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2023年九年级数学中考专题训练：代数几何综合压轴题
1．如图已知A、两点的坐标分别为，，且满足将线段向右平移到，连接，得四边形且．
(1)则点的坐标为__________，点的坐标为__________；
(2)若点为轴上的一点，且，求点的坐标；
(3)如图，射线从出发，绕点以秒的速度逆时针旋转，同时射线从出发，绕点以秒的速度顺时针旋转，当旋转后两条射线都停止转动．问几秒时，与互相垂直？
2．平面直角坐标系中，正方形的顶点在坐标原点．
(1)如图1，若，直接写出点的坐标______；
(2)如图2，将正方形绕点旋转，过作轴于，为的中点，问：的大小是否发生变化？说明理由；
(3)如图3，，直线交于，交轴于，下列关系式：①；②哪个是正确的？证明你的结论．
3．平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，在坐标轴上，点，是射线上一点，将绕点顺时针旋转，得，是点旋转后的对应点．
(1)如图(1)当时，求点的坐标；
(2)如图(2)，设点，的面积为．求与的函数关系式，并写出当取最小值时，点的坐标；
(3)当时，求点的坐标(直接写出结果即可)．
4．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
5．如图：已知、，且a、b满足．
(1)如图1，求 的面积；
(2)如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转 至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断：线段和线段中，哪条线段长为定值，并求出该定值．
6．定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中；若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．
(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是__________（填序号）
①平行四边形 ②矩形 ③菱形
(2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线相交于点P，，，垂足分别为M、N；
①如图，点C在第一象限，且坐标为，求点P关于的“距离比”k的值；
②若点P为的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．
7．在平面直角坐标系中，已知点A是x轴负半轴上一点，B点是y轴正半轴上一点，将线段绕A点顺时针旋转90°，得到线段，连接交x轴于一点P．
(1)如图1，试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，D为的中点，交于点E，若，求证：；
(3)已知 ，在（2）的条件下，请求出点C的坐标．
8．已知，平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点在y轴正半轴上，且，满足方程组，点．
(1)如图1，求A，B的坐标；
(2)如图2，点在线段上，满足，连接，，设的面积为，试用含的式子表示；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为第三象限内一点，轴于点，，，且．
(1)如图，求点的坐标：
(2)如图，点在轴的负半轴上，点在的垂直平分线上，连接、、，且，连接，求的度数；
(3)如图，在（2）的条件下，点与点关于直线对称，于点，连接，当的面积为时，求点的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．
(1)求点坐标；
(2)如图2，若为正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求的度数；
(3)在（2）条件下求直线的函数关系式；
(4)如图3，过点作轴的垂线交轴于，为轴负半轴上一点，在的延长线上，以为直角边作等腰，过作轴垂线交于点，连，等式是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．
11．已知中，，．
(1)如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
(2)如图2，交x轴于M，交y轴于N若x轴恰好平分，求证：；
(3)如图3，若，点C恰好在x轴上，E为延长线的任一点，F为y轴正半轴上一点，当时，连接交延长线于P，过F作于G，求的长．
12．在平面直角坐标系xOy中，点，，，点D在第四象限，其中，，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)若，且．
①如图1，求四边形的面积；（用含a的式子表示）
②如图2，交y轴于点E，连接，当E关于的对称点K落在x轴上时，求的长．
13．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．
(1)求点C的坐标和b的值；
(2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．
①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；
②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．
14．在平面直角坐标系中，，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点．
(1)如图1，若，求点的坐标；
(2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，其它条件不变，连接，求证：平分；
(3)若点在轴正半轴上运动，当时，求的度数．
15．已知：如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，的三个顶点都在坐标轴上，，，点B坐标为．
(1)求A点的坐标；
(2)点D从点C出发，以2个单位每秒的速度沿轴负方向运动，运动时间为t，连接，用含有t的式子表示的面积；
(3)在（2）的条件下，如图3，点在上，，经过点，，，过点作交轴于点，若，求与的和．
16．如图，已知，轴于，且满足，
(1)求点坐标；
(2)分别以，为边作等边三角形和，如图1，试判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图2，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，过点作，且，连接，射线交延长线于，当点在轴上移动时，线段的值是否发生变化．若不变化，求出的值；若变化，请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)如图1，若，于点，轴交于点，则__；
(2)如图2，若，的平分线交于点，过上一点作，交于点，是的高，探究与的数量关系；
(3)如图3，在（1）的条件下，上点满足，直线交轴于点，求点的坐标．
18．在平面直角坐标系中，已知，，，且，交轴于点．
(1)如图1，若点的横坐标为，求证：．
(2)如图2，若平分，点的坐标为，求点的横坐标．
(3)如图3，若，以为边在的左侧作等边，当时，求的长．
试卷第8页，共9页
试卷第9页，共9页
参考答案：
1．(1)；
(2)或
(3)当9秒或27秒时，与互相垂直
2．(1)
(2)的大小不发生变化
(3)①正确，
3．(1)
(2)，当取最小值时，
(3)
4．(1)
(2)
(3)
5．(1)
(2)，
(3)是定值，定值为
6．(1)③
(2)①；②或
7．(1)，
(3)
8．(1)，
(2)
(3)
9．(1)
(2)
(3)
10．(1)
(2)
(3)
(4)成立，
11．(1)
(3)3
12．(2)①；②．
13．(1)C点坐标为，，
(2)①； ②右侧， ；左侧，
14．(1)
(3)
15．(1)
(2)
(3)
16．(1)
(2)，且，
(3)线段的值不发生变化，，
17．(1)6
(2)，
(3)点
18．(2)-3
(3)2
答案第2页，共3页
答案第3页，共3页

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