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2022-2023学年天津市高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设向量，的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知，则和同向的单位向量是( )
A. B. C. D.
4. 如图，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线中，最长的线段是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，且，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
7. 已知直三棱柱中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )
A.
B.
C.
D.
9. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是( )
A. B.
C. D. 且
10. 为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为：，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知复数满足，则 ______ ．
12. 设 在复平面内，为原点，，两点对应的复数分别是和，则点对应的复数是______ ．
13. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面所得到的几何体，则该学具的表面积为______ ．
14. 在中，，点满足，若，则 ______ 用弧度制作答
15. 若向量，则在上的投影向量坐标为______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
设虚数满足．
求证：为定值；
是否存在实数，使为实数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17. 本小题分
如图，直角梯形中，，，，，且，．
若是的中点，证明：，，三点共线；
若为边上的动点包括端点，求的最小值．
18. 本小题分
如图，在中，，设，．
Ⅰ用，表示，；
Ⅱ若为内部一点，且求证：，，三点共线．
19. 本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，，求边及的面积；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为向量，的夹角为，则．
故选：．
先根据题意求出向量的数量积，再计算向量模的平方，最后得出结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
的共轭复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得同向的单位向量是
故选：．
与同向的单位向量为，计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查单位向量的定义，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：是水平放置的的直观图，
则在中，，为斜边，
为三角形内部的一条线段，
的长度最长，即最长的线段是；
故选：．
根据题意，分析可得：在中，，为斜边，进而可分析出的三边及中线中，最长的线段．
本题考查平面图形的直观图的作法，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，属于简单题．
5.【答案】
【解析】解：延长交于，
是重心，
为中线．
，
即，故是等腰三角形，且，
则外接圆圆心在上，设为，则，
，
是等边三角形，
，即外接圆半径为．
故选：．
根据向量数量积的分配律结合可得，即，结合为重心可得为等腰三角形，再根据几何关系即可求外接圆半径．
本题考查了通过向量的数量积判断三角形形状从而达到求外接圆的半径，难点在于得到为等腰三角形，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，
，，为非零向量，
，
则，
，
，即，即，可得，
同理可得，
可得，
可得的形状为等边三角形．
故选：．
由题意可得，，再结合向量垂直的性质，整理可求，同理可得，即可判断三角形的形状．
本题主要考查了向量的线性运算，判断三角形的形状，考查三角和向量的综合问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，侧棱与底面垂直，
则，
故选：．
利用向量的加减法则逆运算得，结合夹角与模长计算即可．
本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了新定义，考查了棱柱的结构特征，考查线面垂直的运用，属于中档题．
根据新定义和正六棱柱的性质可得答案．
【解答】
解：根据正六边形的性质，
当为底面矩形，有、、、，个满足题意，
当为底面矩形，有、、、，个满足题意，
当为底面矩形，有、、、，个满足题意，
当为底面矩形，有、、、，个满足题意，
故共有个阳马满足题意．
故选：．

9.【答案】
【解析】解：是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
根据条件知，与方向相同，选项中只有能保证．
故选：．
根据知，的方向相同，选项A的反向；都可能正向也可能反向；而满足同向，从而得出正确的选项．
本题考查了单位向量的定义，相等向量的定义，方向同向的定义，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设正六棱柱的底面边长为，
正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，正六棱柱的高为，
再设正六棱锥的高为，斜高为，
则正六棱锥的侧面积为，
正六棱柱的侧面积为，
由已知可得：，得，
又，得，
正六棱锥与正六棱柱的高的比值为．
故选：．
设出棱柱的底面边长，可得棱柱的高，再设出棱锥的斜高，由已知侧面积的比值求得棱锥斜高与棱柱底面边长的关系，再由勾股定理得到棱锥的高与棱柱高的关系，则答案可求．
本题考查棱柱与棱锥侧面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，．
故答案为：．
直接利用商的模等于模的商求解．
本题考查复数模的求法，考查转化思想，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：依题意得，
四边形是平行四边形，
，故点对应的复数为．
故答案为：．
分别得出点，点，点的坐标，再由四边形是平行四边形得出计算即可．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题．
13.【答案】
【解析】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，
故几何体的表面积为．
故答案为：．
先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积．
本题考查了几何体表面积的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：取的中点为，连接，
，，
则，
，
设，则，
，
则，解得，
是等边三角形，．
故答案为：．
取的中点为，连接，设，结合可得，求出的值，可得是等边三角形，从而求出．
本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，在上的投影为，
则在上的投影向量坐标为
故答案为：
根据投影向量的定义求解即可．
本题考查投影向量的定义，考查数量积的坐标运算，属于基础题．
16.【答案】证明：设且，
，
则，即，化简整理可得，，
故，即为定值；
解：假设存在实数，使得为实数，
则为实数，
故，
，
，
故存在实数，使为实数，此时．
【解析】根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于中档题．
17.【答案】证明：，
，
因为，所以，
由于有公共点，所以，，三点共线；
解：令，，
，
，
，
所以，
得到：
，
即当时，的最小值是．
【解析】根据题意得到，即可得证；
令，，根据题意得到，代入整理得到：，即可求解．
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ在中，，设，．
；
；
证明：Ⅱ因为为内部一点，且．
则，
所以与共线且有公共点，
所以，，三点共线．
【解析】由已知结合向量的线性表示即可求解；
Ⅱ由已知只要证明与共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明．
本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ因为向量，且，
所以，由正弦定理得，
又，，则，显然，
则，又，所以；
Ⅱ由余弦定理得，
整理得，解得或舍，
所以的面积；
Ⅲ由正弦定理得，即，解得，
因为，故角为锐角，故，
，
，
．
【解析】Ⅰ利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；
Ⅱ根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可；
Ⅲ利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，，最后再利用两角和与差的正弦公式即可．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题．
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