资源简介

三角函数与解三角形大题归类
目录
重难点题型归纳 1
【题型一】恒等变形 1
【题型二】零点与对称性 4
【题型三】恒成立求参 6
【题型四】图像与解析式型 9
【题型五】利用正弦定理求角 12
【题型六】利用余弦定理求角型 14
【题型七】最值 1：面积最值型 16
【题型八】最值 2：锐钝角限制型最值 18
【题型九】最值 3：周长最值型 20
【题型十】最值 3：比值最值型 22
【题型十一】最值 4：系数不一致型 23
【题型十二】最值 5：角非对边型 26
【题型十三】最值 6：四边形面积型 28
【题型十四】图形 1：外接圆型 29
【题型十五】图形 2：角平分线型 32
【题型十六】图形 3：中线型 34
【题型十七】图形 4：三角形高型 37
【题型十八】图形 5：双三角形型 40
好题演练 42
一、 重难点题型归纳
重难点题型归纳
题型一 恒等变形
【典例分析】
1. 已知函数 f x = 2cosx sinx- cosx + 1,x∈R．
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)将函数 y= f x π 的图象向左平移 个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐
4
标不变，得到函数 y= g x 的图象，求 g x 的最大值及取得最大值时的 x的集合．
【答案】(1) kπ-
π，kπ+ 3π (k∈ Z)；(2) x8 8 x= 2kπ+
π (k∈ Z) ，g(x)的最大值为 2.4
【详解】
(1)先化简 f(x) = 2cosx(sinx- cosx) + 1= sin2x- cos2x= 2sin 2x- π ，4
再由 2kπ- π ≤ 2x- π ≤ 2kπ+ π k∈ Z
2 4 2
1
即得 f(x)递增区间为 π kπ- ,kπ+
3π
(k∈ Z).8 8
(2)由已知 g(x) = 2sin x+ π4
解：(1)f(x) = 2cosx(sinx- cosx) + 1= sin2x- cos2x= 2sin 2x- π ，4
当 2kπ- π ≤ 2x- π ≤ 2kπ+ π ,(k∈ Z)，即 kπ- π ≤ x≤ kπ+ 3π ,(k∈ Z)，
2 4 2 8 8
因此，函数 f(x)的单调递增区间为 kπ-
π ,kπ+ 3π (k∈ Z).
8 8
(2)由已知，g(x) = 2sin x+ π ，4
∴当 4sin x+ π = 1时，即 x+ π = 2kπ+ π 则 x= 2kπ+ π (k∈ Z)，g(x)4 4 2 4 max= 2
∴ 当 x ∣ x= 2kπ+
π (k∈ Z) ,g(x)的最大值为 2.4
【技法指引】
和差倍角关系
① cos(α± β) = cos αcos β±sin αsin β； ② sin(α± β) = sin αcos β± cos αsin β；
③ tan(α± β) = ± tanα± tanβ1tanαtanβ ； ④ sin 2α= 2sin αcos α ；
⑤ cos 2α= cos2α- sin2α = 1- 2sin2α= 2cos2α- 1 ；
⑥ tan 2α= 2tanα ；
1- tan2α
辅助角公式：
asin x+ bcos x= a2+b2sin(x+ φ) ，其中， tanφ= ba ， |φ| <
π
2 ， a> 0 ．
【变式演练】
1. 3设函数 f(x) = - 3sin2ωx- sinωxcosωx(ω> 0)，且 y= f(x)的图象的一个对称中心到最近
2
π
的对称轴的距离为 ，
4
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求 f(x)在区间 3π π, 上的最大值和最小值.2
【答案】(Ⅰ)ω= 1(Ⅱ) 3，-1.
2
【详解】
试题分析：(1)本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把 sin2ωx化为一次形式，但角变为
2ωx，再运用辅助角公式化为 y=Asin(ωx+ φ)形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为 π，可知
4
此函数的周期为 π，从而利用周期公式易求出ω；(2)本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因
4
2
此用换元法只需令ωx+ φ=u，利用 π≤ x≤ 3π 求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的
2
最值.
试题解析：(1)f(x) = 3 - 3sin2ωx- sinωxcosωx= 3 - 3 1- cos2ωx - 1 sin2ωx=
2 2 2 2
3 cos2ωx- 1 sin2ωx=-sin 2ωx- π ．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为 π，又2 2 3 4
ω> 0，所以 2π = 4× π，因此ω= 1.
2ω 4
(2)由 (1)知 f(x) =-sin 2ωx- π ．当 π≤ x≤ 3π 时，5π ≤ 2x- π ≤ 8π 所以- 3 ≤3 2 3 3 3 2
-sin 2ωx- π ≤ 1，因此-1≤ f(x)≤ 3．故 f(x)在区间 π, 3π 上的最大值和最小值分别为3 2 2
3 ,-1．
2
题型二 零点与对称性
【典例分析】
1. 已知函数 f x = 2sin x- π sin x+ π + 2 3cos2 x- π - 3.3 6 3
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2) 7π若函数 g x = f 2x - a在区间 0, 上恰有 3个零点 x1,x2,x3 x < x < x ，12 1 2 3
(i)求实数 a的取值范围；
(ii)求 sin 2x1+x2-x3 的值.
【答案】(1) -
π + kπ, 5π + kπ k∈Z (2) (i)
2- 6
- 3,0 ；(ii) .
12 12 4
【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到 f x = 2sin 2x- π ；根据正弦型3
函数单调性的求法可求得单调递增区间；
(2) (i)令 t= 4x- π，将问题转化为 y= 2sint与 y= a在 -
π ,2π
3 3

上恰有 3个不同的交点，利用数形
结合的方式即可求得 a的取值范围；
(ii)由 (i)中图像可确定 t2+t3= 3π，t3-t1= 2π，由此可得 2t1+t2-t3=-π，整理可得 2x1+x2-x3=- π ，12
由两角和差正弦公式可求得-sin π 的值，即为所求结果.
12
【详解】(1) ∵ f x = 2sin x- π cos - π +3 2 x+
π + 3 2cos2 x- π - 1 =6 3
2sin x- π cos x- π + 3cos 2x- 2π = sin 2x- 2π + 3cos 2x- 2π3 3 3 3 3 =
2sin 2x- 2π + π = 2sin 2x- π ；3 3 3
∴令- π + 2kπ≤ 2x- π ≤ π + 2kπ k∈Z π 5π ，解得：- + kπ≤ x≤ + kπ k∈Z ，
2 3 2 12 12
∴ f x π 5π 的单调递增区间为 - + kπ, + kπ

k∈Z .12 12
(2) (i)由 (1)得：g x = 2sin 4x- π3 - a，
3
当 x∈ 0, 7π 时，4x-
π ∈ -
π ,2π ，
12 3 3
设 t= 4x- π，则 g x 在区间 0, 7π 上恰有 3个零点等价于 y= 2sint与 y= a在
- π ,2π 上恰有3 12 3
3个不同的交点；
作出 y= 2sint在 -
π ,2π 上的图像如下图所示，3
由图像可知：当- 3≤ a≤ 0时，y= 2sint与 y= a恰有 3个不同的交点，
∴实数 a的取值范围为 - 3,0 ；
(ii)设 y= 2sint与 y= a的 3个不同的交点分别为 t1,t2,t3 t1< t2< t3 ，
则 t2+t3= 3π，t3-t1= 2π，∴ 2t1+t2-t3= 2 t3-2π + t2-t3= t2+t3-4π=-π，
即 2 4x1- π3 + 4x
π π
2- - 4x3 3- =-π，3
整理可得：8x +4x -4x =- π1 2 3 ，∴ 2x1+x2-x π3=- ，3 12
∴ sin 2x1+x2-x3 = sin - π =-sin π - π =-sin π cos π + cos π sin π =- 2 × 3 + 212 4 6 4 6 4 6 2 2 2
× 1 = 2- 6 .
2 4
【技法指引】
三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。
1.与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点
与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心
【变式演练】
1. 已知 f(x) = sin2x+ 1 ．
sinx+ cosx+ 2
(1)求函数 f(x)的值域；
(2) 8若方程 f(x) = 在
3
0, 45π

