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多边形与平行四边形
一、选择题
1. （2014?四川巴中，第11题3分）若一个正多边形的一个内角等于135°，那么这个多边形是正　　边形．
考点：正多边形的内角和．
分析：一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解答：外角是180﹣135=45度，360÷45=8，则这个多边形是八边形．
点评：根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
2. （2014山东济南，第8题，3分）下列命题中，真命题是
　　A．两对角线相等的四边形是矩形 　 B．两对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．两对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两对角线相等的四边形是等腰梯形
【解析】两对角线相等的四边形不一定是矩形，也不一定是等腰梯形，所以A，D都不是真命题．又两对角线互相垂直如果不平分，此时的四边形不是菱形，故选B．
3. （2014山东济南，第10题，3分）在□中，延长AB到E，使BE＝AB，连接DE交BC于F，则下列结论不一定成立的是

A． B． C． D．
【解析】由题意可得，于是A，B都一定成立；
又由BE＝AB，可知，所以C所给结论一定成立，于是不一定成立的应选D．
4. (2014年贵州黔东南3．（4分）)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
　 A． AB∥DC，AD=BC B． AB∥DC，AD∥BC C． AB=DC，AD=BC D． OA=OC，OB=OD
考点： 平行四边形的判定．
分析： 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解答： 解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　
5.（2014?十堰6．（3分））如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）
　
A．
7
B．
10
C．
11
D．
12
考点：
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
分析：
根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．
解答：
解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，
故选：B．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．
6.（2014?十堰6．（3分））如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）
　
A．
7
B．
10
C．
11
D．
12
考点：
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
分析：
根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．
解答：
解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，
故选：B．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．
7. （2014?山东临沂,第7题3分）将一个n边形变成n+1边形，内角和将（　　）
　
A．
减少180°
B．
增加90°
C．
增加180°
D．
增加360°
考点：
多边形内角与外角．
分析：
利用多边形的内角和公式即可求出答案．
解答：
解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，n+1边形的内角和是（n﹣1）?180°，
因而（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180=180°．
故选C．
点评：
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．
8．（2014?四川泸州，第5题，3分）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）
　
A．
30°
B．
60°
C．
120°
D．
150°
解答：
解：由等边△ABC得∠C=60°，
由三角形中位线的性质得DE∥BC，
∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，
故选：C．
点评：
本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
9．（2014?广东梅州,第8题3分）下列各数中，最大的是（　　）
　
A．
0
B．
2
C．
﹣2
D．
﹣
考点：
有理数大小比较．
专题：
常规题型．
分析：
用数轴法，将各选项数字标于数轴之上即可解本题．
解答：
解：画一个数轴，将A=0、B=2、C=﹣2、D=﹣标于数轴之上，
可得：
∵D点位于数轴最右侧，
∴B选项数字最大．
故选B．
点评：
本题考查了数轴法比较有理数大小的方法，牢记数轴法是解题的关键．
10.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB =4,AC =6,则BD的长是（ ）
(A)8 　　　　　 (B) 9 　　　　　 (C)10 　　　　（D）11
答案：C
解析：根据平行四边形的性质勾股定理可得，Rt△ABO,OA=AC=×6=3,AB=4,∴OB=5,又BD=2OA=2×5=10.故C正确。
6.
7.
8.
二、填空题
1. （2014?上海，第15题4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=　﹣　（结果用、表示）．
考点：
*平面向量
分析：
由点E在边AB上，且AB=3EB．设=，可求得，又由在平行四边形ABCD中，=，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．
解答：
解：∵AB=3EB．=，
∴==，
∵平行四边形ABCD中，=，
∴==，
∴=﹣=﹣．
故答案为：﹣．
点评：
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
2. （2014?四川巴中，第19题3分）在四边形ABCD中，（1）AB∥CD，（2）AD∥BC，（3）AB=CD，（4）AD=BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是　　．
考点：平行四边形的判定，求简单事件的概率．
分析：列表得出所有等可能的情况数，找出能判定四边形ABCD是平行四边形的情况数，即可求出所求的概率．
解答：列表如下：
1
2
3
4
1
﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
﹣﹣﹣
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中能判定出四边形ABCD为平行四边形的情况有8种，分别为（2，1）；（3，1）；（1，2）；（4，2）；（1，3）；（4，3）；（2，4）；（3，4），
则P==．故答案为：
点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3.（2014?娄底20．（3分））如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是　9　．
考点：
平行四边形的性质；三角形中位线定理．
分析：
根据平行四边形的性质得出DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．
解答：
解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+B=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=BC，DO=BD，OE=DC．
4. （2014?山东临沂,第17题3分）如图，在?ABCD中，BC=10，sinB=，AC=BC，则?ABCD的面积是　18　．
考点：
平行四边形的性质；解直角三角形．
分析：
作CE⊥AB于点E，解直角三角形BCE，即可求得BE、CE的长，根据三线合一定理可得AB=2BE，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解答：
解：作CE⊥AB于点E．
在直角△BCE中，sinB=，
∴CE=BC?sinB=10×=9，
∴BE===，
∵AC=BC，CE⊥AB，
∴AB=2BE=2，
则?ABCD的面积是2×9=18．
故答案是：18．
点评：
本题考查了平行四边形的面积公式，以及解直角三角形的应用，三线合一定理，正确求得AB的长是关键．
5．（2014?四川内江，第14题，5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：　AD=BC（答案不唯一）　，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
考点：
平行四边形的判定．
专题：
开放型．
分析：
直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．
解答：
解；当AD∥BC，AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
点评：
此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
6．（2014?四川遂宁，第11题，4分）正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是　6　．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷60°，计算即可求解．
解答：
解：这个正多边形的边数：360°÷60°=6．
故答案为：6．
点评：
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
7．（2014?四川泸州，第15题，3分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　4　．
解答：
解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2=32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
S=4×2=4．
点评：
本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．
8．（2014?福建福州,第14题4分）如图，在ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则ABCD的周长是 ．
∴ABCD的周长是2（6+4）=20.
考点：1. 平行四边形的性质；2.平行的性质；3.等腰三角形的判定.
9.内角和与外角和相等的多边形的边数为　四　．
考点：
多边形内角与外角．
分析：
根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
解答：
解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）?180°=360°，
解得n=4．
故答案为：四．
点评：
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. （2014?上海，第23题12分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE=∠ABD．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）联结AE，交BD于点G，求证：=．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
分析：
（1）证△△BAD≌≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；
（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案．
解答：
证明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
在△BAD和△CDA中
∴△BAD≌△CDA（SAS），
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵AD∥BC，
∴=，=，
∴=，
∵平行四边形ACED，AD=CE，
∴=，
∴=，
∴=，
∴=．
点评：
本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．
2. （2014?山东枣庄，第22题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

