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2023届高考专题强化：数列创新题
（共24题）
一、选择题（共15题）
数列 ，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：．记该数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
已知各项均不为零的数列 ，定义向量 ，，．下列命题中真命题是
A．若任意 总有 成立，则数列 是等比数列
B．若任意 总有 成立，则数列 是等比数列
C．若任意 总有 成立，则数列 是等差数列
D．若任意 总有 成立，则数列 是等差数列
已知函数 且 ，则 等于
A． B． C． D．
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，，，．该数列的特点是：前两个数都是 ，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”，则 等于
A． B． C． D．
对于数列 有 ，且行列式 ，下列选项中不可能的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
数列 各项均为实数，对任意 满足 ，且行列式 为定值，则下列选项中不可能的是 ．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
在数列 中，对任意 ，都有 （ 为常数），则称 为“等差比数列”．下列对“等差比数列”的判断：
① 不可能为 ；
②等差数列一定是等差比数列；
③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为 的数列一定是等差比数列．
其中正确的判断为
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
已知从 开始的连续偶数构成如图所示的数表，将该数表中位于第 行、第 列的数记为 ，如 ，，若 ，则
A． B． C． D．
已知数列 的通项为 ，我们把使乘积 为整数的 叫做“优数”，则在 内所有“优数”的和为
A． B． C． D．
在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题． 年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在 的整数中，把被 除余数为 ，被 除余数也为 的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，则数列 的项数为
A． B． C． D．
数列 ， 用图象表示如下，记数列 的前 项和为 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积．设：数列甲：，，， 为递增数列，且 （）；数列乙：，，，， 满足 （）．则在甲、乙的所有内积中
A．当且仅当 ，，，， 时，存在 个不同的整数，它们同为奇数
B．当且仅当 ，，，， 时，存在 个不同的整数，它们同为偶数
C．不存在 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
D．存在 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
函数 ，．若存在 ，使得 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
已知数列 是公差不为零的等差数列，函数 是定义在 上的单调递增的奇函数，数列 的前 项和为 ，对于命题：
①若数列 为递增数列，则对一切 ，；
②若对一切 ，，则数列 为递增数列；
③若存在 ，使得 ，则存在 ，使得 ；
④若存在 ，使得 ，则存在 ，使得 ；
其中正确命题的个数为
A． B． C． D．
如果数列 ，，， 同时满足以下四个条件：
（）；
（）点 在函数 的图象上；
（）向量 与 互相平行；
（） 与 的等差中项为 ．
那么，这样的数列 ，，， 的个数为
A． B． C． D．
二、填空题（共5题）
已知数列 满足 ，，且 ，若函数 ，记 ，则数列 的前 项和为 ．
设数列 是首项为 的递增数列，函数 ， 满足：对于任意的实数 ， 总有两个不同的根，则 的通项公式是 ．
用 表示自然数 的所有因数中最大的那个奇数，例如： 的因数有 ，，，， 的因数有 ，，，，，那么 ．
定义城为集合 上的函数 满足：
；；，， 成等比数列．这样的不同函数 的个数为 ．
已知数列 中，，，，记 ，若 ，则 ， ．
三、解答题（共4题）
甲，乙两大超市同时开业，第一年的年销售额均为 万元，由于经营方式不同，甲超市前 年的总销售额为 万元，乙超市第 年的销售额比前一年销售额多 万元．
(1) 求甲，乙两超市第 年销售额的表达式；
(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 ，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
定义：对于任意 ， 仍为数列 中的项，则称数列 为“回归数列”．
(1) 已知 （），判断数列 是否为“回归数列”，并说明理由．
(2) 若数列 为“回归数列”，，，且对于任意 ，均有 成立，求数列 的通项公式．
已知有限数列 共 项 ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列 的各项和记为 ．
(1) 若 ，直接写出 ， 的值．
(2) 若 ，求 的最大值．
(3) 若 ，，求 的最小值．
在数列 中，若 （，， 为常数），则称 为“平方等差数列”．
(1) 若数列 是“平方等差数列”，，，写出 ， 的值．
(2) 如果一个公比为 的等比数列为“平方等差数列”，求证：．
(3) 若一个“平方等差数列” 满足 ，，，设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，，使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由．
答案
一、选择题（共15题）
1. 【答案】D
【解析】因为
所以 ．
2. 【答案】D
【解析】因为向量 ，，；
所以当 ，，即 ；
所以
