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2022-2023学年广东省广州市海珠区八校联考八年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 将化简后的结果是( )
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4. 下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列说法错误的是( )
A. 菱形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的对角线相等
C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形
6. 在平行四边形中，，则( )
A. B. C. D.
7. 对角线长为的正方形其边长为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，对角线，交于点，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是( )
A. B. C. D.
9. 如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，过点作交于点，过点作交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 当______时，式子有意义．
12. 化简的结果是______．
13. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点的表示的数为 ．
14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，，交于，则 ．
15. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，依次连接、、、得到四边形，要使四边形是菱形，可添如条件______ ．
16. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，下列结论：
≌；
点到直线的距离为；
；
．
其中正确的是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算下列各小题：
；
．
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，、是、上的两点，且求证：．
19. 本小题分
已知：实数，在数轴上的对应点如图所示，化简：．
20. 本小题分
如图，在四边形中，，，，，且求的度数．
21. 本小题分
如图，在矩形中，为的中点，过点作分别交，于点，求证：四边形是菱形．
22. 本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，其中端点、均在小正方形的顶点上．
在图中画出平行四边形，点和点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
在图中画出以为腰的等腰直角，且点在小正方形的顶点上；
连接，直接写出的长．
23. 本小题分
城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由降为，已知原滑滑梯的高长为米，点，，在同一水平地面上求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
24. 本小题分
如图，在长方形中，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，若．
求证：；
求的度数；
如果，求的值．
25. 本小题分
已知正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，且．
如图，分别连接、、，则的形状是______；
如图，连接交对角线于点，若，求的长；
如图，若点、分别在、上，且，连接交于点，当与的夹角为时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质，直接根据二次根式的性质化简即可．
解：，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
选项的被开方数含分母，不符合题意；
选项是最简二次根式，符合题意；
选项的被开方数中有能开的尽方的因数，不符合题意；
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，不是勾股数，符合题意；
B、，是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，不符合题意；
D、，是勾股数，不符合题意．
故选：．
欲判断三个数是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
4.【答案】
【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，无法计算，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意．
故选：．
根据菱形的性质与判定，矩形的性质逐一判断即可．
本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，熟知菱形的性质与判定条件，矩形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图：
四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可进行解答．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
7.【答案】
【解析】解：设这个正方形的边长为，
则，
解可得；
则它的边长是．
故选：．
根据正方形性质可知：正方形的一条对角线即为内角平分线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长．
本题主要考查了正方形的性质，理解对角线长，边长之间的关系是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
有一组邻边相等的矩形是正方形，
对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：．
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
9.【答案】
【解析】解：由折叠可得，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故选：．
在中，由，得到，即可求解．
本题考查的是翻折变换折叠问题和勾股定理，明确是本题解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，可得，
解得或舍去，
，
，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，得，
或舍去，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：依题意，得
，
解得，．
故答案是：．
二次根式有意义：被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
利用二次根式乘除运算法则求出即可．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用和数轴上两点间的距离，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
【解答】
解：，
则，
因为点表示，
所以点表示，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即，
解得：，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形的面积公式即可解决问题．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解此题的关键．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点，
，
四边相等的四边形是菱形，
当时，，
此时四边形是菱形；
可添加的条件为：；
故答案为：答案不唯一．
根据三角形的中位线定理，得到：，根据四边相等的四边形是菱形，可以得到当时，即可得到四边形是菱形．
本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定．熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四边相等的四边形是菱形，是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌故正确；
≌，
，
又，，
，
，故正确；
过作，交的延长线于，
，，
，
又中，，
，
，
，
，故不正确；
，，
在中，，
，故正确，
故答案为：．
利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；利用中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；过作，交的延长线于，利用中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
17.【答案】解：
．
．
【解析】先算乘法与除法，算出的结果化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可．
先展开完全平方式，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即．
【解析】先根据平行四边形的性质可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据线段和差即可得证．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
19.【答案】解：根据数轴可得：，
，
原式．
故答案是：．
【解析】首先根据数轴确定，，的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简．
本题主要考查了式子的化简，正确根据数轴确定，，的符号，以及根据绝对值的性质去掉绝对值符号是解决本题的关键．
20.【答案】解：在中，
根据勾股定理：，
在中，，，
，
为直角三角形，
．
【解析】根据勾股定理得，根据可得为直角三角形，．
此题考查勾股定理的定义和勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题关键．
21.【答案】证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
为的中点，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【解析】根据矩形的性质证明≌，得，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解决问题．
此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
22.【答案】解：如图，平行四边形即为所求作．
如图，即为所求作．
．

【解析】作出底为，高为的平行四边形即可．
根据等腰直角三角形的定义，利用数形结合的思想解决问题即可．
利用勾股定理计算即可．
本题考查作图应用与设计，勾股定理，等腰直角三角形的等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
23.【答案】解：，，米．
在直角三角形中，米．
在直角三角形中，米，
米．
答：改善后滑滑梯加长米．
在直角三角形中，，米．
在直角三角形中，，米，
米，
米．
那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是．
因此，此方案是可行的．
【解析】在直角三角形内，根据的度数和的长，运用角求出的长，进而即可求解；
本题实际要求的是的前方长是否超过米，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就可行，反之，则不可行．
本题主要考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形的性质，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的关键．
24.【答案】证明：四边形是长方形，
，
平分，
，
又，，
、都是等腰直角三角形，
，，
，
；
解：，，，
，
又，即，
，
，
；
解：，
，
，
由得，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
．
【解析】分别证明、都是等腰直角三角形，进而推出，，再由即可证明；
利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角的定义求出，的度数，即可利用三角形外角的性质求出的度数；
先证明，得到，由得，得到，推出，得到，再求出，由勾股定理得，据此求解即可．
本题主要考查了勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25.【答案】等腰直角三角形
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
又，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
如图，过点作，交于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，，
≌，
，
，，
，
，，
；
如图，连接，，
由可知：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
．
由“”可证≌，可得，，可证，即可求解；
过点作，交于，由“”可证≌，可得，由勾股定理和直角三角形的性质可求解；
连接，，由可知：是等腰直角三角形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
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