资源简介

目 录
第一讲 一元二次方程的定义及解法
第二讲 一元二次方程的解法
第三讲 一元二次方程的判别式
第四讲 一元二次方程的根与系数的关系
第五讲 一元二次方程的应用
第六讲 全等三角形
第七讲 平行四边形（一）
第八讲 平行四边形（二）
第九讲 梯形
第十讲 中位线及其应用
第十一讲 如何做几何证明题
第十二讲 反比例函数
第十三讲 反比例函数的图像及性质
第十四讲 反比例函数的应用
第十五讲 反比例函数的练习
第一讲：一元二次方程的概念及解法
＊一元二次方程的概念
1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？

2、趣味数学：
先观察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142
你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
3、梯子移动
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
　　　　　　　　
问题①如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为 米，宽为 米。根据题意，可得方程 。问题②如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。根据题意，可得方程 。问题③由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m。根据题意，可得方程 。
探索新知
三个方程化简后，教师可引导学生类比一元一次方程观察这三个的特点，然后进行汇总，归纳，学生容易漏掉二次项系数不为0的要点，教师可给予必要的引导。具体处理方法如下：
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
（8－2x）(5－2x)=18 即2x2 － 13x ＋ 11 = 0
x2＋(x＋1) 2＋(x＋2) 2=(x＋3) 2＋(x＋4) 2
即x2 － 8x － 20＝0
(x＋6) 2＋72=10 2 即x2 ＋12 x－15 ＝0
观察上述三个方程有什么共同特点？（提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点，看看这些方程有什么特点。）
总结，尤其注意容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0。
（2）几种不同的表示形式：①ax2+bx+c=0 (a≠0,b≠0,c≠0)
②ax2+bx=0 (a≠0,b≠0,c=0)
③ax2+c=0 (a≠0,b=0,c≠0)
④ax2=0 (a≠0,b=0,c=0)
(3)相关概念：一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)
一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c
二次项系数为：a 一次项系数为：b
巩固应用
1、判一判，下列方程哪些是一元二次方程?
(1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0 (3)2x2-1/3x-1=0 （4）y2/2=0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2 (6)ax2+bx+c=0
　2、把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
3、想一想：⑴关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 　　时，是一元二次方程．
⑵当m取何值时，方程(m-1)x∣m∣+I+2mx+3=0是关于x的一元二次方程？
拓展延伸
关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 为何值时是一元二次方程．,当k 为何值时，不是一元一次方程？
关于x的方程(a2+2a+2)x2+6x-3=0是一元二次方程吗？请说明原因。
3、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程
用配方法解一元二次方程
前面我们通过实例建立了一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，大家回忆一下。
回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―x2=0
估算地毯花边的宽
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
也就是：2x2―13x+11=0
你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
（3）完成下表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
注意：当相邻两个整数，一个使ax2+bx+c＞0 ，一个使ax2+bx+c＜0，则一元二次方程的解就介于这两个数之间。认真观察代数式的特点和取值走向，才能很快找到这样的两个相邻整数。
三、梯子底端滑动的距离x(m)满足方程
(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x―15
-0.59
0.84
2.29
3.76
注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。
课堂练习
五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗?
总结：
本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“逼近”思想．当相邻两个整数，一个使ax2+bx+c＞0 ，一个使ax2+bx+c＜0，则一元二次方程的解就介于这两个数之间。认真观察代数式的特点和取值走向，才能很快找到这样的两个相邻整数。
复习：1、如果一个数的平方等于，则这个数是 ，若一个数的平方等于7，则这个数是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2、用字母表示完全平方公式。
3、用估算法求方程的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？
1、解下列方程：
（1）x2=4 （2）(x+3)2=9
2、利用公式计算：
（1）(x+6)2=0 （2）(x－)2 =0
3、解方程：（梯子滑动问题）
x2+12x－15=0
解析：解方程的基本思路（配方法）
如：x2+12x－15=0 转化为
两边开平方，得