上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 x1,x2, ,xn，求 x1+2x4 2
4
+2x3+ +2xn-1+xn的值．
【答案】(1) 0,2+ 2 (2)115π
2
【分析】(1)首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数 g(t) = t+ ,t∈ [- 2, 2]，再利用导t 2
数求函数的值域；
(2)首先由方程得 sin x+ π =- 2 2，再利用三角函数的对称性，得 xi+xi+1 i∈N *,i≤ 10 是等4 3
差数列，再求和.
( ) ( ) = sin2x+ 1 = (sinx+ cosx)
2
【详解】1 f x + + + + 令 t= sinx+ cosx= 2sinsinx cosx 2 sinx cosx 2 x+
π ,x∈R，4
则 g(t) = t
2 2
+ ,t∈ [- 2, 2]
(t+ 4)t
，g (t) = t +4t = ,t∈ [- 2, 2]，g t = 0，得 t= 0，
t 2 (t+ 2)2 (t+ 2)2
当 t∈ - 2,0 ，g t < 0，g t 单调递减，当 t∈ 0, 2 时，g t > 0，g t 单调递增。
所以 f(x)min= g(t)min= g(0) = 0，g( 2) = 2 = 2- 2,g(- 2) = 2 = 2+ 2
2+ 2 2- 2
所以 f(x)max= g(t)max= 2+ 2，f(x)的值域是 0,2+ 2
2sin2 x+ π
(2)由已知得 4 = 8 3sin2
+ π + 3 x+
π - 4 2sin x+ π - 4( 2)2= 0，
2sin x 4 44 2
解得 sin x+ π =- 2 2 或 sin x+ π = 2 2(舍去)，由 x+ π = kπ+ π x= kπ+ π (k∈ Z)得4 3 4 4 2 4
函数 y= sin x+ π4 图象在区间 0,
45π 且确保 sin x+ π =- 2 2 成立的，4 4 3
对称轴为 x= kπ+ π k∈N *,k≤ 10 ,sin4 x+
π =- 2 2 在 0, 45π 内有 11个根，x ,x4 3 4 1 2, ,x11
数列 xi+xi+1 i∈N *,i≤ 10 构成以 x 5π 5π 1+x2= 2 = 为首项，2π为公差的等差数列．4 2
所以 x1+2x 5 12+2x3+ +2xn-1+xn= π 10+ × 9× 10× 2π= 115π.2 2
题型三 恒成立求参
【典例分析】
1. 已知函数 f(x) = 2sinxcos x+ π + 3 .3 2
1 求函数 f(x)的最小正周期；
π
2 若 f(x) +m≤ 0对 x∈ 0,
恒成立，求实数m的取值范围.2
【答案】 1 π； 2 (-∞,-1]
【分析】(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出
函数的最小正周期．
(2)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解: 1 因为 f x = 2sinxcos x+ π3 +
3 = 2sinx cosxcos π - sinxsin π + 32 3 3 2
5
= 2sinx 1 cosx- 3 sinx + 3 = sinxcosx- 3sin2x+ 3 = 1 sin2x+ 3 cos2x=2 2 2 2 2 2
sin 2x+ π 所以 f x 的最小正周期为T= 2π = π3 2
2“ f x +m≤ 0对 x∈ 0, π 恒成立”等价于“f x +m≤ 0”因为 x∈
0, π max 所以 2x+
π ∈
2 2 3
π , 4π 当 2x+
π = π，即 x= π 时 f π x 的最大值为 f = 1.所以 1+m≤ 0，3 3 3 2 12 12
【技法指引】
恒等变形化简：
(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式 tan x= sinx ；②降次数：公式 cos2α=
cosx
1+ cos2α，sin2α= 1- cos2α；
2 2
(2)和积转换法：运用公式 (sin θ± cos θ)2= 1± 2sin θcos θ解决 sin θ± cos θ与 sin θcos
θ关系的变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1= sin2θ+ cos2θ= cos2θ(1+ tan2θ) = sin2θ 1+ 1 = tan π ；tan2θ 4
(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如 2α= (α+ β) + (α- β)，α= (α+
)- α+ β α- ββ β，β= - 等
2 2
【变式演练】
1. x已知向量m= cos ,2cos x ，n= 2cos x , 3sin x ，设 f x =m n .2 2 2 2
(1)若 f x = 2，求 x的值；
(2)设 g x = f x - 1 sinx- 3 m- g x 2 < g π π ，且 x + 3对任意的 x∈ - , 均成立，求2 4 4
实数m的取值范围.
【答案】(1)x= 2kπ或 2kπ+ 2π (k∈ Z)；(2) - 13 4
【分析】
(1)根据向量数量积的坐标表示，以及三角恒等变换，将解析式化为 f x = 2sin x+ π + 1，再由正6
弦函数的性质，即可得出结果；
(2)先由 (1)，根据三角恒等变换，得到 g x = sin 2x- π ，由正弦函数的性质，求出 g x ∈3
-1, 1 ，t= g x ∈ -1, 1 ，将不等式在给定区间恒成立问题，转化为 t2-t- 32 2 max t2+t+ 3 min对任意的 t∈
1
-1, 恒成立；结合二次函数的性质，即可求出结果.2
【详解】
(1)由题意，f x =m n= 2cos2 x + 2 3sin x cos x = 1+ cosx+ 3sinx= 2sin x+ π + 1，2 2 2 6
6
若 f x = 2，则 sin x+ π = 1 ，所以 x+ π = 2kπ+ π 或 x+ π = 2kπ+ 5π，k∈ Z，6 2 6 6 6 6
因此 x= 2kπ或 2kπ+ 2π (k∈ Z)；
3
(2)由 (1)得 g x = 3 3 f x - 1 sinx- = cosx+ 3sinx sinx-
2 2
1 3 2sin
2x- 1
= sin2x+ = 1 sin2x- 3 cos2x= sin 2x- π2 2 2 2 3 ，
若 x∈ π π π 5π π - , ，则 2x- ∈ - , ，因此 g x = sin 2x- π ∈ -1, 1 ，令 t= g x ∈4 4 3 6 6 3 2
-1,
1 ，2
则不等式 m- π π g x 2 < g x + 3对任意的 x∈ - ,4 4 均成立，可化为 m- t
2 < t+ 3对任意的
t∈ -1,
1 恒成立；即-t- 3即 t2-t- 3只需 t2-t- 3 1
恒成立；2
因为函数 y= t2-t- 3是开口向上，且对称轴为 t= 1 的二次函数，
2
所以 y= t2-t- 3在 t∈ -1, 1 上单调递减，2
因此当 t=-1时，y= t2-t- 3取最大值为 y= 1+ 1- 3=-1；
又函数 y= t2+t+ 3是开口向上，且对称轴为 t=- 1 的二次函数，
2
所以当 t=- 1 时，y= t2+t+ 3取得最小值为 y= 1 - 1 + 3= 11，所以-12 4 2 4 4
题型四 图像与解析式型
【典例分析】
1. π已知函数 f(x) =Asin(ωx+ φ) +B A> 0,ω> 0,|φ| < 的部分图象如图所示．2
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)将函数 y= f(x) π的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为
12
13π
原来的 2倍 (纵坐标不变)，得到函数 y= g(x)的图象．当 x∈ 0,

