资源简介

目录
第三讲 空间的平行关系 2
入门测 2
题型一：空间中的平行关系 3
知识清单 3
知识1：空间中的平行 3
知识2：两平面平行的性质定理 4
知识3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系 4
典型例题 5
考点一：线面平行的证明 5
考点二、线线平行的证明 8
考点三、面面平行的证明 9
方法总结： 12
题型三：异面直线与异面直线所成角 13
知识清单 13
典型例题 13
方法总结： 13
出门测 14
课后练习 17
第三讲 空间的平行关系
入门测
1. ★正四面体有几个面
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
【答案】B
2. ★在空间中，下列说法正确的是
（A）一个点运动一定形成直线
（B）直线平行移动形成平面或曲面
（C）直线绕定点运动形成曲面
（D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
【答案】B
3. ★直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成
（A）平面 （B）曲面 （C）直线 （D）锥面
【答案】D
4 一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ）
（A）
（B）16
（C）
（D）
【答案】C
题型一：空间中的平行关系
知识清单
知识1：空间中的平行
定义 图形 判定定理 性质定理 符号语言
线线平行 同一平面内无公共点的两条直线平行 平面几何、立体几何中有关的判定定理 空间中平行于同一直线的两直线平行
线面平行 若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行 判定 性质
面面平行 若两个平面无公共点，则称这两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 判定性质
知识2：两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理1 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且
性质定理2 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 且
知识3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系
由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）。
典型例题
考点一：线面平行的证明
【例1】在棱柱中，分别是棱的中点．求证：平面．
答案：两个方向：
在面CBEF上找（平行四边形），通过线线平行证明线面平行
过HG做面，通过面面平行证明线面平行
【练1】如图，在四棱锥中，所有侧棱长与底面边长均相等，为的中点.
求证：∥平面
答案：证明：（I）连接交于点，易知点为底面正方形的中心，
点为对角线的中点，
而为棱的中点，
故在中，为中位线
于是有
又平面，平面
由线面平行的判定定理可得：平面
【练2】如图在正方体中，是棱的中点.
证明：平面；
答案：(I)证明：连接AC交BD于O,连接OE,因为ABCD是正方形，所以O为AC的中点，因为E是棱的中点，所以，又因为, ,所以,.
【例2】★在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点，求证：平面．
答案：分析：要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．
证明：方法一 取PD中点E，连接AE，N E．
∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，
∴MA∥CD，MA＝CD．∵E是PD的中点，∴NE∥CD，NE＝CD．
∴MA∥NE，且MA＝NE，
∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
方法二 取CD中点F，连接MF，NF．
∵MF∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．
【练1】如图，四棱锥的底面为正方形，底面,.分
别为底边和侧棱的中点.
求证：平面;
答案:（1）证明：如图所示，取线段的中点，连接、
由题意易知：为的中位线，故有且
而，且，
于是可得：线段与平行且相等
从而四边形为平行四边形，得
而，
故由线面平行的判定定理可得：
【练2】如图，矩形所在的平面，分别是的中点.
求证：；
答案：证明（1）取为中点，
考点二、线线平行的证明
【例1】如图，正方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.
求证：
答案：，面，面.
面.
面，即面
面面
.
【例2】如图，在五面体中，四边形为菱形，且，对角线与相交于；平面，
求证：
答案：因为四边形为菱形
所以∥，且面，面
所以∥面且面面
所以∥.
【例3】★★
四棱锥，，，，平面，.
设平面平面，求证：；
考点三、面面平行的证明
【例1】★★(2013-2014北大附检测)
如图，为所在平面外一点，分别为的重心．求证：平面平面
答案：要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：
连结PF、FH、PH有MN‖PF，又PF 平面ACD，∴MN‖平面ACD。
同理：MG‖平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG‖平面ACD
【例2】已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面；
答案：由已知可得，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；
又 分别是的中点，
，
平面，平面，
平面；
平面，平面，
平面∥平面 .