∴x1=―6 x2=――6(不合实际)
这种方法叫直接开平方法．
(x十m) ＝n(n0)．
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+ =(x+6)2
（2）x2―12x+ =(x― )2
（3）x2+8x+ =(x+ )2
从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。
4、讲解例题：
例1：解方程：x2+8x―9=0
配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。
三、课堂练习
1．解下列方程
(1) x一l0x十25＝7； (2) x十6x＝1.
（3）x2+4x+3=0 （4）x2―4x+2=0
四、例题讲析：
例：解方程：3x2+8x―3=0
通过对例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程.让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路,关键是将方程转化成形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心。另外，得到 后，在移项得到要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错。
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
3、做一做：
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=15 t―5t2小球何时能达到10m高？
练习：
1、配方：
（1）x2―3x+ =(x― )2
（2）x2―5x+ =(x― )2
2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
3、用配方法解下列一元二次方程？
（1）3x2―1=2x (2)x2―5x+4=0
思考我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：
出示思考题：
1、
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？
（2）一元二次方程的解是什么？

（3）这两个解都合要求吗？为什么？

2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？

（2）一元二次方程的解是什么？
（3）合符条件的解是多少？
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
第二讲：一元二次方程的解法
公式法解一元二次方程
一、复习
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程：x2－7x－18=0
二、新授：
1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
解：方程两边都作以a，得
移项，得：
配方，得：
即：
讨论：

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是 x=。注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
判断下列方程是否有解：
(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0
(5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0
公式法：
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、例题讲析：
例：解方程：x2―7x―18=0
例：解方程：2x2+7x=4
一元二次方程根与系数的关系
对于一元二次方程（a≠0），当时，根据求根公式，易得x1＋x2＝， x1·x2＝． 这就是一元二次方程的韦达定理。
利用韦达定理，不解方程求解下题：
已知=0，求x12+x22，x1/x2+x2/x1的值
小结：这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法――公式法。
（1）求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用。对于a0，知4a>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理。
（2）应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b－4ac的值。当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程
一、回顾交流
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程：
①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0
用两种不同的方法解下列一元二次方程。
（1）5x-2x-1=0 （2）10(x+1) 2-25(x+1)+10=0
观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
分析小颖、小明、小亮的解法：
小颖：用公式法解正确；
小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。
分解因式法解一元二次方程
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。
二、范例学习
例：解下列方程。
1. 5x=4x 2. x-2=x(x-2)
想一想
你能用几种方法解方程x-4=0,(x+1)-25=0。
知识要点
★直接开平方法：对于形式如（n≥0）的方程，根据平方根的意义，即两边同时开平方，变形为，得到两个一次方程，解一次方程得到未知数的值。
★配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为的形式，从而得到这个一元二次方程的根。步骤如下：(1)把常数项移到方程的右边；(2) 把二次项系数化为1，(如果二次项系数不是1，给方程两边同除以二次项系数)(3) 给方程两边都加上一次项系数的一半的平方(4) 方程左边是一个完全平方式，将方程变形为的形式在中，当时，方程有两个不相等的实数根。当时，方程有两个相等的实数根。当时，方程有两个相等的实数根。
★公式法：一元二次方程的求根公式：(b2-4ac≥0)，步骤如下：(1) 把方程化为一般形式，进而确定a、b、c的值（注意符号）(2) 求出b2-4ac的值，（先判别方程是否有根）(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根。
★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。一般步骤如下：(1) 把方程整理使其右边化为0；(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。提示：分解因式法应用面广，它不仅可以解一元二次方程，对高次的求解更有独到之处。
根的判别式：
b2-4ac=△，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无实数根。即不解方程就可判断方程解的情况。
根与系数的关系:由求根公式可知，，即不解方程可知方程的两根之和与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根平方和等一类的问题。
☆利用一元二次方程解决实际问题时，一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程，要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解。
易错易混点
(1) 用配方法解一元二次方程时，二次项系数化1时易错；(2) 不能确定a、b、c的值，代入公式时，代入不准确； (3) 方程两边同除以一个含有未知数的式子。
用配方法解方程：2x2-4x-10=0
解方程：8x2+10x=3
用分解因式法解一元二次方程：
典型例题
当x取___________时，x2-5x+7有最小值，最小值是_____________。
已知是方程2x2-x-7=0的两根，则=___________。
已知一三角形的两边长分别为1和2，第三边的长是方程2x2-5x+3=0的根，则该三角形的周长为_____________。
已知方程有两个实数根，化简：。
已知a2-3a=1，b2-3b=1，并且a≠b，那么=___________。
一元二次方程x2-px+q=0的两个根为3，-4，那么二次三项式x2-px+q可分解为（ ）A. (x-3)(x+4) B. (x+3)(x-4) C. (x-3)(x-4) D. (x+3)(x+4)
若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A. k＞-1 B.k≥-1 C. k＞1 D. k≥0
用适当的方法解方程：(1) ； (2) ；