时，方程 g(x) - a= 0恰有三6
个不相等的实数根 x1,x2,x3 x1< x2< x3 ，求实数 a的取值范围和 x1+2x2+x3的值．
7
【答案】(1)f(x) = 2sin 2x+ π + 3(2) 4，3+ 3 ，x1+2x 10π3 2+x3= 3
【分析】(1) 根据图示，即可确定A和B的值，再由周期确定ω，最后将点 π ,5 带入 f x ；即可求出12
答案.
(2) 先根据题意写出 y= g x ，再根据 x的取值范围求出 x+ π 的取值范围.即可根据 y= sinx的对
6
称性求出 x1+x2与 x2+x3的值.即可求出答案.
(1)
解：由图示得：A= 5- 1 = 2,B= 5+ 1 = 3，
2 2
又 T = 7 π- 1 π= π，所以T= π，所以ω= 2π = 2，所以 f(x) = 2sin(2x+ φ) + 3，
2 12 12 2 T
又因为 f(x)过点 π ,5 ，所以 5= 2sin 2× π + φ + 3，即 sin π + φ12 12 6 = 1，
所以 π + φ= π + 2kπ,k∈ Z，解得 φ= π + 2kπ,k∈ Z，又 |φ| < π，所以 φ= π，所以 f(x) =
6 2 3 2 3
2sin 2x+ π3 + 3；
(2)
解：由已知得 g(x) = 2sin x+ π + 3，6
当 x∈ 0, 13π 时，x+
π ∈ π 7π π π 7π π6 6 ,6 3 ，令 t= x+ ∈6 , ，则 2sin x+ + 3= 2sint+ 3，6 3 6
令 h(t) = 2sint+ 3，则
h π = 2sin π + 3= 4，h π = 2sin π + 3= 5，h6 6 2 2
3π
2 = 2sin
3π + 3= 1，h 7π = 2sin 7π + 3=2 3 3
3+ 3，
所以 a∈ 4，3+ 3 ，
因为 h(t) - a= 0有三个不同的实数根 t1,t2,t3 t1< t2< t3 ，则 t1+t = 2× π2 = π,t3= 2π+ t1，2
所以 t1+2t2+t3= 4π，即 x1+ π + 26 x2+
π
6 + x
π
3+ 6 = 4π，所以 x1+2x2+x3=
10π
3
【技法指引】
确定 y=Asin(ωx+ φ) + b(A> 0，ω> 0)的步骤和方法：
(1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A= M-m，b= M+m .
2 2
(2)通过周期公式求ω：即ω= 2π .
T
(3)特殊点代入求 φ：通常代入“最值点”或“零点”；
即整体思想，对于函数 y=Asin(ωx+ φ)的性质 (定义域、值域、单调性、对称性、最值等)
可以通过换元的方法令 t=ωx+ φ，将其转化为研究 y= sin t的性质．
【变式演练】
8
1. 已知函数 f(x) =Asin(ωx+ φ) +B A> 0,ω> 0,|φ| < π 的部分图象如图所示.2
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)将函数 y= f(x) π图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变
4
13π
为原来的 2倍 (纵坐标不变)，得到函数 y= g(x)的图象.当 x∈ 0,
时，方程 g(x) - a= 0恰有三
6
个不相等的实数根，x1,x2,x3 x1< x2< x3 ，求实数 a的取值范围以及 x1+2x2+x3的值.
【答案】(1)f(x) = 2sin 2x+ π + 3(2)a∈ [2,3]，x 14π3 1+2x2+x3= 3
【分析】(1)由三角函数图象的最大值与最小值，求出A= 2,B= 3，得到最小正周期，求出ω= 2π =
T
2，再代入特殊点的坐标，求出 φ= π，得到函数解析式；
3
(2)先根据平移变换和伸缩变换得到 g(x) = 2sin x- π + 3，令 t= x- π ∈ - π ,2π ，换元后利用6 6 6
整体法求出函数的单调性和端点值，得到 a∈ [2,3]，再根据对称性得到 t1+t π2= 2× = π,t2+t2 3= 2×
3π = 3π，相加后得到 x1- π + 22 6 x2-
π + x π3- = 4π，求出答案.6 6
【详解】(1)由图示得： A+B= 5 ，解得：A= 5- 1 - + = = 2,B=
5+ 1 = 3，
A B 1 2 2
又 T = 7 π- 1 π= π，所以T= π，所以ω= 2π = 2，
2 12 12 2 T
所以 f(x) = 2sin(2x+ φ) + 3.
又因为 f(x)过点 π ,5 ，所以 5= 2sin 2× π + φ + 3，即 sin π + φ = 1，12 12 6
所以 π + φ= π + 2kπ,k∈Z，解得 φ= π + 2kπ,k∈Z，
6 2 3
又 |φ| < π，所以 φ= π，所以 f(x) = 2sin 2x+ π + 3.2 3 3
(2)y= f(x)图象上所有的点向右平移 π 个单位长度，得到 f(x) = 2sin 2 x- π + π + 3=4 4 3
2sin 2x- π + 3，6
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2倍 (纵坐标不变)，得到 g(x) = 2sin x- π + 3，6
当 x∈ 0, 13π 时，x- π ∈ -
π ,2π ，令 t= x- π ∈ - π ,2π ，则 2sin x- π + 3= 2sint+ 3，
6 6 6 6 6 6
9
令 h(t) = 2sint+ 3，在 t∈ - π ,
π

上单调递增，在 t∈ π , 3π 上单调递减，在 t∈ 3π ,2π 上单调6 2 2 2 2
递增，
且 h - π = 2sin - π + 3= 2,h π = 2sin π + 3= 5，h 3π = 2sin 3π + 3= 1,h(2π) = 2sin2π+6 6 2 2 2 2
3= 3,
所以 a∈ [2,3]时，.当 x∈ 0,
13π 时，方程 g(x) - a= 0恰有三个不相等的实数根.6
因为 h(t) - a= 0有三个不同的实数根 t1,t2,t3 t1< t2< t3 ，
且 t1,t2关于 t= π 对称，t2,t3关于 t= 3π 对称，则 t1+t2= 2× π = π,t2+t = 2× 3π3 = 3π，2 2 2 2
两式相加得：t1+2t2+t3= 4π，
即 x - π + 2 x - π1 2 + x3- π = 4π，所以 x1+2x2+x3= 14π .6 6 6 3
题型五 利用正弦定理求角
【典例分析】
1. 在△ABC b π中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 = 2cos -C ．
a 3
(1)求A；
(2) △ABC 3 3若 的面积为 ，b= 2，求 a．
2
【答案】(1)A= π (2)a= 13
6
【分析】(1)化简得到 b= 3asinC+ acosC，根据正弦定理得到 cosA= 3sinA，得到答案.
(2)根据面积公式得到 c= 3 3，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】(1)2cos π -C = 2cos π cosC+ 2sin π sinC= cosC+ 3sinC，3 3 3
所以 b = cosC+ 3sinC，故 b= 3asinC+ acosC．
a
由正弦定理得 sinB= 3sinAsinC+ sinAcosC，又B= π- A+C ，
所以 sinB= sin π- A+C = sin A+C = 3sinAsinC+ sinAcosC，
故 sinAcosC+ cosAsinC= sinAcosC+ 3sinAsinC，
C∈ 0,π 3 ，sinC≠ 0，所以 cosA= 3sinA，即 tanA= ，A∈ 0,π π ，故A= ．
3 6
(2)S 1△ABC= bcsinA= 1 × 2c× 1 = 3 3，所以 c= 3 3．2 2 2 2
由余弦定理可得 a2= b2+c2-2bccosA= 4+ 27- 2× 2× 3 3 × 3 = 13，
2
所以 a= 13
【技法指引】
正弦定理： a = b = c = 2R，其中R为 外接圆半径 ；
sinA sinB sinC
注意：正弦定理变式与性质：
①边化正弦：a= 2R sin A，b= 2R sin B，c= 2R sin C；
10
正弦化边：sin A= a② ，sin B= b ，sin C= c ；
2R 2R 2R
③ a ∶ b ∶ c= sin_A ∶ sin_B ∶ sin_C；
a+ b+ c
④ = 2R ；
sinA+ sinB+ sinC
+c)·r(r是切圆的半径)
【变式演练】
1. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，且 1+ tanC = 2b．
tanA a
(1)求角C；
(2) 2若 cosA= ，b= 2，求△ABC的面积．
10
【答案】(1)C= π (2)S 7
4 △ABC
=
4
【分析】(1)由正弦定理结合弦化切化简可得 cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；
(2)利用同角三角函数的基本关系求出 sinA的值，利用两角和的正弦公式可求得 sinB的值，利用正
弦定理求出 a的值，然后利用三角形的面积公式可求得△ABC的面积.
【详解】(1)解：由正弦定理可得 2b = 2sinB，1+ tanC = 1+ sinC cosA =
a sinA tanA cosC sinA
sinAcosC+ sinC cosA sin C+A= = sinB ，cosC sinA cosC sinA cosC sinA
∴ sinB = 2sinB．
cosC sinA sinA
∵ 02
又 04
2
(2)解：∵ cosA= 2，0又A+B+C= π，∴ sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC= 7 2 × 2 + 2 × 2 = 4．
10 2 10 2 5
由正弦定理可得 a = b ，即 a= bsinA = 7 2，
sinA sinB sinB 4
∴S 1△ABC= absinC= 1 × 7 2 × 2× 2 = 7．.2 2 4 2 4
题型六 利用余弦定理求角型
【典例分析】
1. 记锐角△ABC的内角为A,B,C，已知 sin2A= sinBsinC.
(1)求角A的最大值；
(2)当角A取得最大值时，求 2cosB+ cosC的取值范围.
11
【答案】(1) π (2) 3 , 3
3 2
【分析】(1)利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求 cosA的范围，再
由余弦函数的性质求角A的最大值；
(2)根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角B的函
数，再结合余弦函数的性质求其范围.
【详解】(1)因为 sin2A= sinBsinC，所以由正弦定理可得 a2= bc，
2 2 2 2 2
所以 cosA= b +c -a = b +c -bc ≥ 2bc- bc = 1 ，当且仅当 b= c时等号成立，
2bc 2bc 2bc 2
2 2
所以 cosA= b +c -bc ≥ 2bc- bc = 1 ，又A∈ 0,π ，所以 02bc 2bc 2 3 3
(2)因为A= π，
3
所以 2cosB+ cosC= 2cosB+ cos 2π -B = 2cosB- 1 cosB+ 3 sinB3 2 2
= 3 cosB+ 3 sinB= 3sin B+ π ，因为△ABC为锐角三角形，2 2 3
所以 02 2 6 2 3 2 6
所以 3sin B+ π ∈ 3 , 3 ，所以 2cosB+ cosC∈ 3 , 3 ，3 2 2
即 2cosB+ cosC的取值范围为 3 , 3 .2
【技法指引】
余弦定理：
① a2= b2+c2-2bccos_A；
② b2= c2+a2-2cacos_B；
③ c2= a2+b2-2abcos_C
注意：
2 2 2
变式：① cos A= b +c -a ；
2bc
2 2
cos B= c +a -b
2
② ；
2ac
2 2 2
③ cos C= a +b -c
2ab
【变式演练】
1. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，sinB 1+ cosA = sinA 2- cosB .
(1)求角A的最大值；
(2)若△ABC的面积为 6，a= 4，且 b> c，求 b和 c的值.
【答案】(1) π (2)b= 5,c= 3
3
12
【分析】(1)根据三角恒等变换，结合正弦定理边角互化得 b+ c= 2a，再根据余弦定理与基本不等式
得 cosA≥ 1 ，进而得答案；
2
(2)根据面积公式，余弦定理，并结合 (1)求解得 bc= 15，再解方程即可得答案.
【详解】(1)因为 sinB 1+ cosA = sinA 2- cosB ，
所以 sinB+ cosAsinB= 2sinA- sinAcosB，又因为C= π- A+B ，所以 sinC= sin A+B =
sinAcosB+ cosAsinB，
2 2 2
所以 sinB+ sinC= 2sinA，所以，由正弦定理得 b+ c= 2a.所以 cosA= b +c -a =
2bc
4b2+4c2- (b+ c)2
8bc
2
= 3b +3c
2-2bc ≥ 3× 2bc- 2bc = 1 ，当且仅当 b= c时等号成立，因为A∈ 0,π ，所以A∈
8bc 8bc 2
0, π3 ，
所以，角A的最大值为 π .
3
(2)解：由 (1)得 b+ c= 8，①
由余弦定理得 2bccosA= b2+c2-a2= (b+ c)2-2bc- a2= 48- 2bc，②
因为△ABC的面积S△ABC= 1 bcsinA= 6，所以 2bcsinA= 24，③2
②2+③2得 4b2c2= (48- 2bc)2+242，整理得 bc= 15，④
因为 b> c，
所以由①④解得 b= 5,c= 3.
题型七 最值 1：面积最值型
【典例分析】
1. 在三角形△ABC中，角A，B 3，C所对应的边分别为 a，b，c，且 sinA= ,b= 4,c≥ b> a．
5
(1)从下列中选择一个证明：
a b b2+c2-a2
①证明： = ；②证明：cosA=
sinA sinB 2bc
(2)求三角形△ABC面积的最小值．
【答案】(1)见解析
(2) 24
5
【分析】(1)根据向量关系，利用数量积运算证明正弦余弦定理；
(2)根据面积公式，结合 c变的最小值，求面积的最小值.

