资源简介

目录
第十二讲 动点问题 1
题型一：线面，线中有动点 2
典型例题 2
题型二：线面，面中有动点 6
典型例题 6
题型三：线面（或线），线中有动点 10
典型例题 10
题型四：线面，面中有动点 14
典型例题 14
题型五： 面面，面中有动点 18
典型例题 18
出门测 22
课后作业 24
第十二讲 动点问题
1. 已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若∥，，则∥ （D）若∥，∥，则∥
2. 给出下列命题：
①如果，那么内所有直线都垂直于
②如果，那么
③若，则
④若，则
其中正确命题的序号是____________.
3. 在四面体中，棱长为4，是的中点，点在线段上运动，（点不与重合），过点做直线, 与平面交于点.给出下列命题，其中正确的是_________
①
②点一定在直线上
③
4. 已知平面，且，在上有两点线段，线段，则线段的长为_____.
题型一：线面，线中有动点
方法说明：由面面平行推线面平行
典型例题
1. 如图所示,在四棱锥中,平面⊥平面,,,.
（Ⅰ）求证:⊥平面;
（Ⅱ）求证:⊥;
（Ⅲ）若点在棱上,且平面,求的值.
2. 如图,已知菱形的对角线交于点,点为的中点,将三角形沿线段折起到的位置,如图所示.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）在线段上是否分别存在点,使得平面平面 若存在,请指出点的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
题型二：线面，面中有动点
方法说明：找面中的线，证线线平行，推线面平行
典型例题
1. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在平面内是否存在，使得直线平面，请说明理由.
2 如图1，平行四边形中，，，现将△沿折起，得到三棱锥(如图2)，且，点为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
题型三：线面（或线），线中有动点
方法说明：找面的垂线，证线线平行；假设线面，则线面中任意一条直线
典型例题
1.在四棱锥中,,,,,
为正三角形,且平面平面.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）求四棱锥的体积;
（Ⅲ）是否存在线段（端点除外）上一点,使得,若存在,指出的位置,若不存在,请说明理由.
2 如图,在三棱柱中，底面,,,.
分别为和的中点，为侧棱上的动点.
（Ⅰ）求证:平面平面;
（Ⅱ）若为线段的中点,求证:平面;
（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,请说明理由.
题型四：线面，面中有动点
方法说明：假设线面，确定动点，再证线线
典型例题
1. 如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,点分别为线段上的点,且.
（Ⅰ）求证:平面平面;
（Ⅱ）求证:当点不与点重合时,平面;
（Ⅲ）当,求点到直线距离的最小值.
2. 如图,在周长为8的矩形中,分别为,的中点,将矩形沿着线段折起,使得,设为上一点,且满足平面.
（Ⅰ）求证:⊥;
（Ⅱ）求证:为线段的中点;
（Ⅲ）求线段长度的最小值.
题型五： 面面，面中有动点
方法说明：找线面，通过平行线之间的转化
典型例题
1. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．
2. 如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,分别为的中点.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）求证:平面;
（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使得平面平面？说明理由.
出门测
1. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，求的值；
（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．
课后作业
1. 在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．
2. 如图,在四棱锥中,平面,
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）设点为的中点,在棱上是否存在点,使得平面 说明理由.目录
第十二讲 动点问题 1
题型一：线面，线中有动点 2
典型例题 2
题型二：线面，面中有动点 6
典型例题 6
题型三：线面（或线），线中有动点 10
典型例题 10
题型四：线面，面中有动点 14
典型例题 14
题型五： 面面，面中有动点 18
典型例题 18
出门测 22
课后作业 24
第十二讲 动点问题
1. 已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若∥，，则∥ （D）若∥，∥，则∥
【答案】A
2. 给出下列命题：
①如果，那么内所有直线都垂直于
②如果，那么
③若，则
④若，则
其中正确命题的序号是____________.
【答案】②③
3. 在四面体中，棱长为4，是的中点，点在线段上运动，（点不与重合），过点做直线, 与平面交于点.给出下列命题，其中正确的是_________
①
②点一定在直线上
③
【答案】①②
4. 已知平面，且，在上有两点线段，线段，则线段的长为_____.
【答案】13
思路总结：
①动点常为中点或三等分点
②通过平行或垂直转化
③复杂情况，立体图形平面化
题型一：线面，线中有动点
方法说明：由面面平行推线面平行
典型例题
1. 如图所示,在四棱锥中,平面⊥平面,,,.
（Ⅰ）求证:⊥平面;
（Ⅱ）求证:⊥;
（Ⅲ）若点在棱上,且平面,求的值.
