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第二讲 空间中点线面位置关系 2
知识清单 2
知识1：平面 2
知识2：平面的三个公理 2
知识3：点、线、面的位置关系 3
知识4：平行公理和空间等角定理及图形的平移 4
典型例题 5
【点共线】 5
方法总结： 8
出门测 11
课后练习 11
第二讲 空间中点线面位置关系
知识清单
知识1：平面
（1）定义：平面内有无数个点，平面可以看成是空间点的集合。几何里平面是无限延展的。
（2）画法
①通常把水平的平面画成锐角，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示。
②如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2所示。
（3）表示法
①平面通常用一个希腊字母表示，如：平面、平面、平面等。
②用代表平面的平行四边表的四个顶点表示，如：平面（如图1）。
③用相对顶点的两个大英文字母来表示，如：平面或平面（如图2）。
知识2：平面的三个公理
公理1 公理2 公理3
自然语言 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形语言
符号语言 三点不共线有且只有一个平面，使 且
主要应用 （1）检验平面；（2）判定直线是否在平面内；（3）点是否在平面内 （1）确定平面；（2）可用其证明点、线共面问题 （1）它是判定两个不重合的平面是否相交的依据，只要两个不重合的平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；（2）它可以判定点在直线上，即点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上
知识3：点、线、面的位置关系
（1）点、线、面位置关系的符号语言与数学语言
符号语言表示 数学语言表示
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
直线在平面内（或平面过直线）
直线、相交于点
平面、相交于直线
（2）空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 在同一平面内 有且只有一个交点
平行 在同一平面内 没有交点
异面 不同在任何一个平面内 没有交点
（3）直线和平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点个数 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示
图形表示
我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作。
（4）两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
符号表示
图形表示
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线。
知识4：平行公理和空间等角定理及图形的平移
（1）平行公理：平行于同一直线的两条直线平行。（空间平行线的传递性）
（2）空间等角定理与图形的平移
①等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
②空间图形的平移：
如果空间的图形的所有点都沿同一方向移动相同的距离到的位置，那么我们就说图形在空间作了一次平移。
温馨提示 （1）空间等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理，它是平面几何中的等角定理在空间中的推广。 （2）空间等角定理解决了角在空间中经过平移后大小是否改变的问题，为两条异面直线所成的角及后面的二面角的平面的定义提供了理论依据，保证了其大小的唯一性。 （3）在空间中若两个角的对应边分别平行，则这两个角相等或者互补。 （4）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （5）等角定理是证明不共面的角相等的方法之一。
典型例题
【点共线】
【例1】已知在平面外，，，，如图所示．求证：三点共线．
答案：证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q，直线CB交平面α于点P，直线AC交平面α于点R，则P、Q、R三点都在平面α内，
又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，
所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，
而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线。
【例2】如图所示，，，与分别在平面的两侧，
，.求证：三点共线．
答案：证明：因为P在AB上，所以P在平面ABC上
因为P在CD上，所以P在平面BCD上
连接BC，PC在平面ABC上，PB在平面BCD上
所以平面ABC和平面BCD共面
所以平面ADBC与平面a交于直线QPR,
所以P,Q,R共线
【线共点】
【例1】在四面体中，分别为的中点，在上，在上，且
有，求证：交于一点．
答案：连结，，得，
又，，
故，，，四点共面，又与相交，
设交点为，平面，平面，
在两平面的交线上，即，
，，交于一点．
【例2】如图所示，在正方体中，E为的中点，为的中点．求证：三线交于一点．
答案：延长DA到P，使AP=DA。
CE,DA都在平面AC上，易知交于点P,
D1F,DA都在平面AD1上，易知也交于点P,
所以，CE,D1F,DA三条直线交于一点。
【点共面】
【例1】如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是
答案：D
【例2】正方体中，分别是
的中点，求证：这六点共面．
答案：连结AC，容易证明EH平行于FG，所以四点共面。
同理，EHMN四点共面。
【例3】如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，
，，分别为的中点．
(Ⅰ)求证：四边形是平行四边形；
(Ⅱ)四点是否共面？为什么？
答案：(Ⅰ)由题设知，FG=GA,FH=HD.所以GH ，
又BC ,故GH BC.
所以四边形BCHG是平行四边形.
(Ⅱ)C、D、F、E四点共面.理由如下：
由BE ,G是FA的中点知，BE GF，所以EF∥BG.
由(Ⅰ)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.又点D在直线FH上.
所以C、D、F、E四点共面.
方法总结：
1、点线共面证明问题：结论是几个点或几条直线在同一个平面内的问题.
主要依据 常用方法 操作方法
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（公理1）； （2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2），及其推论. （1）先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内，这种方法通常称为落入法； （2）经有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.这种方法称为重合法； （3）反证法. 证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点），确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内； (2)证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.
