因为四边形是矩形，所以
又因为平面平面，平面平面
所以平面，又因为平面
所以
又因为，,平面
所以平面
又因为平面
所以
（2）当，即时，平面
设与交点为，连接
由第一问可知，，又因为，四边形是矩形
所以四边形是平行四边形
所以
又因为平面，平面
所以平面
（3）由第一问可知，梯形中，以为底边，高为，
所以的面积为
又因为为棱锥的高且
所以棱锥的体积
（注：此题排除底面为菱形的可能）
3. 如图,直三棱柱 的侧棱长为1,,是的中点..（换底找高）
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
35.（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱,
∴底面,
又∵在底面内,
∴,
又∵是的中点,
∴,
又∵,
∴平面.
（Ⅱ）连结交于点,连结.
∵点是矩形对角线的交点,
∴是的中点,
又∵是的中点
∴是的一条中位线,,
又∵平面,
∴平面.
（Ⅲ）∵,又由（Ⅰ）知,平面,
∴为三棱锥的高,
又∵,是的中点,
∴,
又∵,
∴.
题型三：割补法
方法说明：在直接求某几何体体积不太好求时，我们可以把这个几何体拆分成为几个不同的几何体进行求解，目的是能找到可以求体积的几何体.
1. 如图，在四棱锥中,底面为菱形，平面，点在棱上.（割补法）
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
9.解：（Ⅰ）因为平面，所以,
因为底面是菱形，所以，
因为，
所以平面.
（Ⅱ）在中过点作，交于点，
因为平面，所以平面.
由是菱形可知，
假设存在点满足，即，则
，
所以在中，，
所以...
2. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点．（割补法）
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：EF∥平面BB1C1C；
（Ⅲ）写出四棱锥A1-BB1C1C的体积.（只写出结论，不需要说明理由）
11.
证明：
（Ⅰ）因为在△AA1C中，AA1=A1C，D为AC中点，
所以A1D⊥AC；--------------------2分
因为侧面AA1C1C底面ABC，--------------------3分
侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，--------------------4分
所以A1D⊥平面ABC；--------------------5分
（Ⅱ）设B1C1的中点为G，连结FG，GB，--------------------6分
在四边形FGBE中FG∥A1B1，且FG=A1B1，又因为EB∥A1B1，且EB=A1B1，
所以FG与EB平行且相等，所以四边形FGBE为平行四边形；
所以EF∥BG，--------------------8分
又因为BG在平面BB1C1C内，EF不在平面BB1C1C内，--------------------10分
所以EF∥平面BB1C1C.--------------------11分
（III）四棱锥A1-BB1C1C的体积为.---------
4. 已知在△ABC中，∠B=90o，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥（如图）.
（Ⅰ）求证：DE⊥平面；
（Ⅱ）设平面平面，求证：AB∥l；
（Ⅲ）若，，，F为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？
5.
证明：（Ⅰ）∵∠B=90o，D，E分别为BC，AC的中点
∴DE∥AB……………1分
∴，……………3分
又∵……………4分
∴DE⊥平面……………5分
（Ⅱ）∵DE∥AB，面，面，
∴AB∥面，……………7分
又∵AB面，面面……………9分
∴AB∥……………10分
（Ⅲ）∵，，，
∴⊥平面BDE．
∵∴……………11分
又因为BD=3，AB=2，，
∴
……………13分
解得．……………14分
4. 如图,四边形是正方形,平面平面,.（割补法（难））
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
34.（Ⅰ）因为正方形ABCD,所以.
又因为平面ABEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,平面ABEF,
所以平面ABCD.
又因为平面ABCD.
故AC.又因为,
所以平面.
（Ⅱ）取DE的中点G,连结OG,FG,
因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD的中点.
则OG//BE,且.
由已知AF//BE,且,则且,
所以四边形AOGF为平行四边形,所以AO//FG,
即AC//FG.
因为平面,平面DEF,
所以AC//平面DEF.
（Ⅲ）因为平面平面,四边形是正方形,
平面ABEF平面ABCD=AB,
所以.
由（Ⅰ）知,平面ABCD,平面
所以
所以平面BEF.