考点：
全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
专题：
计算题．
分析：
（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．
解答：
（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
3. （2014?江苏徐州,第21题7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：四边形BEDF是平行四边形．
考点： 平行四边形的判定与性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．
解答： 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　4．（2014?四川凉山州，第21题，8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
专题：
证明题；压轴题．
分析：
（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
解答：
证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
点评：
此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．
5．（2014?四川内江，第21题，9分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）由AC=BC，且OC垂直于AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，将P与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出C坐标，得出直线BC斜率，求出过P且与BC平行的直线PD解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，检验得到四边形BCPD为菱形，符合题意．
解答：
解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：，
解得：k=，b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，
对于一次函数y=x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），
∴直线BC的斜率为=﹣，
设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣（x﹣4），即y=，
与反比例解析式联立得：，
消去y得：=，
整理得：x2﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
当x=8时，y=1，
∴D（8，1），
此时PD==，BC==，即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵PC==，即PC=BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．
点评：
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，两直线平行时斜率满足的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
6．（10分）（2014?甘肃白银,第26题10分）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）
考点：
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．
分析：
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
解答：
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，且DE=BC，
同理，GF∥BC，且GF=BC，
∴DE∥GF且DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．
点评：
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
7．（2014?甘肃兰州,第27题10分）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
考点：
四边形综合题．
分析：
（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
解答：
解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
点评：
此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．
　

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