【详解】(1)若选择①，由条件可知，角A,B都是锐角，过点A作与AB垂直的单位向量 j，则 j 与AC
垂直的夹角为 π

-A，则 j 与BC垂直的夹角为 π -B，
2 2
13

因为AB+BC =AC，所以 j AB+BC = j AC j AB+ j BC = j AC,

= j AB cos π + j BC cos π -B = j AC cos π -A ，2 2 2
= asinB= bsinA,
即 a = b ；
sinA sinB

若选择②，如图，设AC = b，AB= c ，BC = a ，
2 2 2 2
则 b- c = a ，两边平方后 a = b- c = b +c -2b c ，
2 = 2+ 2

则 a b c -2 b c cosA，即 a2= b2+c2-2bccosA
2 2 2
cosA= b +c -a
2bc
(2)S= 1 bcsinA= 1 × 4× 3 × c= 6 c，
2 2 5 5
因为 c≥ b> a，所以 c≥ 4，
所以△ABC的面积的最小值为 6 × 4= 24 .
5 5
【技法指引】
三角形面积公式：
S 1① △ABC= absin C= 1 bcsin A= 1 acsin B= abc2 2 2 4R
1
②S△ABC= (a+ b+ c)·r(r是切圆的半径)2
【变式演练】
1. △ABC 3的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 sinAcosB- sinC= sinAsinB．
3
(1)求A；
(2)若 a= 2 3，求三角形面积的最大值．
【答案】(1) 2π (2) 3
3
【分析】(1)由 sinC= sin(A+B)结合三角恒等变换及同角三角函数的基本关系可得 tanA的值，进
而即可求出A的值；
(2)由余弦定理结合基本不等式，得 bc≤ 4，利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】(1)因为 sinC= sin(A+B)，
14
所以 sinAcosB- (sinAcosB+ cosAsinB) = 3 sinAsinB，
3
所以-cosAsinB= 3 sinAsinB，
3
因为B∈ (0,π)，所以 sinB> 0，
所以-cosA= 3 sinA，可得 tanA=- 3，
3
又A∈ (0,π)，可得A= 2π．
3
(2)由余弦定理及 a= 2 3，可得：(2 3)2= b2+c2-2bccos 2π，
3
则 12= b2+c2+bc≥ 2bc+ bc= 3bc，得 bc≤ 4，当且仅当 b= c= 2时等号成立，
所以S 1△ABC= bcsinA= 3 bc≤ 3，2 4
所以△ABC面积的最大值为 3．
题型八 最值 2：锐钝角限制型最值
【典例分析】
1. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 2b- c= 2acosC.
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，边 c= 2，求△ABC面积的取值范围.
【答案】(1)A= π
3
(2) 3 ,2 32
【分析】(1)法一：由正弦定理将边化角，再化简即可得到角A；
法二：由余弦定理将角化边，再化简即可得到角A；
(2)由正弦定理用C表示出 b，再代入三角形的面积公式S 1△ABC= bcsinA，即可求得△ABC面积的2
取值范围.
【详解】(1)法一：因为 2b- c= 2acosC.由正弦定理得 2sinB- sinC= 2sinAcosC，又 sinB=
sin π- A+C = sin A+C ，所以 2 sinAcosC+ cosAsinC - sinC= 2sinAcosC.
所以 2cosAsinC- sinC= 0.因为 02
A= π .
3
2 2 2
法二：因为 2b- c= 2acosC，由余弦定理得 2b- c= 2a a +b -c ，整理得 b2+c2-a2= bc，
2ab
2 2
所以 cosA= b +c -a
2
= 1 .又 02bc 2 3 3
0 π π 解得 , 6 2 sinC sinB sinC3 2
2sin C+ π3 = sinC+ 3cosC = 1+ 3 .因为 π sinC sinC tanC 6 2 3
15
所以 3 ∈ 0,3 ，所以 1+ 3 ∈ 1 1,4 .所以S△ABC= bcsinA= 1 1+ 3 2× 3 =tanC tanC 2 2 tanC 2
3 1+ 3 ∈ 3 ,2 3 所以△ABC的取值范围是 3 ,2 3 .2 tanC 2 2
【变式演练】
2 2
1. 已知锐角三角形ABC A B C sinA sin A- sin C中，角 ， ， 的对边分别为 a，b，c，且满足 - 1= ，
sinC sin2B
A≠C.
(1) 1 a求 + 的取值范围；
cosC b
(2)若 a= 2，求三角形ABC面积的取值范围.
【答案】(1) 3 2 , 4 3 (2) 3 ,22 3 2
【分析】(1)先根据条件化简得出B= 2C，然后化简目标式，结合导数求解范围；
(2)先利用正弦定理表示出 c= 2sinC，结合面积公式得出S= 4 ，利用C的范围及单调
sinA 3
tanC - tanC
性进行求解.
【详解】(1)因为A≠C，且A,C都为锐角，所以 sinA≠ sinC，
sinA sinA- sinC sinA- sinC sinA+ sinC- 1= = ，
sinC sinC sin2B
所以 sin2B= sinAsinC+ sin2C，由正弦定理可得 b2= ac+ c2，
又 b2= a2+c2-2accosB，所以 ac+ c2= a2+c2-2accosB，
整理得 a- c= 2ccosB，即有 sinBcosC+ cosBsinC- sinC= 2sinCcosB，
所以 sinBcosC- cosBsinC= sinC，即 sin B-C = sinC，所以B= 2C.
1 sin 2C+C+ a = 1 + sinA = 1 + sinA = 1 + = 1 +
cosC b cosC sinB cosC sin2C cosC 2sinCcosC cosC
2sinCcos2C+ cos2CsinC
2sinCcosC
0π
2
= 1 + 2cos
2C+ cos2C 2 = 1+ 4cos C 在锐角三角形中， 0cosC 2cosC 2cosC 2
0所以C∈ π , π ；6 4
令 t= cosC，则 t∈ 2 , 3 ，1+ 4cos
2C = 1+ 4t
2 2 2
，令 f(t) = 1+ 4t ，则 f (t) = 8t -2，
2 2 2cosC 2t 2t 4t2
因为 t∈ 2 , 3 ，所以 f (t)> 0，所以 f(t)为增函数，又 f 2 = 3 2 ,f 3 = 4 3，所以 f(t)2 2 2 2 2 3
∈ 3 2 , 4 3 ，即 1 + a 的取值范围是 3 2 , 4 3 .2 3 cosC b 2 3
(2)由 (1)得B= 2C.因为 a= 2，由 2 = b = c ，得 c= 2sinC；
sinA sinB sinC sinA
设三角形ABC的面积为S,则S= 1 acsinB= csinB= 2sinCsin2C = 2sinCsin2C
2 sinA sin 2C+C
16
= 2sinCsin2C = 2 = 2 = 4 ，
sin2CcosC+ cos2CsinC cosC + cos2C 1 1 3sinC sin2C tanC + tan2C tanC - tanC
因为C∈ π , π ，所以 tanC∈ 3 ,1 ，设 t= tanC，t∈ 3 ,1 ，y= 3 - t，y =- 3 - 1< 0，y=6 4 3 3 t t2
3 - t为减函数，所以 y∈
t 2,
8 3 ，所以S∈ 3 ,2 .3 2
题型九 最值 3：周长最值型
【典例分析】
