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第四讲 空间中的垂直关系 2
入门测 2
题型：空间中的垂直关系 5
知识清单 5
典型例题 6
考点一：线面垂直 6
考点二：线线垂直 9
考点三：面面垂直 12
方法总结： 17
出门测 18
课后练习 21
第四讲 空间中的垂直关系
入门测
1． 判断正误
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
(2)两个平面，有一个公共点，就说相交于点，记作
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×
2． 设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．
【答案】③④
3. 如图所示，在正方体中，分别是的中点．
求证：(1)四点共面；
(2)三线共点．
【答案】证明：(1)如图，连接分别是的中点，又四点共面．
(2)
与必相交，设交点为则由平面
得平面
同理平面
又平面平面
直线三线共点．
4. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点.
（I）证明：平面；
【答案】
5. 在斜三棱柱中，侧面平面，，为中点.
（I）求证：平面；
【答案】
6. 如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
【答案】
题型：空间中的垂直关系
知识清单
文字语言 符号语言 图形语言
线面垂直的判定定理： 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.
面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
典型例题
考点一：线面垂直
【例1】如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，，又.
求证：直线平面
【答案】
解: (II) 因为为正方形，所以
因为直线平面，
所以，
因为,
所以直线平面.
【例2】如图，四边形与均为菱形，，且．
求证：平面.
【答案】
证明：设与相交于点，连结．
因为 四边形为菱形，所以，
且为中点．又 ，所以．因为，
所以平面．
【例3】如图，在底面是正三角形的三棱锥中，为的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
【答案】
解：（Ⅰ）∵ ，，
∴
∵ 底面是正三角形
∴
∵
∴
∵
平面
∴ 平面．
【例4】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面⊥平面，．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
【答案】
【例5】如图所示，在正方体中．求证：．
答案：正方体的体对角线和任意一条与他不想交的面对角线垂直。
【例6】如图，直三棱柱中，，是棱的中点，
证明：
答案：在中，
得：
同理：
得：面
【练1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且．
（Ⅰ）求证：平面；
【答案】
（Ⅰ）证明：在正方形中，.
因为，，
所以 平面．
因为 平面，
所以 ．
同理，．
因为 ，
所以 平面．
【练2】如图，在三棱锥中，平面平面，，，，,是中点，，分别为，的中点．
求证：平面；
考点二：线线垂直
【例1】如图，已知⊙所在的平面，AB是⊙的直径，，是⊙上一点，且，分别为中点。
求证：；
【答案】
【例2】已知三棱锥中，, ，求证：．
答案：
【例3】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，∠BAC=90°，，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
【答案】
【例4】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
【练1】如图，在三棱锥中，，，°,平面平面，分别为中点.
求证：.
【答案】
连结PD， PA=PB， PD AB．
，BC AB，
DE AB． 又 ，
AB平面PDE． PE平面PDE， ABPE ．
【练2】★★在如图的多面体中，，,，，，，，是的中点．
求证：；
证明：∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面.
过作交于，则平面.
∵平面， ∴.
∵，∴四边形平行四边形，
∴，
∴，又，
∴四边形为正方形，
∴，
又平面，平面,
∴⊥平面.
∵平面,
∴.
考点三：面面垂直
【例1】★★在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，且
求证：平面平面；
答案：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC 平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
【例2】★★如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于、的任意一点：求证：平面⊥平面．
【答案】因为⊥平面，且平面，所以．
又△中，是圆的直径，所以．
又，所以⊥平面．
又平面，平面⊥平面.
【例3】如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，是的中点
求证：平面⊥平面
【答案】，
，
又，
【例4】已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.又，且，点分别为的中点.求证：
【答案】因为在正三角形中，为中点，
所以
又平面平面，且平面平面，
所以平面，所以
在中，
所以，所以，
即，又
所以平面，所以
【例5】在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，分别是棱的中点．
求证：平面.
【答案】证明：连结BD，
因为 △SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD 平面ABCD=AD，
SE平面，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因为 底面ABCD为菱形，
E，Q分别是棱AD，AB的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SEEQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ．
【练1】★如图，菱形的边长为，,.将菱形
沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【答案】
【练2】如图，在四棱锥中，，平面, 平面，，，.求证：平面平面.
证明：因为 平面，平面，
所以.
又因为，,
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
【练3】如图，已知四棱锥的底面是矩形，分别是的中点，，，．
求证：；
解析：过N做面ABNQ ，（Q在SD上） 证明
方法总结：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的.在关于垂直问题的论证中，要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线.如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法.