所以.
出门测
1. 已知如图，四棱锥中，平面，//，，，分别为线段，的中点.（割补法）
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明）
12.证明：（Ⅰ）因为//，，
为线段的中点，
所以//且，
所以四边形为平行四边形，
……………………2分
所以//，……………………3分
又有平面，平面，
所以//平面．……………………5分
（Ⅱ）因为，分别为线段，中点，所以//，……………………6分
又因为平面，平面，
所以，；
所以，……………………8分
又//，所以……………………9分
因为，
所以平面．……………………11分
（III）结论：．……………………14分
课后作业
1. 已知长方形中,,为的中点,将沿折起到,得到四棱锥,如图所示.
（Ⅰ）当平面平面时,求四棱锥的体积;（做高直接求）
19.【解析】
（Ⅰ）因为平面平面，
在中，作于，
因为平面平面，
所以平面.
在中，计算可得
所以.
2. 如图,四棱锥中,是以为斜边的等腰直角三角形,,
,,.;（做高直接求）
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求四棱锥的体积.
22.
（Ⅰ）取的中点,连接
,为的中点
四边形为平行四边形
由题
平面
平面
（Ⅱ）在等腰直角三角形中,为的中点
又平面,为四棱锥的高目录
第六讲 体积问题 2
入门测 2
知识清单 4
题型一：直接找高求体积 4
题型二：换底找高 10
题型三：割补法 14
出门测 21
课后作业 23
第六讲 体积问题
入门测
1.如图,正六边形的边长为,为中心,为的中点.现将四边形沿折起到四边形的位置,使得平面平面,如图.
（Ⅰ）证明:平面;
（Ⅱ）求几何体的体积;
（Ⅲ）在直线上是否存在点,使得平面？如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.（平行）
知识清单
几何体 公式 代表量
柱体 柱体的底面面积为，高为
锥体 锥体的底面面积为，高为
题型一：直接找高求体积
方法说明：直接根据题目要求，做出相应底面的高，直接求解
典型例题
1. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，,平面.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，,求四棱锥的体积.
2. 如图,四边形为菱形,,平面,,,为中点．;
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:;
（Ⅲ）若为线段上的点,当三棱锥的体积为时,求的值．
3. 如图,四棱锥中,且平面为棱的中点. ;
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）当四面体的体积最大时,判断直线与直线是否垂直,并说明理由.
题型二：换底找高
方法说明：题目让求某个几何体体积时，很多时候给的顶点所对应面不好找高，这个时候我们可以通过确定新的底面来找高，直到找到能使用的高为止.
1. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,点是对角线与的交点,,,是的中点.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）当三棱锥的体积等于时,求的长.
2.. 在四边形中,,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
（Ⅰ）求证:
（Ⅱ）试问当为何值时,平面？证明你的结论;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
3. 如图,直三棱柱 的侧棱长为1,,是的中点..
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
题型三：割补法
方法说明：在直接求某几何体体积不太好求时，我们可以把这个几何体拆分成为几个不同的几何体进行求解，目的是能找到可以求体积的几何体.
1. 如图，在四棱锥中,底面为菱形，平面，点在棱上.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）是否存在点，使得四面体的体积等于四面体的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
2. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，点D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点．
（Ⅰ）求证：A1D⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：EF∥平面BB1C1C；
（Ⅲ）写出四棱锥A1-BB1C1C的体积.（只写出结论，不需要说明理由）
4. 已知在△ABC中，∠B=90o，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥（如图）.
（Ⅰ）求证：DE⊥平面；
（Ⅱ）设平面平面，求证：AB∥l；
（Ⅲ）若，，，F为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？
5.
4. 如图,四边形是正方形,平面平面,.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
出门测
1. 已知如图，四棱锥中，平面，//，，，分别为线段，的中点.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明）
课后作业
1. 已知长方形中,,为的中点,将沿折起到,得到四棱锥,如图所示.
（Ⅰ）当平面平面时,求四棱锥的体积;
2. 如图,四棱锥中,是以为斜边的等腰直角三角形,,
,,.;
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求四棱锥的体积.

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