所以数列 为等差数列，所以D正确，B错误；
当 时，，即 ；
所以
所以数列 既不是等差数列，也不是等比数列，所以A，C错误．
3. 【答案】B
【解析】由题意，
4. 【答案】C
【解析】由题意得 ，，，，
所以当 为偶数时，；
当 为奇数时，，
所以 ．
5. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以
同理 ，即
② ①，，
因此， 或 ，
当 时，数列 为常数列，D正确；
当 时，，且 ，
于是 ， 是方程 的两个根，
由 ，得 ，经检验选项A，C符合．
6. 【答案】B
7. 【答案】D
【解析】① 不可能为 ，否则数列 是常数数列，，等差比数列的定义不成立，
所以①正确．
②只有当等差数列的公差不为 时是等差比数列，
所以②不正确．可知选D．
事实上，对于③，当且仅当等比数列的公比 时，命题成立．对于④，．
8. 【答案】A
【解析】前 行共有 个数，
因为 ，
所以从 开始算起， 是第 个偶数，
当 时，前 行共有 个偶数，
故第 个偶数在第 行，第 列，
故 ．
9. 【答案】C
【解析】因为 ，
所以
要使 为整数，则 ， 内满足条件的所有正整数分别为 ，，，，所有“优数”的和为 ．
10. 【答案】A
11. 【答案】B
【解析】由图 ，，， 均为正数，所以 ，排除A；又 ，则 ，排除C；由 得 ，排除D．
12. 【答案】D
【解析】由题意可得，内积为 ，因为 ，，，， 为递增数列，（），
当 ，，，， 满足 （），所以内积有 个整数，
当 ，，，， 时，有 种不相同的内积，故有 个不同的整数，它们同为奇数；
当 ，，，， 时，有 个不同整数，它们同为偶数，
故A，B，C错误，所以选D．
13. 【答案】C
【解析】因为 ，
，
所以 ，
所以 ，
当 ， 时，，
所以 ，又因为 ，所以 ．
14. 【答案】C
【解析】①取 ，，则 ，故①错；
②对一切 ，，则 ，又因为 是 上的单调递增函数，所以 ，若 递减，
设 ，，
且 ，
且 ，
所以 ，，，，
则 ，，，，
则 ，与题设矛盾，
所以 递增，故②正确；
③取 ，则 ，，令 ，
所以 ，但是 ，故③错误；
④因为 ，
所以 ，
所以 ，，，，
则 ，，，，
则 ，
则存在 ，使得 ，故④正确．
故选：C．
15. 【答案】B
二、填空题（共5题）
16. 【答案】
【解析】由已知可得，数列 为等差数列，，
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即数列 的前 项和为 ．
17. 【答案】
【解析】由题意，因为 ，当 时，，，
又因为对任意的实数 ， 总有两个不同的根，
所以 ，
所以 ，，，
又 ，，
对任意的实数 ， 总有两个不同的根，
所以 ，
又 ，，
对任意的实数 ， 总有两个不同的根，
所以 ，
由此可得 ，
所以 ，
所以 ．
18. 【答案】
【解析】根据 的定义易知，
当 为偶数时，；当 为奇数时，，
令 ，则
即 ，分别取 为 ，，，，并累加得，
，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
令 得 ．
19. 【答案】
【解析】由题意，，每次函数值的变化只能是 或 ，
所以 ，，，，，，
因为 ，， 成等比数列，
所以 ，
所以 只能为完全平方数 ，此时 ，
，，，
其中 的 步中有 步 ， 步 ， 的 步都只能 ，
所以 （种），
，，，
其中 的 步中有 步 ， 步 ， 的 步有 步 ， 步 ，
所以 （种），
综上，这样的不同函数 的个数为 ．
20. 【答案】 ；
【解析】因为 ，，，
所以 ，
①当 时，，，，，，，，
当 ， 时，，
，舍去；
当 ， 时，，
，舍去；
当 ， 时，，
，舍去；
当 ， 时，，
，舍去；
②当 时，，，，，，
当 ， 时，，
，
因为 ，
所以 ，，；
当 ， 时，
，舍去，
综上所述，，．
三、解答题（共4题）
21. 【答案】
(1) 设甲，乙两超市第 年的销售额分别为 ，，则有：， 时：．
所以 ，
(2) 易知 ，所以乙超市将被甲超市收购，
由 得：．
所以 ，所以 ．
即第 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
22. 【答案】
(1) 假设 是“回归数列”，则对任意 ，总存在 ，使 成立，即 ，即 ，此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以假设不成立，
所以 不是“回归数列”．
(2) 因为 ，
所以 ，
所以 且 ．
又 为“回归数列”，
所以 ，即 ，
所以数列 为等差数列．
又 ，，
所以 （）．
23. 【答案】
(1) ，．
(2) 的最大值为 ．
①构造数列：，，，，，，，，此时 ．
②当存在连续三项为 ，， 时，本题中有两条边为 ， 的等腰三角形仅有 ，，，与 矛盾，舍．
③当不存在连续三项为 ，， 时，连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下 种可能：
，，；，，；，，；，，；，，；，，．
所以 ．
④由①②③， 的最大值为 ．
(3) 的最小值为 ．
①构造数列：，，，，，，，，，，，，，，，，此时 ．
②设 为数列的每一组连续三项的和的和，则 ．
③连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：
；；；
；；；；
；；；；；
；；；；；
；；；；；
其中画横线的连续三项必为数列的首三项或尾三项，
故其对应的三角形至多出现两个，
④由③，，
，
又由②，，
所以 ．
⑤由①④， 的最小值为 ．
24. 【答案】
(1) 由数列 是“平方等差数列”，，，得 ，
则 ，，
所以 ，．
(2) 设数列 为公比为 的等比数列，则 ，，
若数列 是“平方等差数列”，
则有
所以 ，
即 ．
(3) 因为平方等差数列 中，，，，
则 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和，
，
假设存在正整数 ， 使不等式 对 都成立，
即 ，
当 时，，
所以 ，
又 ， 为正整数，
所以 ．
下面证明： 对一切 都成立，
由于 （），
所以
故存在正整数 ，，使不等式 对一切 都成立．

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