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第1讲 集合的概念与表示
一．知识精讲
知识点一：集合的概念
一般地，某些 的对象组合在一起就成为一个集合（set），简称“集”．一般用大括号表示集合，如：我们学校的篮球队．
知识点二：常见集合及其记法
（1）自然数集（非负整数集）：全体非负整数的集合，记作 ．
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记作 ．
（3）有理数集：全体有理数的集合，记作 ．
（4）实数集：全体实数的集合，记作 ．
（5）整数集：全体整数的集合，记作 ．
知识点三：集合与元素的关系
我们把集合中的每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合则用大写的拉丁字母表示．
（1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作
（2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作
注意：与不同：表示一个 ，表示一个 ，该集合只有一个元素．
知识点四：集合中元素的特性
（1）确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个元素都能明确它 某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准，不确定．
（2）互异性：是指给定一个集合的元素中， 都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素．
（3）无序性：是指集合与其中元素的 无关,只要构成这两个集合的元素一样，就称这两个集合相等．
知识点五：集合的分类
（按集合中元素的个数可分为以下几类）
（1）有限集：含有 个元素的集合，如：中国古代的四大发明组成的集合；
（2）无限集：含有 个元素的集合，如:所有自然数组成的集合；
（3）空集： 的集合，用表示，如：方程的解构成的集合．
知识点六：集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．
如：由方程的所有解组成的集合可以表示为．
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法．格式： ．如：所有的直角三角形的集合可以表示为是直角三角形；；．
（3）图示法（维恩图）：用一条封闭曲线的内部表示一个集合的方法．
二．经典例题
题型一：集合的概念
【例1】判断下列对象能否组成集合：
①高一（1）班成绩较好的同学；
②2022年度诺贝尔经济学奖获得者；
③立方接近0的正数；
④2022运动会比赛项目；
题型二：集合中元素的特征
【例2】若，求实数的值．
【变式】集合中的不能取的值有 个．
【例3】已知，且，试求的值．
【变式】已知，若，则________．
题型三：集合的表示方法
【例4】下面三个集合：
①， ②， ③．
问：（1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自的含义是什么？
【变式】设为非零实数，则的所有值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
题型四：集合与元素的关系
【例5】设集合,
（1）试判断元素1和2与集合的关系；
（2）用列举法表示集合．
【变式】设集合,用列举法表示集合．
【例6】若数集满足：若，则．求证：
（1）若，则中另有两个元素；
（2）集合不可能是单元素集；
（3）集合中至少有三个不同的元素．
【变式】已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出中其它所有元素；
（2）0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．
题型五：集合中的新定义问题
【例7】已知，定义集合间的运算且，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【变式】集合由正整数的平方组成，即，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，对下列集合运算封闭的是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
题型六：综合应用
【例8】已知集合，集合，当时，求集合．
【例9】已知集合．
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围．
【例10】集合,
（1）若，问：是否有使成立？
（2）对于任意是否一定有且？证明你的结论．
【拓展】已知集合．是否存在实数，使得集合中所有整数的元素和为28？若存在，求出，若不存在,请说明理由．
课 后 作 业
一．基础过关
1．下列各条件：①充分接近的实数的全体；②大于0小于20的自然数的全体；③实数中不是有理数的所有数；④数轴上到原点的距离大于2的点的全体．其中能确定一个集合的是（ ）
A．① ② ③ B．① ② ④ C．② ③ ④ D．① ③ ④
2．用符号或填空：
6 ．
3．下列各组集合表示同一集合的为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．集合 ．
5．集合，集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．
二．延伸拓展
6．设，则集合中所有元素之和为 ．
7．对任意两个正整数，定义某种运算（用表示运算符号）：当都是正偶数或都是正奇数时，；当中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，则在上述定义下，集合中的元素个数（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24第1讲 集合的概念与表示
一．知识精讲
知识点一：集合的概念
一般地，某些指定的对象组合在一起就成为一个集合（set），简称“集”．一般用大括号表示集合，如：我们学校的篮球队．
知识点二：常见集合及其记法
（1）自然数集（非负整数集）：全体非负整数的集合，记作．
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记作或．
（3）有理数集：全体有理数的集合，记作．
（4）实数集：全体实数的集合，记作．
（5）整数集：全体整数的集合，记作．
知识点三：集合与元素的关系
我们把集合中的每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合则用大写的拉丁字母表示．
（1）属于：如果是集合的元素，就说属于，记作
（2）不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作
注意：与不同：表示一个元素，表示一个集合，该集合只有一个元素．
知识点四：集合中元素的特性
（1）确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个元素都能明确它是或不是某个集合的元素，二者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准，如“高个子同学”，“高个子”便是一个含混不清的概念，具有相对性，没有统一的标准，不确定．
（2）互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素．
