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几何法在求空间角中的应用
一、分类突破
类型1 异面直线所成的角
注意：所作角与异面直线所成角的关系：相等还是互补
1、如图,在正三棱柱中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
2.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
3.（河南开封五县2022年期中考试）在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，所在直线与直线A1B互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.（四川省南充市2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题）将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6. 如图,正方体中,分别是所在棱的中点,设经过的平面与平面的交线为,则与直线所成的角为( )

A. B. C. D.
类型2 直线与平面所成的角
注意：寻找直线的射影是解题的关键，往往通过面面垂直的性质，向相互垂直的平面的交线作垂线来确定垂足的位置。
1.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
2.（浙江湖州中学高一质检）如图，已知正四棱锥P–ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱中点，则直线与底面ABCD所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
3.（四川宜宾叙州二中2023年高三期末）已知三棱锥P–ABC的四个顶点都在球O的球面上，平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为，则直线与平面所成角的正切值为
A. B. C. D.
4.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
5.在直四棱柱中,底面为直角梯形,,,,,,,点在该四棱柱表面上运动,且满足平面平面.当线段的长度取到最大值时,直线与底面所成角的正弦值是( )

A. B. C. D.
类型3 二面角
方法点拨：求二面角的常用方法是做出二面角的平面角，要注意利用题设条件给出的垂直关系求解。
1.在四棱锥中,四边形是边长为的正方形,侧面是等边三角形,,则平面与平面的夹角为__________.

2.如图,等边三角形的边长为,,分别为,的中点,沿将折起,使得平面与平面所成的二面角为,则四棱锥的体积为__________.

3、如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60° D．90°
4.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【跟踪训练】
1.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
2.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　)
A．30° B．45°C．60° D．90°
3.（天津市南开区2020-2021学年高一下学期期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（　　）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角
4.（四川蓉城名校联盟2023届高三联考）如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知，，，球O的表面积为，下列说法正确的是（）．
A．
B．平面平面OBC
C．OB与平面ABC所成角的正弦值为
D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为
5.（多选）如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1 BD C的大小为________．
7、平面α过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．
8、（浙江省”共美联盟“2020-2021学年高一下学期期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，平面平面ABCD，且，，，，M，N分别为棱，的中点．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
9.（天津市部分区2021-2022学年高一下学期期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形.已知
（1）证明平面；
（2）求异面直线与所成的角的正切值；
（3）求二面角的正切值.几何法在求空间角中的应用
一、分类突破
类型1 异面直线所成的角
注意：所作角与异面直线所成角的关系：相等还是互补
1、如图,在正三棱柱中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取的中点,连接交于点,连接,

则且,则为异面直线与所成的角或其补角.
易求,,则,
所以.故选:A.
2.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是直角三角形，且，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】如图所示，在棱BC上取点F，使，连接，
因为，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且，
设，可得，，，，
在中，因为，所以，
在直角中，，
在直角中，，
因为D是B1C1的中点，所以，所，
又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成的角，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线AC与DE所成角的余弦值是．
故选：B.
3.（河南开封五县2022年期中考试）在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，所在直线与直线A1B互为异面直线且所成角为60°的面对角线的条数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【详解】如图，易知△A1BC1为等边三角形，所以，又，所以异面直线与的夹角为60°，符合题设.
同理，面对角线，，也满足题意，所以满足条件的面对角线共4条，
故选：B．
4.（四川省南充市2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题）将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】作出过点的圆柱的母线，连接，如图，
则有，而，即有，为正三角形，
，因此，，是异面直线与所成的角，
由平面得，而，从而有，，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：C
5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】C
【解析】如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，
因为是等腰直角三角形，，
设圆锥的底面圆半径，
则，，
则且，
又且，
而且，
所以为异面直线PA与BC所成的角，
在中，因为E为PC的中点，
所以，
所以是正三角形，
即异面直线PA与BC所成的角为.
6. 如图,正方体中,分别是所在棱的中点,设经过的平面与平面的交线为,则与直线所成的角为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,延长交于,连接交于,取的中点,连接与,

由三角形相似知是的中点,连接,
∴即为所求的,由正方体可知,
又∵正方形中,∴,
∴与直线所成的角为,
故选:D.
类型2 直线与平面所成的角
注意：寻找直线的射影是解题的关键，往往通过面面垂直的性质，向相互垂直的平面的交线作垂线来确定垂足的位置。
1.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中, ,.
故选：D
2.（浙江湖州中学高一质检）如图，已知正四棱锥P–ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱中点，则直线与底面ABCD所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】作底面ABCD与于O，连接.因为正四棱锥P–ABCD底面边长为2，故，又侧棱长为4，故.又M为侧棱中点，故M到底面ABCD的距离为.又,由余弦定理有,故直线与底面ABCD所成角的正弦值为
故选：D
3.（四川宜宾叙州二中2023年高三期末）已知三棱锥P–ABC的四个顶点都在球O的球面上，平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为，则直线与平面所成角的正切值为
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解：设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作OD⊥PA，则D为PA的中点，
∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成角．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴OD＝AE，
∵，
∴OP，
∴PA＝2PD＝2．
∴PM．
∴tan∠CPM．
故选：A．
4.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA 平面PAD，
则平面PAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
而平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD．
连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与底面PAD所成角，
设PA＝AB＝AD＝2a，则AE＝a，ED＝，
EC＝．
∴sin．
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为．
故选：A．
5.在直四棱柱中,底面为直角梯形,,,,,,,点在该四棱柱表面上运动,且满足平面平面.当线段的长度取到最大值时,直线与底面所成角的正弦值是( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据几何体特征,四棱柱是直四棱柱,
所以平面,平面,所以,
要满足平面平面,作于,延长交于,交的延长线于,
作交于,连接,如下图所示;