(3) ; (4) x2-4x-6=0
按要求解下列方程：(1) x2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x2+10x=3 (用公式法解)

(3) 2(x-2)2=x2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解)
学习自评
方程4x2+5=0的根是（ ）A. B. C. D. 无实根
用配方法将方程变形得（ ）A. B. C. D.
已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A. B. 3 C. 6 D. 9
三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A. 24 B. 24或 C. 48 D.
已知，则x+y的值为（ ）A. 3或5 B. 3或-5 C. -3或5 D. -3或-5
x2-_________+9=(x-______)2；x2-5x+6=(__________)(___________).
若x2+4x+m2是一个完全平方式，则m的值为___________。
把方程化成一般形式为__________________。
若a+b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0必有一根为___________。
完成下列配方过程：x2+2px+1=[ x2+2px+(_________)]+(________)=(x+______)2+(________).
已知实数a、b、c满足等式，则方程ax2+bx+c=0的根是_________。
若x1，x2是方程x2-3x-2=0的两个根，则x1+x2=________，x1+x2=________，x12+x22=________，___________。
用适当的方法解方程：(1) x2+2x=2； (2) 4x2-7x+2=0; (3) x2+3x-4=0
(5) 2x2-3x+=0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6)
(1)用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0；(2) 由第(1)题，你能否得到启发而写出三个值恒大于0的二次三项式。
三角形两边长分别是2和3，第三边是方程的解，求这个三角形的周长
在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为540m2，道路的宽为多少？
某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数，已知该公司今年4月份的电脑销售量为500台，6月份比5月份多售出120台，求该公司今年销售量的月增长率是多少?
【知识梳理】
形如的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
【例题精讲】
【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：
（1）x2 –2x=0 （2） x2 –9=0 （3）(1－3x)2＝1；
（4）（t－2）（t＋1）＝0 （5）x2＋8x＝2 （6）
（7） （8） （9） （10） （11） （12）
（13）x（x－6）＝2 （14）（2x＋1）2＝3（2x＋1） （15）
（16） （17） （18）

（19） （20）；

【例2】用适当的方法解下列关于的方程（提高题）：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）。
【巩固】用适当的方法解下列关于的方程：
（1）； （2）；
（3）。 （4）。
【例5】已知方程与有公共根。
（1）求的值；
（2）求二方程的所有公共根和所有相异根。
【巩固】是否存在某个实数，使得方程和有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。
第三讲：一元二次方程的判别式
【知识梳理】
一、一元二次方程根的情况：令。
1、若，则方程有两个不相等的实数根：；
2、若，则方程有两个相等的实数根：；
3、若，则方程无实根（不代表没有解）。
二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；
4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【例题精讲】
【例1】已知方程；则①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当取什么值时，方程没有实数根？
【巩固】1、已知关于的方程。
求证：无论取什么实数，方程总有实数根；
2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。
【拓展】关于的方程有有理根，求整数的值。
【例2】已知关于的方程。
（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长。
【巩固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于的方程的两根，则___________。
2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的对边分别为，已知，和是关于的方程的两个实数根，求三角形ABC的周长。
【拓展】已知对于正数，方程没有实数根，求证：以长的线段为边能组成一个三角形。
【例3】设方程有三个不相等的实数根，求的值和相应的3个根。
【巩固】已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是___________________。
【例4】设，证明在方程
中，至少有两个方程有不相等的实数根。
第四讲：一元二次方程根与系数的关系
【知识梳理】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
设方程的两个根，则。
韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
【例题精讲】
【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。
（1）x2－2x＋1＝0； （2）x2－9x＋10＝0；
解：______， 解：______，
（3）2x2－9x＋5＝0； （4）4x2－7x＋1＝0；
解：______， 解：______，
（5）2x2－5x＝0； （6）x2－1＝0
解：______， 解：______，
【例2】设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）=_______； （2）x12x2+x1x22=_______； （3）=_______
（4）（x1+x2）2=_______； （5）（x1－x2）2=_______； （6）x13+x23=_______．