（3）无序性：是指集合与其中元素的排列顺序无关,只要构成这两个集合的元素一样，就称这两个集合相等．
知识点五：集合的分类
（按集合中元素的个数可分为以下几类）
（1）有限集：含有有限个元素的集合，如：中国古代的四大发明组成的集合；
（2）无限集：含有无限个元素的集合，如:所有自然数组成的集合；
（3）空集：不含任何元素的集合，用表示，如：方程的解构成的集合．
知识点六：集合的表示方法
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．
如：由方程的所有解组成的集合可以表示为．
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法．格式：．如：所有的直角三角形的集合可以表示为是直角三角形；；．
（3）图示法（维恩图）：用一条封闭曲线的内部表示一个集合的方法．
二．经典例题
题型一：集合的概念
【例1】判断下列对象能否组成集合：
①高一（1）班成绩较好的同学；
②2022年度诺贝尔经济学奖获得者；
③立方接近0的正数；
④2022运动会比赛项目；
【答案】①③对象不能组成集合；②④能组成集合．
题型二：集合中元素的特征
【例2】若，求实数的值．
【解析】，或或．
若，则集合为，符合题意
若，则集合为，不符合元素的互异性，故(舍去)
若，则1或（舍去）集合为，符合题意．
综上知：或．
【变式】集合中的不能取的值有 个．
【解析】根据集合元素的互异性得： ，且即，共5个
【例3】已知，且，试求的值．
【解析】 或
或或（舍去，不满足元素的互异性）
故或
【变式】已知，若，则________．
【解析】由已知得及， ，又根据集合中元素的互异性知应舍去，,故答案为．
题型三：集合的表示方法
【例4】下面三个集合：
①， ②， ③．
问：（1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自的含义是什么？
【解析】（1）不是相同的集合．
（2）集合①是函数的自变量所有允许值组成的集合；
集合②是函数的所有函数值的集合，；
集合③是函数图象上所有点的坐标组成的集合．
【变式】设为非零实数，则的所有值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当全为正数时，;当全为负数时，
当中只有一个为负数时，;当中有两个为负数时，
所组成的集合为．故应选D．
题型四：集合与元素的关系
【例5】设集合,
（1）试判断元素1和2与集合的关系；
（2）用列举法表示集合．
【解析】（1），又
（2）当或时，或，，
【变式】设集合,用列举法表示集合．
【解析】当或时，或，或，
【例6】若数集满足：若，则．求证：
（1）若，则中另有两个元素；
（2）集合不可能是单元素集；
（3）集合中至少有三个不同的元素．
【解析】（1）若，则,即
若，则，即．故另有两个元素．
（2）若集合中仅有一个元素，则，若
即，该方程无解，因此集合不可能是单元素
（3）若，则，且．即，，
，，
故当且时，中至少有三个元素,,．
【变式】已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出中其它所有元素；
（2）0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．
【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中根据已知中若，则 ，将已知条件代入进行递推是解答本题的关键，在（3）的解答中易忽略使三式均有意义时，对的限制，而不能得到满分．
(1)由，则，又由，得,再由
得，而，得，故中元素为．
不是的元素．若，则，而当时，不存在，故0不是的元素．取，可得．
猜想：①中没有元素；②已知中的一个元素可得其余3个，且每两个互为负倒数．③中元素个数为4的倍数．
设，，则
，且．
显然．若，则，得：无实数解．
同理，，，．故四个互不相等的数．
故中的元素个数为4的倍数．
题型五：集合中的新定义问题
【例7】已知，定义集合间的运算且，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C．
【变式】集合由正整数的平方组成，即，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，对下列集合运算封闭的是（ ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】C．
【解析】排除法；；排除A,B,D
若，；故选C．
题型六：综合应用
【例8】已知集合，集合，当时，求集合．
【解析】，只有一个根
即
【例9】已知集合．
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；
（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围．
【解析】（1）若是空集，则方程无解，当时，,不满足要求．
当时，此时即．故的取值范围．
（2）若中只有一个元素，则方程有且只有一个实根．当时，,满足要求，当时，即．故或
（3)若中至多只有一个元素，则为空集，或有且只有一个元素，由（1）、（2）得满足条件的的取值范围是：或．
【例10】集合,
（1）若，问：是否有使成立？
（2）对于任意是否一定有且？证明你的结论．
【解析】（1）由，令
有使成立．
（2）不一定，设 ．
所以当，此时且，满足要求．
当，此时不满足要求．
【拓展】已知集合．是否存在实数，使得集合中所有整数的元素和为28？若存在，求出，若不存在,请说明理由．
【答案】
当时，，不符合要求；
当时，，设，，则
,所以,即
课 后 作 业
一．基础过关
1．下列各条件：①充分接近的实数的全体；②大于0小于20的自然数的全体；③实数中不是有理数的所有数；④数轴上到原点的距离大于2的点的全体．其中能确定一个集合的是（ ）
A．① ② ③ B．① ② ④ C．② ③ ④ D．① ③ ④
【答案】C．
【解析】（1）不是集合，因违背了集合元素的确定性，其余的均为集合，符合集合元素的确定性，互异性，无序性等特征．
2．用符号或填空：
6
【答案】；；．
3．下列各组集合表示同一集合的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】答案A中，集合，和集合均有唯一的一个点，但;
答案C中，; ；
答案D中，集合为直线上除去的点，集合为直线上的所有点
4．集合 ．
【答案】
【解析】,当且仅当,故为．
5．集合，集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】由题意知；．
二．延伸拓展
6．设，则集合中所有元素之和为 ．
【答案】2．
【解析】； =
7．对任意两个正整数，定义某种运算（用表示运算符号）：当都是正偶数或都是正奇数时，；当中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，则在上述定义下，集合中的元素个数（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】C
【解析】当都是正偶数时，有，，，，，，，，共9个．
当都是正奇数时，有，，，，，，，，，共10个．
当中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，有，，，共4个
综上，中共23个元素．

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