1. 已知函数 f(x) = 3sinωxcosωx- sin2ωx+ 1 ，其中 ω> 0，若实数 x
2 1
,x2满足 f x1 - f x2 =
2 π时， x1-x2 的最小值为 ．2
(1)求ω的值及 f(x)的对称中心；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 f(A) =-1,a= 3，求△ABC周长的取值范
围．
【答案】(1)ω= 1，对称中心 - π + kπ ,0 ,k∈Z；12 2
(2) 2 3,2+ 3
【分析】(1)先由倍角公式及辅助角公式化简得 f(x) = sin 2ωx+ π ，再结合已知求得周期即可求出6
ω，由正弦函数的对称性即可求得对称中心；
(2)先求出A= 2π，再由正弦定理求得 b= 2sinB,c= 2sinC，再借助三角恒等变换及三角函数的值
3
域即可求得周长的取值范围．
【详解】(1)
f(x) = 3sinωxcosωx- sin2ωx+ 1 = 3 sin2ωx- 1- cos2ωx + 1 = 3 sin2ωx+ 1 cos2ωx=
2 2 2 2 2 2
sin 2ωx+ π ，6
显然 f(x)的最大值为 1，最小值为-1，则 f x T1 - f x2 = 2时， x1-x2 的最小值等于 ，则 T =2 2
π，则 2π = π，ω= 1；
2 2ω
令 2x+ π = kπ,k∈Z，解得 x=- π + kπ ,k∈Z，则 f(x)的对称中心为 - π + kπ ,0 ,k∈Z；6 12 2 12 2
(2)
f(A) = sin 2A+ π =-1，2A+ π =- π + 2kπ,k∈Z，又A∈ 0,π ，则A= 2π，6 6 2 3
由正弦定理得 a = b = c = 3 = 2，则 b= 2sinB,c= 2sinC，
sinA sinB sinC 3
2
则周长为 a+ b+ c= 3+ 2sinB+ 2sinC= 3+ 2sinB+ 2sin π -B3
17
= 3+ sinB+ 3cosB= 3+ 2sin B+ π ，又 0则 3< 2sin B+ π ≤ 2，故周长的取值范围为 2 3,2+ 3 .3
【技法指引】
解三角形：最值范围
1.可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2.可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值
与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
【变式演练】
1. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 bsinB+ asinA= bsinA+ csinC.
(1)求角C；
(2)若 c= 2 3，求 a+ b的取值范围.
【答案】(1)C= π (2) 2 3,4 3
3
【分析】(1)由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
(2)由余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算可得；
【详解】(1)解：由正弦定理 a = b = c 及 bsinB+ asinA= bsinA+ csinC，所以 b2+a2=
sinA sinB sinC
ab+ c2.
2 2
所以由余弦定理得 cosC= a +b -c
2
= 1 ，又C∈ 0,π ，所以C= π .
2ab 2 3
2 2 2
(2)解：因为 c= 2 3，C= π，由余弦定理可得 cosC= a +b -c = 1 ，可得 a+ b 2-2ab- 12= ab，
3 2ab 2
a+ b 22
所以 a+ b 2-12= 3ab≤ a+ b ， 3 ≤ 12，可得 a+ b≤ 4 3，当且仅当 a= b时取等号，又2 4
由三角形三边关系得 a+ b> c= 2 3，所以 a+ b的取值范围是 2 3,4 3 .
题型十 最值 3：比值最值型
【典例分析】
2 2 2 2 2
1. 记△ABC a -b a +b -c的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 = .
c2 ab
(1)若C= π ，求A，B；
4
(2)若△ABC a为锐角三角形，求 的取值范围.
bcos2B
【答案】(1)A= 5π ,B= π (2) 2, 88 8 3
【分析】(1)由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式即可求出 sin A-B =
18
1，再结合A+B= 3π 即可得出答案.
4
(2)由 (1)知 sin2C= sin A-B ，分别讨论 2C=A-B或 2C+A-B= π，结合题意即可求出 π <
6
B< π，由正弦定理将 a 化简为 sin3B = 3- tan2B，代入即可求出答案.
4 bcos2B sinBcos2B
2
【详解】(1)因为 a -b
2
= a
2+b2-c2 = 2cosC，
c2 ab
所以 sin2A- sin2B= 2sin2CcosC= sin2CsinC= sin A+B sin A-B = sinCsin A-B ，
代入C= π，则 sin A-B = 1，所以A-B= π，且A+B= 3π，所以A= 5π ,B= π；
4 2 4 8 8
(2)由 (1)知 sin2C= sin A-B ，①当 2C=A-B时，且A+B+C= π，
若△ABC是锐角三角形，则A< π，所以 2A= π+C< π，不成立；
2
②当 2C+A-B= π时，且A+B+C= π，所以C= 2B，所以 3B> π，
2
则 π tan2B，
又 tanB∈ 3 ,1 ，所以 a ∈ 2, 8 .3 bcos2B 3
【变式演练】
1. 在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 a+ b b= c2.
(1)求证：C= 2B；
(2) a+ 4b求 的最小值.
bcosB
【答案】(1)证明见解析 (2)4 3
【分析】(1)由已知及余弦定理可推出 b= a- 2bcosC,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公
式化简可得 sinB= sin C-B ，即可证明结论；
(2)利用 (1)的结论将 a+ 4b 边化角，结合三角恒等变换可得 a+ 4b = 4cosB+ 3 ，由基本不等
bcosB bcosB cosB
式可求得答案.
【详解】(1)证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得 a+ b b= c2= a2+b2-2abcosC，
即 b= a- 2bcosC,
由正弦定理，得 sinB= sinA- 2sinBcosC，又A= π- B+C ，故 sinB= sin B+C - 2sinBcosC
= sinBcosC+ cosBsinC- 2sinBcosC= cosBsinC- sinBcosC= sin C-B .
∵ 0< sinB= sin C-B ，∴ 0(2)由 (1)C= 2B得B+C= 3B∈ 0,π ，∴B∈ 0, π ，cosB∈ 1 ,13 2 ，
2
由 (1)a= b 1+ 2cosC ，C= 2B得 a+ 4b = 5+ 2cosC = 5+ 2cos2B
5+ 2 2cos B- 1
=

bcosB cosB cosB cosB
= 4cosB+ 3 ≥ 2 4cosB 3 = 4 3，当且仅当B= π ∈ 0, π 时等号成立，
cosB cosB 6 3
19
所以当B= π 时，a+ 4b 的最小值为 4 3.
6 bcosB
题型十一 最值 4：系数不一致型
【典例分析】
1. c- a请在①向量 x= + ,sinB y
= b- c， + ,sinA x