【例3】解答下列问题：
（1）设关于的一元二次方程有两个实数根，问是否存在
的情况？
（2）已知：是关于的方程的；两个实数根，且，求的值。
【巩固】
1、已知关于的方程有两个实数根，且，则_____________。
2、已知是方程的两个实数根，则代数式的值为_________。
【例4】已知关于的方程：。
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根满足，求的值及相应的。
【巩固】已知关于的方程。
（1）当为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根满足，求的值。
【例4】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是多少？
【巩固】已知△ABC的两边AB、AC的长是关于二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5。
（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
第五讲：一元二次方程的应用
【知识梳理】
方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多实际问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同，解题的关键是恰当设未知数、分析数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题。
【例题精讲】
【例1】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长m，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m。
（1）求鸡场的长和宽各为多少？
（2）题中墙的长度m对题目的解起着怎样的作用？
【例2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？
【例3】将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
【例4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点 A与B，若让他们仍从原地出发，互换彼此到达的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
【例5】一支士兵队伍长1200米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍的排头兵，并在到达排头后立即回到末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已经前进了1200米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？
【例6】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1980、1981、1993、1994，经核实确实有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参加。
【巩固】
1、在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为m，花园的面积为m2。
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；
（3）当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？
2、某水果批发商场有一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
3、甲乙两条船分别从河的两岸同时出发，它们的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米处，然后继续前进，都到达对岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米处，如果认为船到岸调转方向时不耽误时间，问河有多宽？
4、一支士兵队伍长100米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍排头，并在到达排头后立即回到队伍的末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已前进了100米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？
5、象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛的选手共有多少人？
第六讲：全等三角形
一、选择题
1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）.
A． B． 4 C． D．
2. （2011山东威海，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）．
A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE
3. （2011浙江衢州，1,3分）如图，平分于点，点是射线 上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
4. （2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
5. （2011江苏宿迁,7,3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA
6. （2011江西南昌，7，3分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
7. （2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（ ）．
(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；
(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．
8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）.
A． B． 4 C． D．
二、填空题
1. （2011江西，16，3分）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）
2. （2011广东湛江19,4分）如图，点在同一直线上, ,,
（填“是”或“不是”） 的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．
三、解答题
1. （2011广东东莞，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
2. （2011山东菏泽，15（2），6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC


3. （2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．
(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；
(2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．
4. （2011浙江台州，19,8分）如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.
5. （2011四川重庆，19，6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．
6. （2011江苏连云港，20，6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？