线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用：勾股定理证明线线垂直；等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角为直角；菱形对角线垂直平分；正方形、矩形临边垂直；正方形中点连线垂直；直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面等。
证不共面的两直线垂直通常先构造线面垂直，再利用线面垂直性质得到线线垂直.
出门测
如图，在三棱锥中，，，°,平面平面，分别为中点.
求证：.
【答案】
连结PD， PA=PB， PD AB．
，BC AB，
DE AB． 又 ，
AB平面PDE． PE平面PDE， ABPE ．
在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，且，求证：平面平面；
【答案】
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，证明：
【答案】
课后练习
1. ）已知三条直线，三个平面，下面说法正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
2. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，
，且．
（Ⅰ）求证：平面；
【答案】
（Ⅰ）证明：在正方形中，.
因为，，所以 平面．
因为 平面，所以 ．
同理，．
因为 ，所以 平面．
如图，在四棱锥中，，且.
证明：平面平面；
如图1，在△中，，，分别为边的中点，点分别为线段的中点．将△沿折起到的位置，使．点为线段上的一点，如图2．
（Ⅰ）求证：；
【答案】
如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,
,是的中点,作交于点.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）证明平面；
【答案】
如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；目录
第四讲 空间中的垂直关系 2
入门测 2
题型：空间中的垂直关系 5
知识清单 5
典型例题 6
考点一：线面垂直 6
考点二：线线垂直 9
考点三：面面垂直 12
方法总结： 17
出门测 18
课后练习 21
第四讲 空间中的垂直关系
入门测
1． 判断正误
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分
(2)两个平面，有一个公共点，就说相交于点，记作
(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
2． 设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．
3. 如图所示，在正方体中，分别是的中点．
求证：(1)四点共面；
(2)三线共点．
4. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点.
（I）证明：平面；
5. 在斜三棱柱中，侧面平面，，为中点.
（I）求证：平面；
6. 如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
题型：空间中的垂直关系
知识清单
文字语言 符号语言 图形语言
线面垂直的判定定理： 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
线面垂直的性质： 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.
面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
典型例题
考点一：线面垂直
【例1】如图所示的几何体中，直线平面，且为正方形，为梯形，，又.
求证：直线平面
【例2】如图，四边形与均为菱形，，且．
求证：平面.
【例3】如图，在底面是正三角形的三棱锥中，为的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
【例4】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面⊥平面，．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
【例5】如图所示，在正方体中．求证：．
【例6】如图，直三棱柱中，，是棱的中点，
证明：
【练1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，
，且．
（Ⅰ）求证：平面；
【练2】如图，在三棱锥中，平面平面，，，，,是中点，，分别为，的中点．
求证：平面；
考点二：线线垂直
【例1】如图，已知⊙所在的平面，AB是⊙的直径，，是⊙上一点，且，分别为中点。
求证：；
【例2】已知三棱锥中，, ，求证：．
【例3】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，
∠BAC=90°，，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
【例4】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．
（Ⅰ）求证：；
【练1】如图，在三棱锥中，，，°,
平面平面，分别为中点.
求证：.
【练2】★★在如图的多面体中，，,，，，，，是的中点．
求证：；
考点三：面面垂直
【例1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，且
求证：平面平面；
【例2】如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于、的任意一点：求证：平面⊥平面．
【例3】如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，是的中点
求证：平面⊥平面
【例4】已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.又，且，点分别为的中点.求证：
【例5】在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，分别是棱的中点．
求证：平面.
【练1】★如图，菱形的边长为，,.将菱形
沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【练2】如图，在四棱锥中，，平面, 平面
，，，.求证：平面平面.
【练3】如图，已知四棱锥的底面是矩形，分别是的中点，，，．
求证：；
方法总结：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的.在关于垂直问题的论证中，要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线.如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法.
线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用：勾股定理证明线线垂直；等腰三角形三线合一；直径所对的圆周角为直角；菱形对角线垂直平分；正方形、矩形临边垂直；正方形中点连线垂直；直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面等。
证不共面的两直线垂直通常先构造线面垂直，再利用线面垂直性质得到线线垂直.
出门测
如图，在三棱锥中，，，°,平面平面，分别为中点.
求证：.
在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，且，求证：平面平面；
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，证明：
课后练习
1. ）已知三条直线，三个平面，下面说法正确的是
A． B．
C． D．
2. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，
，且．
（Ⅰ）求证：平面；
如图，在四棱锥中，，且.
证明：平面平面；
如图1，在△中，，，分别为边的中点，点分别为线段的中点．将△沿折起到的位置，使．点为线段上的一点，如图2．
（Ⅰ）求证：；
如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,
,是的中点,作交于点.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）证明平面；
如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；

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