【例3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，△是正三角形，平面平面，和分别是和的中点.在上是否存在点，使得平面平面，若存在求出点位置，并证明，若不存在，说明理由.
答案：存在点为的中点，使得平面∥平面.
证明：因为分别是的中点，所以∥.
因为平面，平面 ，所以∥平面 .
同理可得∥平面.
因为，所以平面∥平面.
【例4】如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.若线段上的点满足平面平面，试确定点的位置，并说明理由.
答案：面//面，面面，面面，
//，
在中是棱的中点，
是线段的中点.
方法总结：
方法1：利用线面平行的性质定理解题
（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤
（2）如果已知条件中给了线面平行或隐含线面平行，那么解决过程中，一事实上会用到线面平行的性质定理。在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行。
方法2：应用平面与平面平行的性质定理解题
题型三：异面直线与异面直线所成角
知识清单
求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”．
注意：异面直线所成角的范围是
典型例题
【例1】如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①与平行;②与是异面直线;③与成角;④与垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案：③④
【例2】如图24，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于__________．
【答案】
【例3如图，正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线与所成角的正切值______________．
【答案】
方法总结：
求异面直线所成角的常用方法——平移法：
一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移．
出门测
1. 如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面.设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由.
答案：四点不共面. 理由如下：
因为分别是的中点，
所以∥.
同理可证：∥.
因为平面，平面，，平面，平面，
所以平面∥平面.
因为平面，
所以平面，即四点不共面.
2. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是
（A）与成角
（B）与成角
（C）与成角
（D）与成角
【答案】C
3. 如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，，又.
求证：直线平面；
【答案】
（I）由AB∥CD，DE∥AF，且AB∩AF=A，CD∩DE=D，可证平面ABF∥平面DCE即可证明CE∥平面ABF．
4. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。
求证：平面；
答案：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP。
课后练习
1. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是的中点.
求证：平面
答案：因为底面是菱形，
所以.
又因为平面，
所以平面.
2. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.
求证：平面
答案：取中点，连结
因为是中点，所以.
又是中点，,所以，
四边形是平行四边形.所以.
因为平面，平面
所以 平面
3. 如图，四边形为矩形，平面，，为上的点.
求证：平面；
【答案】
∵四边形ABCD是矩形
∴AD//CB
∵AD垂直平面ABE
∴CB垂直平面ABE
∴CB垂直AE
∵角ABE=90度
∴BE垂直AE
∵CB和BE交于点B，CB垂直AE，BE垂直AE
∴AE垂直平面BCE
∵F为CE上的一点，即有BF属于平面BCE
∴AE垂直BF
∵BF垂直CE，CE和AE交于点E
∴BF垂直平面ACE
∴BF垂直AC
4. 如图，四棱锥的底面为菱形，是的中点
求证:平面
【答案】
(Ⅰ)证明：设AC交BD于点O,连结OQ.(1分)
因为 底面ABCD为菱形，
所以 O为AC中点。
因为 Q是PA的中点，
所以 OQ∥PC.(4分)
因为 OQ 平面BDQ，PC 平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ.(5分)
5.如图，长方体中，，，为的中点，点， 分别为棱，的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
【答案】
(Ⅰ)∵M,N分别为棱DD1,A1D1的中点,∴MN∥A1D，
∵A1D 平面A1DE,MN 平面A1DE,∴MN∥平面A1CD.