，且 ∥ y π；② 3b= 2csin A+
b c c a 3 这两个条
件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为 a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为 2 3，求 2a+ b的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)C= π (2) 8,10
3
【分析】(1)选①：根据平面共线向量的坐标表示和正弦定理可得 c2= a2+b2-ab，结合余弦定理即可求
出C；选②：根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算可得 3cosC= sinC，结合特殊角的正切值
即可求出C；
(2)由三角形的面积公式可得 2a+ b= 2a+ 8 = f(a)，法一：利用余弦定理解得 2< a< 4；法二：由正
a
弦定理可得 2< a< 4，进而利用导数求出函数 f(a)的值域即可.
【详解】(1)
c- a sinA
选择①：因为 ∥ ，所以 =
b- c sinB c- a a b- c b
x y
b+ + ，由正弦定理得， = ，c c a b+ c c+ a
即 a c2-a2 = b b2-c2 ，即 ac2+bc2= a3+b3，即 c2 a+ b = a+ b a2-ab+ b2 ，
2 2 2
即 c2= a2+b2-ab．因为 cosC= a +b -c = 1 ，又C为锐角，所以C= π．
2ab 2 3
选择②：因为 3b= 2csin A+ π ，由正弦定理得， 3sinB= 2sinCsin A+ π ，3 3
即 3sinB= sinCsinA+ 3sinCcosA．又 sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC，
所以 3sinAcosC= sinCsinA．因为 sinA> 0，所以 3cosC= sinC，
又C为锐角，所以 tanC= 3，C= π．
3
(2)因为S 1 3△ABC= absinC= ab= 2 3，所以 ab= 8，则 2a+ b= 2a+ 8．2 4 a
(法一)由余弦定理得，c2= a2+b2-2abcosC= a2+b2-8．①
2 2 2
因为△ 为锐角三角形，所以 cosA> 0, 即 b +c -a > 0,ABC cosB> 0, a2+c2-b2> 0.
2 2
将①代入上式可得 b > 4,
8
即 a > 4, 2> 解得 2< a< 4．令 f a = 2a+
8，，则 f a = 2- 8 =
a 4, a2> 4, a a2
2 a2-4 > 0，
a2
所以 f a 在 2< a< 4上单调递增，所以 f 2 < f a < f 4 ，即 8< f a < 10，即 2a+ b的取值范围
为 8,10 ．
20
a sinA sin B+
π
3
1 3
(法二)由正弦定理得 = = = 2
sinB+ 2 cosB = 1 + 3 1 ，又 a = a
b sinB sinB sinB 2 2 tanB b 8
a
0= a
2 2
，所以 a = 1 + 3 1
,
．因为△ABC为锐角三角形，所以 3 2 π 解得
π
8 8 2 2 tanB 02
2
因为 tanB> 3，所以 0< 1 < 3，1 < 1 + 3 1 < 2，即 1 < a < 2，解得 2< a<
3 tanB 2 2 2 tanB 2 8
4．
2 a2-4
令 f a = 2a+ 8，2< a< 4，则 f a = - 8 =

2 > 0，
a a2 a2
所以 f a 在 2< a< 4上单调递增，所以 f 2 < f a < f 4 ，即 8< f a < 10，即 2a+ b的取值范围
为 8,10 ．
【变式演练】
1. 2c- a sinC = b2+c2-a2 sinB cos2 A-C - cosAcosC = 3 3c在① ，② ，③ = tanA +
b 2 4 bcosA
tanB这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b= 2 3， ．
(1)求角B﹔
(2)求 2a- c的范围．
【答案】(1)任选一条件，都有B= π (2) -2 3,4 3
3
【分析】(1)若选①由正弦定理可得 2c- a= 2bcosA，再由余弦定理可得 c2+a2-b2= ac，结合余弦定
理可得答案; 若选②由余弦的二倍角公式结合余弦的差角公式可得出答案;若选③由正弦定理结合
切化弦可得 3sinC = sinC ，从而得到 tanB= 3，得出答案.
sinBcosA cosAcosB
(2)由正弦定理可得 a= 4sinA,c= 4sinC，即 2a- c= 8sinA- 4sinC，结合C= 2π -A,利用正弦
3
的差角公式和辅助角公式化简结合角的范围可得答案.
【详解】(1)选择①：∵ 2c- a sinC= b2+c2-a2 sinB ，∴由正弦定理可得： 2c- a c= b2+c2-a2=
b
2bccosA，
2 2 2
∴可得：2c- a= 2bcosA，可得：cosA= 2c- a，∴由余弦定理可得：cosA= 2c- a = b +c -a ，
2b 2b 2bc
2 2 2
整理可得：c2+a2-b2= ac，∴ cosB= c +a -b = ac = 1 ，∵B∈ 0,π ，可得：B= π
2ac 2ac 2 3
选择②：，因为 cos2A-C
1+ cos
-
A-C
cosAcosC= - cosAcosC=
2 2
1- cosAcosC+ sinAsinC 1- cos A+C= = 3，
2 2 4
所以 cos A+C =- 1 ,cosB=-cos A+C = 1 ，又因为B∈ 0,π ，所以B= π；
2 2 3
选择③：因为 3c = tanA+ tanB，由正弦定理可得 3c = 3sinC ，
bcosA bcosA sinBcosA
21
又 tanA+ tanB= sinA + sinB = sinAcosB+ cosAsinB = sinC 由 3c = tanA+
cosA cosB cosAcosB cosAcosB bcosA
tanB，可得 3sinC = sinC ，因为 sinC> 0，所以 tanB= 3，因为 0sinBcosA cosAcosB 3
(2)在△ABC中，由 (1)及 b= 2 3, b = a = c = 2 3 = 4，
sinB sinA sinC 3
2
故 a= 4sinA,c= 4sinC，2a- c= 8sinA- 4sinC= 8sinA- 4sin 2π -A = 8sinA- 2 3cosA-3
2sinA
= 6sinA- 2 3cosA= 4 3sin A- π 因为 0- 1 < sin A- π < 1,-2 3< 4 3sin A- π < 4 3﹒所以 2a- c的范围为 -2 3,4 3 2 6 6
题型十二 最值 5：角非对边型
【典例分析】
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 (2a- c)sinA+ (2c- a)sinC= 2bsinB．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 c= 2，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)B= π；(2) (3+ 3,6+ 2 3).
3
【分析】(1)利用正弦定理角化边，再借助余弦定理计算作答.
(2)利用正弦定理将周长表示为角C的函数，由 (1)及锐角三角形条件结合三角函数变换和性质求解
作答.
【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理及 (2a- c)sinA+ (2c- a)sinC= 2bsinB得：(2a- c)a+ (2c-
a)c= 2b2，
2 2 2
整理得：a2+c2-b2= ac，由余弦定理得：cosB= a +c -b = 1 ，而 02ac 2 3
π .
3
0< 2π -C< π
(2)由 (1)知A+C= 2π，即A= 2π -C，因△ABC为锐角三角形，即 3 2 π ，解得
π <
3 3 0C< π，
2
由正弦定理 a = b = c 得： a+ b+ c c
sinA sinB sinC sinA+ + = ，则 a+ b+ c=sinB sinC sinC
2 3 + sin 2π 2 3 3
3 1+ cosC
-C + sinC = + cosC+ 3 sinC = 3+ = 3sinC 2 3 sinC 2 2 2 sinC
3 × 2cos2C
+ 2 = 3+ 3 ，当 π 2sinC cosC tanC 6 2 12 2 4 12 2 42 2 2
tan π - tan π
tan π = tan π - π = 3 4 = 3- 1 = 2- 3即 2- 3< tanC < 1，因此，1<12 3 4 1+ tan π3 tan π 3+ 1 24
22
1 < 2+ 3，则 3+ 3< a+ b+ c< 6+ 2 3，所以△ABC周长的取值范围是 (3+ 3,6+
tanC2
2 3).
【变式演练】
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，满足 bsinA= asin B+ π
3


(1)设 a= 3，c= 2，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求BE EA的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，c= 2，求△ABC面积的取值范围．
【答案】(1) 27；(2) 3 ,2 3 .
28 2
【分析】(1)根据正弦定理求出B= π，进而由余弦定理求出 b= 7，利用三角形面积公式得BE=
3
3 21，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案；
14
(2)由正弦定理得到 a= 4 ，利用锐角三角形，求得A∈ π , π ，进而求出 a∈ 1,4 ，由面积
1+ 3 6 2tanA
公式求得S= 3 a∈ 3 ,2 32 2 .
【详解】(1)bsinA= asin B+ π ，由正弦定理得：sinBsinA= sinAsin B+ π = 1 sinAsinB+3 3 2
3 sinAcosB，
2
所以 1 sinAsinB- 3 sinAcosB= 0，因为A∈ 0,π ，所以 sinA≠ 0，
2 2
所以 1 sinB- 3 cosB= 0，即 tanB= 3，因为B∈ 0,π ，所以B= π，
2 2 3
因为 a= 3，c= 2，由余弦定理得：b2= a2+c2-2accosB= 9+ 4- 6= 7，因为 b> 0，所以 b= 7，
其中S 1△ABC= acsinB= 1 × 3× 2× 3 = 3 3，所以BD=
2S△ABC = 3 3 = 3 21，
2 2 2 2 AC 7 7

