资源简介

第2讲 集合之间的关系
一．知识精讲
知识点一：集合之间的关系
1．子集的定义：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，则称集合是集合的子集，记作（或）,读作集合包含于集合（或集合包含集合）．
2．集合相等：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的一个元素，同时如果集合的任何一个元素都是集合的一个元素，则称．
3．真子集：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的一个元素，同时集合中至少有一个元素不在集合中，则称是的真子集，记作AB（或BA）, 读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）．
4．空集的性质
（1）空集是任何集合的子集；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
知识点二：子集、真子集的个数
1．含个元素的集合的子集个数为；
2．含个元素的集合的真子集个数为；
3．含个元素的集合的非空子集个数为；
4．含个元素的集合的非空真子集个数为．
二．经典例题
题型一：元素与集合、集合与集合之间的关系
【例1】用符号填空
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
【解析】根据元素与集合之间的从属关系，集合与集合之间的包含关系有：（1），
（2），（3），（4），（5）（6）
【变式】1．在以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中错误写法的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】①⑤⑥错，②③④对
2．判断下列各式是否正确，并说明理由：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
（7）．
【答案】（2）（3）（6）（7）正确
3．以下四个关系，，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【例2】（1）设集合,则（ ）
A． B． C． D．的关系不确定
【答案】B
（2）已知,则的关系为（ ）
A． B． C. N M D．
【答案】B．
【解析】比多一个元素1．
【变式】1．,
则三者之间的关系是（ ）
A．M=NP B．MN=P C．MNP D．NPM
【答案】B．
题型二：子集、真子集的个数
【例3】写出集合的所有真子集．
【答案】
．
【变式】1．．满足条件的集合的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C．
【解析】．
2．能满足条件的集合的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C．
【解析】．
3．已知集合满足，求集合的个数．
【解析】，集合是集合的任一非空子集与集合的并集，所以集合的个数为．
结论：设，则有
1．满足的集合的个数是;
2．满足的集合的个数是;
3．满足的集合的个数是;
4．满足A的集合的个数是．
【拓展】若规定的子集为的第个子集，其中 ，则
（1）是的第 子集；
（2）的第个子集是 ______．
【答案】（1）5（2）
【例4】非空集合同时满足：①；②,则．非空集合有（ ）
A．16个 B．15个 C．7个 D．6个
【答案】C
【解析】满足条件的有，，，，，，．
题型三：综合应用
【例5】已知，．求使成立的值．
【解析】,可能为或者或者
当，则;
当时，则;
当时，则．
综上，或或．
【例6】已知,,若,求实数的取值范围．
【解析】，又
当时，方程无解，故即．
当时,
当时, ,不成立
当时, ,不成立
综上，．
【变式】1．集合且M，则实数的范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知有解，
2．设集合, ，若，求的取值范围．
【解析】,
当时，即
当时，
当时， ，不成立
当时，
【答案】或
【例7】已知集合，，且，求的取值范围．
【解析】，当时，即;
当时,
,的取值范围是．
【变式】设集合， ,且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】,
课 后 作 业
一．基础过关
1．在下列各式中错误的个数是（ ）．
①；②；③；④；
⑤；⑥
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．⑤错，⑥正确．
2．设，，则与的关系是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,
3．集合,，定义,则的子集个数为（ ）
A．7 B．12 C．16 D．32
【答案】C
4．已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合有且仅有2个子集，仅有一个元素，即方程仅有一个根．
(1)当时，，符合题意．
(2)当时，由即．
或．
5．已知三个集合，,
，问：同时满足，的实数是否存在？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由．
【解析】由题意，，
或或或
当时，即． 当时，．
当时，，不成立． 当时，，不成立．
综上所述，，．
二．延伸拓展
6．设关于的不等式的解集为，关于的方程的解集为，且．求：（1）集合；（2）实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）实数的取值范围为或
7．已知集合, 且， ，
．是否存在使？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】且，且
若，则得．
故存在满足要求．第2讲 集合之间的关系
一．知识精讲
知识点一：集合之间的关系
1．子集的定义：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，则称集合是集合的子集，记作（或）,读作集合包含于集合（或集合包含集合）．
2．集合相等：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的一个元素，同时如果集合的任何一个元素都是集合的一个元素，则称．
3．真子集：一般地，对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的一个元素，同时集合中至少有一个元素不在集合中，则称是的真子集，记作AB（或BA）, 读作集合真包含于集合（或集合真包含集合）．
4．空集的性质
（1）空集是任何集合的 ；
（2）空集是任何非空集合的 ；
知识点二：子集、真子集的个数
1．含个元素的集合的子集个数为 ；
2．含个元素的集合的真子集个数为 ；
3．含个元素的集合的非空子集个数为 ；
4．含个元素的集合的非空真子集个数为 ．
二．经典例题
题型一：元素与集合、集合与集合之间的关系
【例1】用符号填空
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6）
【变式】1．在以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中错误写法的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．判断下列各式是否正确，并说明理由：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
（7）．
3．以下四个关系，，，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（1）设集合,则（ ）
A． B． C． D．的关系不确定
（2）已知,则的关系为（ ）
A． B． C. N M D．
【变式】1．,
则三者之间的关系是（ ）
A．M=NP B．MN=P C．MNP D．NPM
题型二：子集、真子集的个数
【例3】写出集合的所有真子集．
【变式】1．．满足条件的集合的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．能满足条件的集合的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．已知集合满足，求集合的个数．
【拓展】若规定的子集为的第个子集，其中 ，则
（1）是的第 子集；
（2）的第个子集是 ______．
【例4】非空集合同时满足：①；②,则．非空集合有（ ）
A．16个 B．15个 C．7个 D．6个
题型三：综合应用
【例5】已知，．求使成立的值．
【例6】已知,,若,求实数的取值范围．
【变式】1．集合且M，则实数的范围是
（ ）．
A． B． C． D．
2．设集合, ，若，求的取值范围．
【例7】已知集合，，且，求的取值范围．
【变式】设集合， ,且，则实数的取值范围是 ．
课 后 作 业
一．基础过关
1．在下列各式中错误的个数是（ ）．
①；②；③；④；
⑤；⑥
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设，，则与的关系是（ ）。
A． B． C． D．
3．集合,，定义,则的子集个数为（ ）
A．7 B．12 C．16 D．32
4．已知集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是( )
A．1 B． C． D．
5．已知三个集合，,
，问：同时满足，的实数是否存在？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由．
二．延伸拓展
6．设关于的不等式的解集为，关于的方程的解集为，且．求：（1）集合；（2）实数的取值范围．
7．已知集合, 且， ，
．是否存在使？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

展开更多......

收起↑