2、点共线、线共点的证明问题：
问题剖析 主要依据 操作方法
点共线问题：证明三个或是三个以上的点在同一个直线上； 线共点问题：证明三条或是三条以上的直线交于一点 如果两个平面有一个公共点，那么他们有且仅有一条直线经过这个点的公共直线（公理3）；. 对于这个基本性质的进一步理解下面三点： 如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线； 如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上. （1）证明多点共线: 通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上; 根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上. （2）证明三点共线: 可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上. 可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证明这两点重合，从而得三点共线.
出门测
1. 如图所示，请你用符号表示以下各叙述：
（1）点在直线上:______________；
（2）直线在平面内: ______________，点在平面内: ______________；
（3）点不在平面内: ______________；直线不在平面内: ______________.
答案：
2. 正方体中，分别是的中点，那么，正方体
的过的截面图形是
（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形
答案：D
3. 如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面.设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由.
答案：四点不共面. 理由如下：
课后练习
1. 下列说法正确的是
（A）四边形是平面图形
（B）有三个公共点的两个平面必重合
（C）两两相交的三条直线必在同一个平面内
（D）三角形是平面图形
答案：D
2. 下列四种叙述：
①空间四点共面,则其中必有三点共线；
②空间四点不共面,则其中任何三点不共线；
③空间四点中有三点共线,则此四点必共面；
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确说法的序号是
（A）②③④ （B）②③ （C）①②③ （D）①③
答案：B
3. 下面判断中正确的是
（A）任意三点确定一个平面
（B）两条垂直的直线确定一个平面
（C）一条直线和任一点确定一个平面
（D）与一条直线相交的三条平行直线共面
答案：D
4. 下列叙述：①一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这个平面内;②一条直线上有两个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内;③若线段平面,则线段延长线上的任何一个点必在平面内;④一条射线上有两点在同一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平面内.其中正确的有________________________.
答案：②③④
5. 三条直线两两平行,它们能确定____________个平面.
答案：1个或3
6. 如图是一桌子放倒时的示意图，现有足够长的绳子，如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内？方法画在图上，判断的重要依据是什么？
答案：判断四条腿的底端是否在同一平面内，即判断四点是否共面，可依据确定平面的条件，且要具有可操作性.
操作方法：用两根绳子沿四条腿的对角底端拉直，若绳子相交，则说明四点共面，否则不共面.原理是：两相交直线确定一个平面.
7. 如图,在正方体中, 是的中点,对角线与过的平面交于点,求证：在同一直线上.
答案：证明：连结AC、A1C1.
∵O是BD的中点，
∴O是AC的中点，且O∈AC.
∴O∈平面ACC1A1.
∵P∈AC1，∴P∈平面ACC1A1.
∴A1、P、O都在平面ACC1A1内.
又∵A1、P、O都在平面A1BD内，
∴A1、P、O都在平面ACC1A1与面A1BD的交线上，即A1、P、O三点共线.
8. 如图所示，已知A、B、C是平面α外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点.求证：P、Q、R三点共线.
答案：证明：∵AB∩α=P，AB面ABC，
∴P∈面ABC，P∈α.
∴P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证：Q、R也在平面ABC与α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
9. 如图，，梯形的两底分别为，且，求
证： 与的交点在上.
答案：证明：因为梯形是平面图形，它的两腰AB与CD不平行，故只能相交，假设交点为M，则M∈AB，又ABα，则M∈α，同理，M∈β，则M∈(α∩β)，即M∈l.因此AB与CD的交点在l上.