因为点E为线段BD的中点，所以BE= 3 21，由题意得：EA=ED+DA=BE+DA，
14

所以BE EA=BE BE+DA =BE
2+0= 27 .
28
(2)由 (1)知：B= π，又 c= 2，由正弦定理得： a = c = 2 ，
3 sinA sinC sin A+ π3
所以 a= 2sinA = 2sinA = 4 ，因为△ABC为锐角三角形，所以
sin A+ π3
1
2 sinA+
3
2 cosA 1+
3
tanA
π
A∈ 0, 2 ，解得：A∈C= 2π -A∈ 0, π
π , π ，则 tanA∈6 2
3 ,+∞ ， 3 ∈ 0,3 ，1+ 3 ∈3 tanA tanA
3 2
1,4 ，故 a= 4 ∈ 1,4 ，△ABC面积为S= 1 acsinB= 3 a∈
+ 3 2 2
3 ,2 3 故△ABC面积的
1 2tanA
取值范围是 3 ,2 3 .2
23
题型十三 最值 6：四边形面积型
【典例分析】
1. 如图，平面四边形ABCD中，AB=BD=DA,BC= 1,CD= 3,∠BCD= θ.
(1) π若 θ= ，求BD的值；
6
(2)试问 θ为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？
【答案】(1)1
(2)θ= 5π 时,平面四边形ABCD的面积最大
6
【分析】(1)直接根据余弦定理求解即可；
(2)由题知BD2= 4- 2 3cosθ，进而结合三角形面积公式得S π四边形=S△ABD+S△BCD= 3sin θ- 3
+ 3，再根据三角函数性质求解即可.
【详解】(1)解：若 θ= π，BC= 1,CD= 3，所以，在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC CDcosθ= 4
6
- 2× 3 × 3 = 1
2
所以BD= 1；
(2)解：因为∠BCD= θ，BC= 1,CD= 3，所以，根据余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC CDcosθ
= 4- 2 3cosθ，因为AB=BD=DA,BC= 1,CD= 3,
所以S△ABD= 3 4- 2 3cosθ 3 ，S△BCD= sinθ，4 2
所以S四边形=S△ABD+S 3△BCD= sinθ+ 3 4- 2 3cosθ π = 3sin θ- + 3，2 4 3
所以，θ= 5π 时，S四边形 取到最大值 2 36
【变式演练】
1. 如图，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，2bcosA= 2c- a.
(1)求角B；
(2)若 sinA sinC= sin2B，AD=CD= 2，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)B= π
3
(2)4+ 2 3.
24
【分析】(1)根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.
(2)由余弦定理得到△ABC为等边三角形，在△ADC中，利用余弦定理表达出 x2= 8- 8cosθ，然后根
据三角形面积公式即可求解.
【详解】(1)
由正弦定理得：2sinB cosA= 2sinC- sinA,所以 2sinB cosA+ sinA= 2sin A+B =
2sinAcosB+ 2cosAsinB
即 sinA= 2sinA cosB
∵A∈ 0,π ,∴ sinA≠ 0 cosB= 1 ,
2
∵B∈ 0,π ∴B= π
3
(2)
由 sinA sinC= sin2B∴ b2= ac
由余弦定理得 b2= a2+c2-2accosB= a2+c2-ac= a2+c2-b2，∴ a2+c2= 2b2
∴ a- c 2= a2+c2-2ac= a2+c2-2b2= 0
∴ a= c
∴△ABC为等边三角形，设AC= x，∠ADC= θ，
2
在△ADC中，cosθ= 4+ 4- x ，解得 x2× = 8- 8cosθ2 2× 2
S 3 2 3四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= x +2sinθ= (8- 8cosθ) + 2sinθ4 4
= 4sin θ- π + 2 33
当 θ- π = π，即 θ= 5π 时，S有最大值 4+ 2 3.
3 2 6
题型十四 图形 1：外接圆型
【典例分析】
1. 从① csinC- asinA= 3c- b sinB；② sin2A+ 3cos2A= 3 条件中任选一个，补充到下
面横线处，并解答
：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，AB= 2 3.
(1)求角A；
(2)若△ABC外接圆的圆心为O，cos∠AOB= 11 ，求BC的长.
14
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
【答案】(1)A= π (2)BC= 2 7
6
【分析】(1)选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角
恒等变换即可.
(2)利用圆的角度关系和正弦定理即可求解.
(1)
【详解】解：选择条件①：
25
因为 csinC- asinA= 3c- b sinB，由正弦定理，可得 c2-a2= b 3c- b ，
2 2 2
即 b2+c2-a2= 3bc，所以 cosA= b +c -a = 3bc = 3 .因为A∈ π 0,π ，所以A= .
2bc 2bc 2 6
选择条件②：
因为 sin2A+ 3cos2A= 3所以 2sin 2A+ π = 3，即 sin 2A+ π = 3 .因为A∈ 0,π 3 3 2
所以 2A+ π ∈ π , 7π3 3 3 所以 2A+
π = 2π，A= π .
3 3 6
(2)由题意，O是△ABC外接圆的圆心，所以∠AOB= 2C，
所以 cos∠AOB= cos2C= 1- 2sin2C= 11 故此 sinC= 21 .
14 14
【技法指引】
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角
三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
a b c
2.正弦定理： = = = 2R，其中R为 外接圆半径
sinA sinB sinC
【变式演练】
1. 在 △ABC π中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，点 O是 △ABC的外心，acos C- =
3
AO AB + AO AC．
|AB| |AC|
(1)求角A；
(2)若△ABC外接圆的周长为 4 3π，求△ABC周长的取值范围，
【答案】(1)A= π
3
(2) (12,18]
【分析】(1)由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整
理化简可得；
(2)先求外接圆半径，结合 (1)和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可
得.
【详解】(1)
过点O作AB的垂线，垂足为D，
因为O是△ABC的外心，所以D为AB的中点

所以 AO

AB = AO cos∠OAD= c，同理
AO AC = b
|AB| 2 |AC| 2
所以 acos C- π3 =
c + b，由正弦定理边化角得：
2 2
26
sinA cosCcos π + sinCsin π = sinC+ sinB3 3 2
所以 sinAcosC+ 3sinAsinC= sinB+ sinC= sin(A+C) + sinC
整理得： 3sinAsinC- cosAsinC= sinC
因为C∈ (0,π)，所以 sinC> 0
所以 3sinA- cosA= 1，即 sin A- π = 16 2
又A∈ (0,π)，A- π ∈ - π , 5π6 6 6
所以A- π = π，得A= π
6 6 3
(2)
记△ABC外接圆的半径为R，
因为△ABC外接圆的周长为 4 3π，
所以 2Rπ= 4 3π，得 2R= 4 3
所以△ABC周长L= a+ b+ c= 2R(sinA+ sinB+ sinC) = 4 3 3 + sinB+ sinC2
由 (1)知B= 2π -C，
3
所以L= 4 3 3 + sin
2π -C + sinC = 12sin C+ π + 62 3 6
因为C∈ 0, 2π3 ，所以C+
π ∈ π , 5π6 6 6
所以 1 < sin
2 C+
π ≤ 16
所以 12< 12sin C+ π + 6≤ 18，即 12所以△ABC周长的取值范围为 (12,18]
题型十五 图形 2：角平分线型
【典例分析】
1. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，tanB+ tanC- 3tanBtanC+ 3 =
0．
(1)求角A的大小；

(2)若BD= 2DC，AD= 2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
【答案】(1)A= 60° (2) 3 3
2
【分析】(1)由两角和的正切公式化简后求解
(2)由AD是角平分线得到 c= 2b，再利用面积公式求解
【详解】(1)tanB+ tanC- 3tanBtanC+ 3= 0 tan(B+C) = tanB+ tanC- =- 3，故 tanA1 tanBtanC
= 3，则A= 60°；
(2)设BC边的高为 h，
27
所以S 1△ABD= AB×ADsin∠BAD= 1 BD× h，S 1△ABC= AC×ADsin∠DAC= 1 CD× h2 2 2 2
又AD是角平分线，所以∠BAD=∠DAC。所以 AB = BD，即 c= 2b，
AC DC
又S△ABC=S 1 1△ABD+S△ACD，则 bcsin60° = c 2sin30° + 1 b 2sin30°，2 2 2
解得 b= 3，c= 2 3，S = 1△ABC bcsin60° = 3 3．2 2
【技法指引】
三角形角平分线的处理方法：
S△ABC=S△ACD+S△ABD
AB AC
角平分线定理 (大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)： =
BD CD
【变式演练】
1. 已知△ABC π的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2asin C+ = b+ c．6
(1)求角A的大小；