又因为,所以平面,即平面,
而平面,所以平面平面,
又因为点在该四棱柱表面上运动,所以点的轨迹是线段,,;
又因为底面为直角梯形,,,,,,,
所以,即,得,所以;
又,,所以,即为线段,的中点,
,所以,
易知,当线段的长度取到最大值时,点于点重合,
此时,即为直线与底面所成的角,
,,
.
所以,线段的长度取到最大值时,直线与底面所成角的正弦值是.
故选:B.
类型3 二面角
方法点拨：求二面角的常用方法是做出二面角的平面角，要注意利用题设条件给出的垂直关系求解。
1.在四棱锥中,四边形是边长为的正方形,侧面是等边三角形,,则平面与平面的夹角为__________.

【答案】
【解析】分别取的中点,连接,
因为侧面是等边三角形,,四边形是边长为的正方形,
所以,
,
又,平面平面,
所以是平面与平面的平面角,
又,
所以,
所以,
所以平面与平面的夹角为

2.如图,等边三角形的边长为,,分别为,的中点,沿将折起,使得平面与平面所成的二面角为,则四棱锥的体积为__________.

【答案】
【解析】取,的中点分别为,,连接,,,作于点,

为等边三角形,,分别为,的中点,
∴,,平面平面,平面,平面,
∴为平面与平面所成的二面角的平面角,即.
又,,,平面,平面,
∴平面,平面∴平面平面,
平面平面,于点,
∴平面,即为四棱锥的高.
等边三角形的边长为,∴,
∴,,
∴四棱锥的体积为:.
故答案为:.
3、如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60° D．90°
【答案】C
【解析】三棱台中，，且，
则，又，且,
所以平面，所以为的二面角，因为为等边三角形，
所以.故选：C
4.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【解析】连结B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°.
【跟踪训练】
1.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.
2.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　)
A．30° B．45°C．60° D．90°
【解析】取AC的中点D，连结DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝.
在△DCC1中，易得DC1＝，
在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝，
即∠BC1D＝30°. 选A
3.（天津市南开区2020-2021学年高一下学期期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（　　）
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角
【答案】D
【解析】由题意画出如下图形：
A．因为AD∥A1D1，
所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1＝45°，所以A错；
B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；
C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；
D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA中，∠B1CA＝60°，所以D正确．
故选：D．
4.（四川蓉城名校联盟2023届高三联考）如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知，，，球O的表面积为，下列说法正确的是（）．
A．
B．平面平面OBC
C．OB与平面ABC所成角的正弦值为
D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为
【答案】C
【解析】如图，
图一 图二
由已知中，平面ABC（点为AC中点），，
A选项，如图二，，不成立；
B选项，如图二，假设面面垂直，过点C作OB垂线，则该垂线垂直平面OAB，不成立；
C选项，如图一，OB与平面ABC所成角为，得，成立；
D选项，如图二，，不成立．综上，故选C．
5.（多选）如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【答案】ABC
【解析】对于A：因为底面，面，所以，
因为底面是正方形，所以，因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，故A正确；
对于B：因为底面是正方形，所以，因为平面，平面，
由线面平行的判定定理可得平面，故B正确；
对于C：设，连接，因为平面，平面，
所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，，
因为，，且，所以 ，
可得，所以与平面所成的角等于与平面所成的角，故C正确；
对于D：因为，所以即为与所成的角，即为与所成的角，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以，因为，
所以，所以，
所以与所成的角不等于与所成的角，故D不正确；
故选：ABC
6、如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1 BD C的大小为________．
【答案】30°.
【解析】如图，取BD中点O，连结OC，OC1.∵AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝.
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD.∴∠C1OC为二面角C1 BD C的平面角，
∴tan∠C1OC＝＝＝∴∠C1OC＝30°，即二面角C1 BD C的大小为30°.
7、平面α过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．
【答案】
【解析】设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，
∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．
在正方体ABCD A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.
8、（浙江省”共美联盟“2020-2021学年高一下学期期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，平面平面ABCD，且，，，，M，N分别为棱，的中点．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）∵，，
∴，
∵面面，面面，面，
∴面．
∵在中，，分别是，的中点，
∴．
又∵在中，，是的中点，
∴．
∵，面，面，
∴面．
（2）延长至点，使得，
∵，．
∴四边形是平行四边形，∴，
∴面，
∴为所求角．
在中，
∵，，
∴．
9.（天津市部分区2021-2022学年高一下学期期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形.已知
（1）证明平面；
（2）求异面直线与所成的角的正切值；
（3）求二面角的正切值.
【解析】（1）证明：在中，由题设
于是.
在矩形ABCD中，.又，
所以平面.
（2）由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故
所以异面直线与所成的角的正切值为
（3）过点A作于H，连结
由（1）可知平面，又，所以平面，可得
，从而是二面角的平面角.
由题设可得，
所以.
于是，
所以二面角的正切值为.

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