7. （2011广东汕头，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
8. （ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度数.
9. （2011福建福州，17（1），8分）如图6,于点,于点,交于点,且.
求证.
10．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
11. （2011广东省，13，6分）已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.
求证：AE=CF.
12. （2011湖北武汉市，19，6分）（本题满分6分）如图，D，E，分?别?是?AB，AC?上?的?点?，且AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C．
13. （2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
14. (20011江苏镇江,22,5分)已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,ED=DC.
求证:AB=AC
15. （2011湖北宜昌，18，7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F.
(1)证明：∠DFA = ∠FAB；
(2)证明: △ABE≌△FCE.
（第18题图）
第七讲：平行四边形
【知识梳理】
1、平行四边形：
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
（1）平行四边形对角相等；
（2）平行四边形对边相等；
（3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四边形是矩形
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
二、菱形
（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四条边都相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等
②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形
②有一个角是直角的菱形是正方形
【例题精讲】
【例1】填空题：
【巩固】
1、下列说法中错误的是（ ）
A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( )
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形
3、下面结论中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4、如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【例3】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．
求证：四边形AECD是菱形．
【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
第八讲：平行四边形（二）
【知识梳理】
由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。
【例题精讲】
【例1】四边形四条边的长分别为，且满足，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形
C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形
【例2】如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF ＝ EF．
(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
【巩固】如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.
（1）求∶的值；
（2）延长交正方形外角平分线（如图13－2），试判断的大小关系，并说明理由；
（3）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。
【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。
【例5】如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。求证：AE＝CF。
【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证：AH＝CG。
第九讲：梯 形
【知识梳理】
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。
通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：
平移腰：过一顶点作一腰的平行线；
平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；
过底的顶点作另一底的垂线。
熟悉以下基本图形、基本结论：
【例题精讲】
中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。
梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。
【例题精讲】
【例1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.
【例2】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.
【例3】如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm. 求梯形ABCD的面积.
【例4】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
【巩固】
1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
2、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.
3、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.
【例5】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE.
求证：AD＋BC＝AB
【巩固】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AD＋BC＝AB
求证：DE⊥AE。
【例6】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ， E、F 分别是AD 、BC 的中点，若∠B＋∠C＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ．
第十讲：中位线及其应用
【知识梳理】
1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，
①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等
②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边
③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰
5、有关线段中点的其他定理还有：
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等
因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
【例题精讲】
【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。
【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点.
求证：
【例2】已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点　　　　　　　　　　　　　　
　则①四边形EFGH是__________形　　　　　　　　　　　　　　　
②当AC＝BD时，四边形EFGH是__________形　　　　　　　　　　　　　　　　　　
③当AC⊥BD时，四边形EFGH是__________形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
④当AC和BD__________时，四边形EFGH是正方形。
【巩固】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。
【例3】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点。求证：MN＝（AB－CD）
【巩固】如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点。
求证：EF＞
【拓展】E、F为四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝，问：四边形ABCD为什么四边形？请说明理由。

【例4】四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F。求证：∠BEH=∠CFH.
【例5】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。
【巩固】已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN　
【例】如图，平形四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE垂直于AB，OE垂直于CD，垂足分别是E，F，求证：OE=OF。
第十一讲：如何做几何证明题
【知识梳理】
1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【例题精讲】
【专题一】证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
【例1】已知：如图所示，中，。
求证：DE＝DF
【巩固】如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。
求证：EC＝ED
【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。
求证：∠E＝∠F
【专题二】证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
【例3】如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。
求证：KH∥BC
【例4】已知：如图所示，AB＝AC，。
求证：FD⊥ED
【专题三】证明线段和的问题
总结：证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：1，??长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）2，??短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样）3，??加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样）4，??折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用）5，??代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。6，??相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC，
且∠DEC＝60°；
求证：BC＝AD＋AE
【巩固】已知：如图，在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
【例6】 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。
求证：EF＝BE＋DF
练习题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。
若PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。
（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ=45°
题2（长截短）：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于D。求证：AC=AB+BD