∵E是BC中点,N是A1D1的中点,∴A1N=CE,A1N∥CE，
∴四边形A1ECN是平行四边形,∴CN∥A1E，
∵A1E 平面A1DE,CN 平面A1DE,∴CN∥平面A1CD，
又∵MN∩CN=N，MN 平面MCN，CN 平面MCN，
∴平面CMN∥平面A1DE.目录
第三讲 空间的平行关系 2
入门测 2
题型一：空间中的平行关系 3
知识清单 3
知识1：空间中的平行 3
知识2：两平面平行的性质定理 4
知识3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系 4
典型例题 5
考点一：线面平行的证明 5
考点二、线线平行的证明 8
考点三、面面平行的证明 9
方法总结： 12
题型三：异面直线与异面直线所成角 13
知识清单 13
典型例题 13
方法总结： 13
出门测 14
课后练习 17
第三讲 空间的平行关系
入门测
1. ★正四面体有几个面
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
2. ★在空间中，下列说法正确的是
（A）一个点运动一定形成直线
（B）直线平行移动形成平面或曲面
（C）直线绕定点运动形成曲面
（D）矩形上各点沿同一方向移动形成长方体
3. ★直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成
（A）平面 （B）曲面 （C）直线 （D）锥面
4 一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ）
（A）
（B）16
（C）
（D）
题型一：空间中的平行关系
知识清单
知识1：空间中的平行
定义 图形 判定定理 性质定理 符号语言
线线平行 同一平面内无公共点的两条直线平行 平面几何、立体几何中有关的判定定理 空间中平行于同一直线的两直线平行
线面平行 若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行 判定 性质
面面平行 若两个平面无公共点，则称这两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 判定性质
知识2：两平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理1 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 且
性质定理2 如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 且
知识3：线线平行、线面平行、面面平行间的关系
由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往可以一题多解（证）。
典型例题
考点一：线面平行的证明
【例1】在棱柱中，分别是棱的中点．求证：平面．
【练1】如图，在四棱锥中，所有侧棱长与底面边长均相等，为的中点.
求证：∥平面
【练2】如图在正方体中，是棱的中点.
证明：平面；
【例2】★在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点，求证：平面．
【练1】如图，四棱锥的底面为正方形，底面,.分
别为底边和侧棱的中点.
求证：平面;
【练2】如图，矩形所在的平面，分别是的中点.
求证：；
考点二、线线平行的证明
【例1】如图，正方形的边长为，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.
求证：
【例2】如图，在五面体中，四边形为菱形，且，对角线与相交于；平面，
求证：
【例3】★★
四棱锥，，，，平面，.
设平面平面，求证：；
考点三、面面平行的证明
【例1】★★(2013-2014北大附检测)
如图，为所在平面外一点，分别为的重心．求证：平面平面
【例2】已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.求证：平面平面；
【例3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，△是正三角形，平面平面，和分别是和的中点.在上是否存在点，使得平面平面，若存在求出点位置，并证明，若不存在，说明理由.
【例4】如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱的中点.若线段上的点满足平面平面，试确定点的位置，并说明理由.
方法总结：
方法1：利用线面平行的性质定理解题
（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤
（2）如果已知条件中给了线面平行或隐含线面平行，那么解决过程中，一事实上会用到线面平行的性质定理。在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行。
方法2：应用平面与平面平行的性质定理解题
题型三：异面直线与异面直线所成角
知识清单
求两条异面直线所成的角：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”．
注意：异面直线所成角的范围是
典型例题
【例1】如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①与平行;②与是异面直线;③与成角;④与垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【例2】如图24，正方体中，异面直线与所成角的正弦值等于__________．
【例3如图，正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线与所成角的正切值______________．
方法总结：
求异面直线所成角的常用方法——平移法：
一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移．
出门测
1. 如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面.设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由.
2. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是
（A）与成角
（B）与成角
（C）与成角
（D）与成角
3. 如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，，又.
求证：直线平面；
4. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。
求证：平面；
课后练习
1. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是的中点.
求证：平面
2. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点.
求证：平面
3. 如图，四边形为矩形，平面，，为上的点.
求证：平面；
4. 如图，四棱锥的底面为菱形，是的中点
求证:平面
5.如图，长方体中，，，为的中点，点， 分别为棱，的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；

展开更多......

收起↑