23.（Ⅰ）证明:因为,所以⊥
因为平面⊥平面
且平面平面
所以⊥平面
（Ⅱ）证明:由已知得⊥
因为
所以⊥
又因为
所以⊥
因为
所以⊥平面
所以⊥
（Ⅲ）解:过作交于,连接
因为
所以
所以,,,四点共面
又因为平面
且平面
且平面平面
所以
所以四边形为平行四边形
所以
在中,因为
所以
即
2. 如图,已知菱形的对角线交于点,点为的中点,将三角形沿线段折起到的位置,如图所示.
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）在线段上是否分别存在点,使得平面平面 若存在,请指出点的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
30.（Ⅰ）证明:折叠前,因为四边形为菱形,所以;
所以折叠后,,
又平面,
所以平面
（Ⅱ）因为四边形为菱形,
所以.
又点为的中点,
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又由（Ⅰ）得,平面,
所以平面.
因为平面,
所以平面平面.
（Ⅲ）存在满足条件的点,且分别是和的中点.
如图,分别取和的中点.
连接.
因为四边形为平行四边形,
所以.
所以四边形为平行四边形.
所以.
在中,分别为中点,
所以.
又平面,平面,
所以平面平面.
题型二：线面，面中有动点
方法说明：找面中的线，证线线平行，推线面平行
典型例题
1. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在平面内是否存在，使得直线平面，请说明理由.
4.
证明：（Ⅰ）因为平面平面，
平面平面，
又因为，
所以平面.
则.…………………5分
（Ⅱ）由已知，BCED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，
又，，所以四边形BCDE是正方形，
连接，所以，
又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，则.
由（Ⅰ）知平面，
所以，
又因为，
则平面，
且平面，
所以平面平面.
…………………10分
则平面，
且平面，
所以平面平面.
…………………10分
（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BC＝ED.
所以四边形BCDE是平行四边形，所以，即，
又平面，平面，
所以平面.
6. 如图1，平行四边形中，，，现将△沿折起，得到三棱锥(如图2)，且，点为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.（平行）
6.解：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，有，又因为为侧棱的中点，
所以；
又因为，，且，所以平面.
又因为平面，所以；
因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．……………………5分
（Ⅱ）解：因为，平面，所以是三棱锥的高，
故，
又因为，,，所以，
所以有……………………9分
（Ⅲ）解：取中点，连接并延长至点，使，连接，，.
因为，所以射线是角的角分线.
又因为点是的中点，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面.
因为、互相平分，
故四边形为平行四边形，有∥.
又因为，所以有，
又因为，故.……………………14分
题型三：线面（或线），线中有动点
方法说明：找面的垂线，证线线平行；假设线面，则线面中任意一条直线
典型例题
1.在四棱锥中,,,,,
为正三角形,且平面平面.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）求四棱锥的体积;
（Ⅲ）是否存在线段（端点除外）上一点,使得,若存在,指出的位置,若不存在,请说明理由.（垂直）
25.（Ⅰ）因为,
所以
又因为
所以四边形是平行四边形,所以
又因为,,所以
（Ⅱ）取的中点,连接
因为为正三角形,平分,所以
又因为平面平面,
所以,且
则四棱锥的体积为:
（Ⅲ）不存在,理由如下:
假设在线段上除两点外存在点使得
由（Ⅱ）知,为线段的中点
连接,可知线段在平面上的投影为线段
在线段上任取除两点外的点,在上作点的投影点,连接、和
因为,,,,
所以
因为,所以
由（1）得:四边形是平行四边形,又因为
所以四边形是菱形
则
又知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
故与矛盾
则假设不成立,故在线段上除两点不外存在点使得
2 如图,在三棱柱中，底面,,,.
分别为和的中点，为侧棱上的动点.（垂直）
（Ⅰ）求证:平面平面;
（Ⅱ）若为线段的中点,求证:平面;
（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,请说明理由.
16.证明：
（Ⅰ）由已知，为中点，且，所以．
又因为，且底面，所以底面．
因为底面，所以，
又，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．……………………5分
（Ⅱ）
取中点，连结，，，.
由于，分别为，的中点，
所以,且.
则四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
由于，分别为，的中点，
所以.
又，分别为，的中点，
所以.
则.
又平面，平面，
所以平面.
由于,所以平面平面.
由于平面，
所以平面.……………10分
（III）假设与平面垂直，
由平面，
则．
设，．
当时，，
所以∽，所以．
由已知，
所以，得．
由于，
因此直线与平面不能垂直．…………………………………………14分
题型四：线面，面中有动点
方法说明：假设线面，确定动点，再证线线
典型例题
1. 如图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,点分别为线段上的点,且.