第十二讲：反比例函数
　一、创设情境、导入新课
　　1、回忆一下什么叫函数?
　　在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯
一确定的值与它对应,则称y是x的函数.
　　例如，购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是
y＝0.4n，这是一个正比例函数。
　　又如，等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y
是x的一次函数等。
　　　一次函数的表达式为y＝kx+b其中k，b为常数且k≠0，正比例函数的表
达式为y＝kx，其中k为不为零的常数,但是在现实生活中，并不是只有这两种
类型的表达式，如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到B地，
汽车的速度v(km／h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1200，则t＝中，
t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间
的关系式究竟是什么关系式呢?
　　二、探索新知
　　1.下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是
否为正比例或一次函数关系式？
问题1：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220 V时.
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
　　当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
（1）能用含有R的代数式表示I. 由IR=220，得I=.
(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2.
　　从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来
越小时，I越来越大.
(3)变量I是R的函数.
　　 由IR＝220得I＝.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，
因此I是R的函数.
　　舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，
或由黑夜变成白昼的?
　　根据I＝，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变大，
灯光较亮.所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短的
时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼.
问题2：京沪高速公路全长约为1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往
北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km／h)之间有怎样
的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
由路程等于速度乘以时间可知1262＝vt，则有t＝.当给定一个v的
值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数.
从上面的两个例题得出关系式
I=和t=.它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗?能
否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢?
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝ (k为常数，
k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
从y＝中可知x作为分母，所以x不能为零.
反比例函数有三种表达式：(1) (k为常数，k≠0) (2) (k≠0) (3) (k为定值，k≠0)
2.练习：（1）下列函数是反比例函数吗？若是，并指出K的值。
①y=-3/x ②y=-1/2x ③x=1/y ④xy=p
⑤y=4/x2 ⑥y=1/(x+1) ⑦y=x/3
（2） 如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成__________；
（3）函数是反比例函数，则的值是________。
三、做一做
1.一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为xcm和ycm。那么变
量y是变量x的函数吗？为什么？
2.某村有耕地346.2公顷，人数数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕
地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？为什么？
3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
-2
-1
1
3
…
y
2
-1
……
（1）写出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上
一、选择题（10分×3=30分）
（1）下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A、y=2x+1 B、y=0.75x C、x:y=18 D、xy= -1
（2）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A、y=5/x B、y=0.4/x C、y=x/2 D、xy=2
（3）如果y=（m+1）xm是反比例函数，那么m的值是（ ）
A、1 B、-1 C、±1 D、无解
二、填空。（45分，对一个答案计5分）21世纪教育网
（1）在函数①xy=π②y=5-x ③y= -2/x ④y=2a/x（a为常数，a≠0）中是反比例函数的有 （填序号），并分别写出其K的值： 。
（2）已知y是x的反比例函数，完成下表
x
-3
-1
1
3
y
三、解答题。（15分×3=45分）
（1）菱形的面积一定时，菱形的两条对角线m和n属于反比例函数吗？为什么？
（2）计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y是每日铺轨量x（km/d）的反比例函数吗？为什么？
（3）已知y+2与x-3成反比例，当x=1时，y=2；当x=2时，y=？
第十三讲:反比例函数的图像与性质
一、复习引入
1.什么叫做反比例函数？3种形式的表达式？
2.一次函数的图象是怎样的呢？你能画出y＝－2x-1的图象吗？
3.画函数图象的三个步骤是什么？
二、探求新知
1.例1.你能画出的图象吗？
解：（1）列表
…
-8
-4
-3
-2
-1
…
1
2
3
4
8
...
…
-1
-2
-4
-8
…
8
4
2
1
…
注意：自变量的取值范围x ≠ 0。在列表时,自变量的值可以选取绝对值
相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点。
（2）描点

注意：描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线, 从中体会函
数的增减性。
（3）连线
注意：连线时必须用光滑的曲线连接各点；曲线的发展趋势只能靠近坐标
轴,但不能和坐标轴相交。
2. 画出的图象。学生动手画图，相互观摩。
3. 想一想
观察和的图象，它们有什么相同点和不同点？
相同点：（1）图象分别都是由两支曲线组成.它们都不与坐标轴相交；
（2）两个函数图象自身都是轴对称图形,它们各有两条对称轴；对称轴分
别为y=x和y=-x;
（3）两个函数图象自身都是中心对称图形,对称中心是坐标原点。
不同点: 两支曲线分别位于第一、三象限内; 两支曲线分
别位于第二、四象限内。