10. 已知是两条异面直线，，那么与的位置关系____________________
【答案】相交或异面目录
第二讲 空间中点线面位置关系 2
知识清单 2
知识1：平面 2
知识2：平面的三个公理 2
知识3：点、线、面的位置关系 3
知识4：平行公理和空间等角定理及图形的平移 4
典型例题 5
【点共线】 5
方法总结： 8
出门测 11
课后练习 11
第二讲 空间中点线面位置关系
知识清单
知识1：平面
（1）定义：平面内有无数个点，平面可以看成是空间点的集合。几何里平面是无限延展的。
（2）画法
①通常把水平的平面画成锐角，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形，如图1所示。
②如果一个平面被另一个平面挡住，则被遮挡的部分用虚线画出来，如图2所示。
（3）表示法
①平面通常用一个希腊字母表示，如：平面、平面、平面等。
②用代表平面的平行四边表的四个顶点表示，如：平面（如图1）。
③用相对顶点的两个大英文字母来表示，如：平面或平面（如图2）。
知识2：平面的三个公理
公理1 公理2 公理3
自然语言 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形语言
符号语言 三点不共线有且只有一个平面，使 且
主要应用 （1）检验平面；（2）判定直线是否在平面内；（3）点是否在平面内 （1）确定平面；（2）可用其证明点、线共面问题 （1）它是判定两个不重合的平面是否相交的依据，只要两个不重合的平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；（2）它可以判定点在直线上，即点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上
知识3：点、线、面的位置关系
（1）点、线、面位置关系的符号语言与数学语言
符号语言表示 数学语言表示
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
直线在平面内（或平面过直线）
直线、相交于点
平面、相交于直线
（2）空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 在同一平面内 有且只有一个交点
平行 在同一平面内 没有交点
异面 不同在任何一个平面内 没有交点
（3）直线和平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点个数 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
符号表示
图形表示
我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作。
（4）两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
符号表示
图形表示
①两个平面平行——没有公共点；
②两个平面相交——有一条公共直线。
知识4：平行公理和空间等角定理及图形的平移
（1）平行公理：平行于同一直线的两条直线平行。（空间平行线的传递性）
（2）空间等角定理与图形的平移
①等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
②空间图形的平移：
如果空间的图形的所有点都沿同一方向移动相同的距离到的位置，那么我们就说图形在空间作了一次平移。
温馨提示 （1）空间等角定理是用于证明空间两个角相等的判定定理，它是平面几何中的等角定理在空间中的推广。 （2）空间等角定理解决了角在空间中经过平移后大小是否改变的问题，为两条异面直线所成的角及后面的二面角的平面的定义提供了理论依据，保证了其大小的唯一性。 （3）在空间中若两个角的对应边分别平行，则这两个角相等或者互补。 （4）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 （5）等角定理是证明不共面的角相等的方法之一。
典型例题
【点共线】
【例1】已知在平面外，，，，如图所示．求证：三点共线．
【例2】如图所示，，，与分别在平面的两侧，
，.求证：三点共线．
【线共点】
【例1】在四面体中，分别为的中点，在上，在上，且
有，求证：交于一点．
【例2】如图所示，在正方体中，E为的中点，为的中点．求证：三线交于一点．
【点共面】
【例1】如图是正方体或四面体，分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是
【例2】正方体中，分别是
的中点，求证：这六点共面．
【例3】如图，平面平面，四边形与四边形都是直角梯形，
，，分别为的中点．
(Ⅰ)求证：四边形是平行四边形；
(Ⅱ)四点是否共面？为什么？
方法总结：
1、点线共面证明问题：结论是几个点或几条直线在同一个平面内的问题.
主要依据 常用方法 操作方法
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（公理1）； （2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2），及其推论. （1）先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内，这种方法通常称为落入法； （2）经有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.这种方法称为重合法； （3）反证法. 证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点），确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内； (2)证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.
2、点共线、线共点的证明问题：
问题剖析 主要依据 操作方法
点共线问题：证明三个或是三个以上的点在同一个直线上； 线共点问题：证明三条或是三条以上的直线交于一点 如果两个平面有一个公共点，那么他们有且仅有一条直线经过这个点的公共直线（公理3）；. 对于这个基本性质的进一步理解下面三点： 如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线； 如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上. （1）证明多点共线: 通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上; 根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据公理2就得到这些点在两个平面的交线上. （2）证明三点共线: 可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上. 可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证明这两点重合，从而得三点共线.
出门测
1. 如图所示，请你用符号表示以下各叙述：
（1）点在直线上:______________；
（2）直线在平面内: ______________，点在平面内: ______________；
（3）点不在平面内: ______________；直线不在平面内: ______________.
2. 正方体中，分别是的中点，那么，正方体
的过的截面图形是
（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形
3. 如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面.设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由.
课后练习
1. 下列说法正确的是
（A）四边形是平面图形
（B）有三个公共点的两个平面必重合
（C）两两相交的三条直线必在同一个平面内
（D）三角形是平面图形
2. 下列四种叙述：
①空间四点共面,则其中必有三点共线；
②空间四点不共面,则其中任何三点不共线；
③空间四点中有三点共线,则此四点必共面；
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确说法的序号是
（A）②③④ （B）②③ （C）①②③ （D）①③
3. 下面判断中正确的是
（A）任意三点确定一个平面
（B）两条垂直的直线确定一个平面
（C）一条直线和任一点确定一个平面
（D）与一条直线相交的三条平行直线共面
4. 下列叙述：①一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这个平面内;②一条直线上有两个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内;③若线段平面,则线段延长线上的任何一个点必在平面内;④一条射线上有两点在同一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平面内.其中正确的有________________________.
5. 三条直线两两平行,它们能确定____________个平面.
6. 如图是一桌子放倒时的示意图，现有足够长的绳子，如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内？方法画在图上，判断的重要依据是什么？
7. 如图,在正方体中, 是的中点,对角线与过的平面交于点,求证：在同一直线上.
8. 如图所示，已知A、B、C是平面α外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点.求证：P、Q、R三点共线.
9. 如图，，梯形的两底分别为，且，求
证： 与的交点在上.
10. 已知是两条异面直线，，那么与的位置关系____________________

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