（Ⅰ）求证:平面平面;
（Ⅱ）求证:当点不与点重合时,平面;
（Ⅲ）当,求点到直线距离的最小值.（线面垂直，难）
15.【解析】
（Ⅰ）因为平面，所以
因为四边形为正方形，所以
因为
所以
因为
所以平面平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以
在中，，
所以
又因为
所以//平面
（Ⅲ）当时，点到直线距离取最小值
因为,,
所以,是点到直线距离取最小值（垂线最短）
在中，,
其中
所以
2. 如图,在周长为8的矩形中,分别为,的中点,将矩形沿着线段折起,使得,设为上一点,且满足平面.（垂直）
（Ⅰ）求证:⊥;
（Ⅱ）求证:为线段的中点;
（Ⅲ）求线段长度的最小值.
18.【解析】
（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形中，分别为的中点，
所以，
又因为，
所以平面.
又因为平面
所以.
（II）证明：因为在折起前的矩形中，分别为的中点，
所以在立体图中，，
即在立体图中，四边形为平行四边形.
连接，设，则
又因为平面，平面,平面平面,
所以,
所以在中，为中位线，
即为线段的中点.
（II）解：因为为线段的中点，,
所以为等边三角形，且，
又因为,,
所以平面，
设的中点为,连接，
易得四边形为平行四边形，
所以平面，
所以，
设，由题意得，，
所以
所以当时，，
所以线段长度的最小值为.
题型五： 面面，面中有动点
方法说明：找线面，通过平行线之间的转化
典型例题
1. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．（垂直）
8.（2016-2017 西城二模文18）
解：（Ⅰ）因为为矩形，所以．[1分]
又因为，[2分]
所以平面．[3分]
所以．[4分]
（Ⅱ）因为为矩形，所以，[5分]
所以平面．[7分]
又因为平面平面，
所以．[8分]
（Ⅲ）平面与平面可以垂直．证明如下：[9分]
连接．因为，，
所以平面．[10分]
所以．
因为，所以．[11分]
因为平面平面，
若使平面平面，
则平面，所以．[12分]
在梯形中，因为，，，，
所以．
所以若使能成立，则为的中点．
所以．[14分]
2. 如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,分别为的中点.
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）求证:平面;
（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使得平面平面？说明理由.（垂直）
28.（Ⅰ）在三棱柱中，
因为侧棱垂直于底面，
所以平面．
所以．
因为，，
所以平面．
因为平面，
所以．
（Ⅱ）取中点，连结，．
则∥，且，
又因为∥，且，
所以∥，且．
所以四边形为平行四边形．
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面．
（Ⅲ）在棱上存在点，且为的中点．
连接．
在正方形中，
因为为中点，
所以△≌△．
所以．
所以．
由（Ⅰ）可得平面，
因为//，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
出门测
4. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，．过点的平面与棱分别交于点（三点均不在棱的端点处）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面，求的值；
（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论．
2.解：（Ⅰ）因为平面，
所以．[1分]
因为为正方形，
所以，[2分]
所以平面．[3分]
所以平面平面．[4分]
（Ⅱ）连接．[5分]
因为平面，
所以．[7分]
又因为，
所以是的中点．[8分]
所以．[9分]
（Ⅲ）与平面不可能平行．[10分]
证明如下：
假设平面，
因为，平面．
所以平面．[12分]
而平面，
所以平面平面，这显然矛盾！[13分]
所以假设不成立，
即与平面不可能平行．[14分]
课后作业
3. 在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．（垂直）
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．
10.解：（Ⅰ）在三棱柱中，，
且平面，平面，
所以平面.………………4分
（Ⅱ）因为底面，，
所以，，则平面.
即平面.
所以.………9分
（Ⅲ）因为在侧面中，，，是棱的中点，
所以.则.
因为平面，所以.
所以平面.
又平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作于，所以平面.
则.
所以在线段上存在点，使得.…………14分
3. 如图,在四棱锥中,平面,
（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）求证:平面平面;
（Ⅲ）设点为的中点,在棱上是否存在点,使得平面 说明理由.
【解析】
（Ⅰ）因为平面
所以
又因为
所以平面
（Ⅱ）因为
所以
因为平面
所以
所以平面
所以平面平面
（Ⅲ）棱上存在点,使得平面.证明如下:
取中点,连结.
又因为为的中点,
所以.
又因为平面,
所以平面.

展开更多......

收起↑