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3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
第五章 生活中的轴对称
学习目标
1. 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（重点）
2. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（难点）
问题1：拿出课前准备的角，这个角是不是轴对称图形？
你是怎样确定的？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板或钢板，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
情景引入
问题3：
数学活动课上，老师要求利用角尺平分一个角，同学设计了如下方案。
∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
此方案是否可行？说明理由。
其依据是SSS，
全等三角形的对应角相等.
讲授新课
1
探究
尺规做角平分线
问题：如果没有前面的角尺，我们用数学作图工具，能否平分一个角？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
A
B
O
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)在边OA、OB上分别取OM=ON，怎样在作图中体现这个过程
(3)在角尺移动的过程中，PM=PN，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
A
B
M
N
P
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内相交于点P.
（3）画射线OP.
射线OP就是∠AOB的平分线。
练习：将下面的∠AOB四等分。
A
O
B
猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________
改变点P的位置，线段PD与PE的大小关系还成立吗？
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
动手操作：
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，
猜想：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2
探究
角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
判一判：
（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
典例精析
A
B
C
P
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.则
（1）点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
提示：过点P作PD⊥AB于点D
A
B
C
P
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
拓展延伸：（3）求 PDB的周长.
·AB·PD=28.
由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段

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