反比例函数 y = 有下列性质：反比例函数的图象y = 是由两支曲
线组成的。
(1)　当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，
(2)　当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限.
二、探究新知
1.观察反比例函数的图象，你能发现它们的共同特征吗？
表达式中的k都是大于零的.
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是
为什么吗？
（3）反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
(1)函数图象分别位于第一、三象限内.
(2)观察函数y＝ 的图象，在第一象限任取两点A（x1,y1），B(x2,y2)，
分别向x轴,y轴作垂线，找到对应的x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较
出x1与x2,y1与y2的大小，所以就可判断函数值的变化随自变量的变化是如
何变化的.山图可知x1＜x2,y2＜y1,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.
（3）从关系式y＝中看,因为x≠0，所以图象与y轴不可能能有交点；
因为不论x取任何实数，2是常数，y＝永远也不为0，所以图象与x轴也不
可能有交点.
　　总结：当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限
内，y随x的增大而减小.
　　2.议一议
　　　考察当k＝－2，－4，－6时，反比例函数的图象，它们有哪些共
同特征？
　
　　(1)y=-，y=-，y=-中的k都小于0，它们的图象都位于第二，四
象限，所以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.
　　(2)在图象y=-中，在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2，
y1>y2，所以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随
自变量x的增大而增大.
(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
　　　性质：反比例函数的图象，当k>0时，在每个象限内，y的值随x
值的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
　　　3.想一想
　　（1）在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴
的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行
线，与坐标轴围成的矩形面积为，和有什么关系？为什么？
　　（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？
　　设P(x1,y1)，过P点分别作x轴，y轴的平行线，
与两坐标轴围成的矩形面积为S1，
则S1=｜x1｜·｜y1｜=｜x1y1｜.
∵(x1,y1)在反比例函数y＝图象上，
所以y1＝，即x1y1＝k.
∴S1＝｜k｜.
同理可知S2＝｜k｜， 所以S1＝S2
　　从上面的图中可以看出，P、Q两点在
同一支曲线上，如果P，Q分别在不同的曲线，情况又怎样呢?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比
例函数是中心对称图形.
　
　　四、课堂总结
　　1.反比例函数y＝的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，
y的值随，值的增大而减小；当k增大而增大.
　 2.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行
线，与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2，则有S1＝S2.
　 3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合.即反比例
函数是中心对称图形.
　 4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交,但是当x的值越来
越接近于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象
的两个分支无限接近；轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
第十四讲：反比例函数的应用
一、回顾交流、情境导入
反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在 一 三，在每一象限内，y的值
随x的增大而减小 。当k<0时，两支曲线分别在二 四 ，在每一象限内，y
的值随x的增大而。
某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安
全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临
时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？
(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2 时，压强是多少
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。
在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外，
还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中，要留有充分时间让学生交流，
领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一。
二、探究新知
1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之
间的函数关系如图5-8所示：
探究：（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
（2）完成下表（课本P142），并回答问题，如果以此蓄电池为电源的用电器
限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
2.如图5-9，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交
于A、B两点，其中点A的坐标为（）
探究：（1）请你分别写出这两个函数的表达式；
（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴交流。
学生独立思考，解答问题，上讲台演示自己的解答。
三、随堂练习
课本随堂练习1
补充练习
《反比例函数的应用》训练题
一、填空题（每空2分，共12分）
1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成x的关系式是 。
2．A、B两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从A地去B地，假设在途中是匀速直线运动，速度为vkm/h，
到达时所用的时间是th，那么t是v的 函数，t可以写成v的函数关系式是 。
3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式是 ；反比例函数关系式是 。
二、选择题（5分×3＝15分）
1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系用图象来表示是 。

2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是
A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。
B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。
C：一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的密度之间的关系。
D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。
3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是
A：S1＝S2＞S3 B：S1＜S2＜S3
C：S1＞S2＞S3 D：S1＝S2＝S3
（三）解答题（共21分）
1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。
（2）写出此函数的解析式
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（4）如果每小时排水量是5m3，那么水池中的水将要多长时间排完？
2．（9分）如图正比例函数y=k1x与反比例函数交于点A，从A向x轴、y轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。
（1）分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。
（2）求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。
（3）求△ODC的面积。
第十五讲：反比例函数的练习
一、例题讲解
例1．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的
受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求p与S之间的函数关系式；
(2) 求当S＝0.5 m2时物体承受的压强p．
分析：本题意在考查反比例函数的意义．在实际问题中
求函数的解析式时，要注意确定自变量的取值范围．

例2．如图，A为双曲线上一点，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且S△AOC=2．
求该反比例函数解析式；
若点(-1,y1),(-3,y2)在双曲线上，试比较y1、 y2的大小．
例3．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的
图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是，求：（1）一
次函数的解析式；（2）△AOB的面积．


例4．如图，A、B分别是x、y轴上的一点，且OA=OB=1，P是函数y=
(x>0)图象上的一动点，过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，M、N分别为垂足，PM、
PN分别交AB于E、F．(1)证明AF·BE=1．
(2) 若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．

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