(2)若 a= 7，BA AC =-3，∠A的平分线交边BC于点T，求AT的长．
【答案】(1)A= π
3
(2)AT= 6 3
5
【分析】(1)根据正弦定理及 sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC化简得到 3sinA- cosA
= 1，利用辅助角公式得到 sin A- π = 1 ，由A∈ 0,π 得到A= π ；6 2 3
(2)由向量的数量积运算法则和余弦定理求出 b= 3 b= 2 或 = = ，利用三角恒等变换和正弦定理进行c 2 c 3
求解，得到正确答案.
28
【详解】(1)2asin C+ π = b+ c，2asin C+ π = 3asinC+ acosC= b+ c，6 6
由正弦定理得： 3sinAsinC+ sinAcosC= sinB+ sinC，因为 sinB= sin A+C = sinAcosC+
cosAsinC，
所以 3sinAsinC+ sinAcosC= sinAcosC+ cosAsinC+ sinC，即 3sinAsinC= cosAsinC+
sinC，
因为C∈ 0,π ，所以 sinC≠ 0，
所以 3sinA- cosA= 1，即 2sin A- π = 1，sin A- π = 16 6 2
因为A∈ 0,π ，所以A- π ∈ - π , 5π ，6 6 6
A- π = π，解得：A= π .
6 6 3

(2)由 (1)知：A= π，所以BA AC =-bccosA=-3，即 cosA= 3 = 1 ，解得：bc= 6，
3 bc 2
2 2 2 2
由余弦定理得：cosA= b +c -7，所以 3 = b +c -7，解得：b2+c2= b= 3 b= 213，解得：
2bc bc 2bc 或 c= 2 c= 3
2 2 2
当 b= 3,c= 2得：cosB= a +c -b = 7+ 4- 9 = 7，则 sinB= 1- cos2B = 3 21，
2ac 4 7 14 14
所以 sin∠ATB= sin B+ π = sinBcos π + cosBsin π = 3 21 × 3 + 7 × 1 = 5 7，6 6 6 14 2 14 2 14
在三角形ABT中，由正弦定理得：AT = AB∠ ，，即
AT = 2 ，解得：AT= 6 3；
sinB sin ATB 3 21 5 7 5
14 14
当 b= 2,c= 3时，同理可得：AT= 6 3；综上：AT= 6 3
5 5
题型十六 图形 3：中线型
【典例分析】
3(b- ccosA)
1. = 3a a = 1 tanC在① ，② + 1 π，③ csinB= bcos C- 这三个条件中任sinC b 2 tanB 6
选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为 a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 10 3，D为AC的中点，求BD的最小值．
【答案】(1) π (2)2 5
3
【分析】(1)选①时，利用正弦定理边化角得 sinB- sinCcosA= 3 sinAsinC，又 sinB= sin(A+
3
C)，代入整理得 sinAcosC= 3 sinAsinC，化简即可求解；选②时，利用正弦定理边化角得 sinA =
3 sinB
sin(B+C)
，又 sin(B+C) = sinA，代入整理得 2sinAcosCsinB= sinBsinA，化简即可求解；选③
2cosCsinB
时，利用正弦定理边化角得 sinCsinB= sinBcos C- π ，即 sinC= cos C- π ，再利用两角差的6 6
29
余弦公式展开得 sinC= 3 cosC+ 1 sinC，化简即可求解；(2)根据面积公式得 ab= 40，再利用余
2 2
2
弦定理得BD2= a2+ b - 1 ab，再利用基本不等式求最值即可.
4 2
【详解】(1)
3(b- ccosA)
选①时， = 3a，利用正弦定理得：sinB- sinCcosA= 3 sinAsinC，
sinC 3
由于B= π- (A+C)，所以 sinB= sin(A+C)，故 sinAcosC= 3 sinAsinC，
3
又A∈ 0,π ，sinA≠ 0，整理得 tanC= 3，
03
sin(B+C)
选②时，a = 1 tanC + 1 ，利用正弦定理得：sinA = 1 sinCcosB + 1b 2 tanB sinB 2 cosCsinB = ，2cosCsinB
由于A+C+B= π，所以 sin(B+C) = sinA，即 2sinAcosCsinB= sinBsinA，
又A∈ 0,π ，sinA≠ 0，B∈ 0,π ，sinB≠ 0，故 cosC= 1 ，02 3
选③时，csinB= bcos C- π ，利用正弦定理得：sinCsinB= sinBcos C- π ，6 6
又B∈ 0,π ，sinB≠ 0，整理得 sinC= cos C- π = 3 cosC+ 1 sinC．6 2 2
所以 sinC= 3cosC，整理得 tanC= 3，03
(2)
由于△ABC的面积为 10 3，所以，1 absinC= 1 ab 3 = 10 3，解得 ab= 40．
2 2 2
2 2
在△BCD中，由余弦定理得：BD2= a2+ b - abcosC= a2+ b - 1 ab≥ 2a b - 1 ab= 1 ab= 20，
4 4 2 2 2 2
故BD≥ 2 5，当且仅当 a= 1 b，即 a= 2 5，b= 4 5，BD的最小值为 2 5．
2
【技法指引】
中线的处理方法：
1 2 1 2
1.向量法：AD= (AB+AC) AM = AB +2AB AC +AC
2
2 4
2.余弦定理法 (补角法)：
如图设BD=DC，
30
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2×AD×BD× cos∠ADB，①
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2×AD×DC× cos∠ADC，②
因为∠AMB+∠AMC= π，所以 cos∠ADB+ cos∠ADC= 0
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【变式演练】
1. 在△ABC中；内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 b 2sinA- 3cosA = asinB.
(1)求A；
(2)若 a= 2，点D为BC的中点，求AD的最大值.
【答案】(1)A= π (2) 3
3
【分析】(1)根据正弦定理可知 b 2sinA- 3cosA = bsinA，由此可知 sinA- 3cosA= 0，进而求
出A.
(2)由 (1)结合余弦定理可知 b2+c2= bc+ 4，对其使用基本不等式可知 bc≤ 4，根据三角形中线的向

量表示可知AD= 1 AB+AC ，对其两边平方，根据平面向量数量积公式以及基本不等式可知AD2
2= 2bc+ 4，由此即可求出结果.
4
【详解】(1)
解：在△ABC中，由正弦定理得 asinB= bsinA.
因为 b 2sinA- 3cosA = asinB，所以 b 2sinA- 3cosA = bsinA.
又 b≠ 0，所以 sinA- 3cosA= 0，所以 tanA= 3.
因为△ABC中，03
(2)
解：在△ABC中，由 a= 2,A= π 及余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA，
3
得 4= b2+c2-bc，
所以 b2+c2= bc+ 4≥ 2bc，所以 bc≤ 4，当且仅当 b= c= 2时等号成立.
又点D为BC的中点，所以
31
2= AB+AC
2
= AB
2+AC2+2AB AC 2
AD = c +b
2+bc = 2bc+ 4 ≤ 3，
2 4 4 4

所以 AD max= 3，即AD的最大值为 3.
题型十七 图形 4：三角形高型
【典例分析】
2 2
1. 从①A为锐角且 sinB- cosC= c -a ；② b= 2asin
2ab C+
π 这两个条件中任选一个，填入横6
线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为 a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若 b= 3 c且BC边上的高AD为 2 3，求CD的长．
4
【答案】(1)条件选择见解析，A= π
6
(2)3
【分析】(1)在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.
(2)根据三角形的面积公式可得 a,b,c的关系，在△ABC中运用余弦定理可求出 a,b,c的值，然后根
据边的长度用余弦定理求角，即可求解.
【详解】(1)选①
2 2
因为 sinB- cosC= c -a ，所以 2absinB= c2-a2+2abcosC，
2ab
由余弦定理得，c2= a2+b2-2abcosC，所以 2absinB= b2，即 2asinB= b
由正弦定理得 2sinAsinB= sinB
在△ABC中，有 sinB> 0，故 sinA= 1
2
由A为锐角，得A= π
6
选②
因为 b= 2asin C+ π ，由正弦定理得 sinB= 2sinAsin C+ π6 6
即 sin(A+C) = 2sinAsin C+ π 6
化简得 cosAsinC= 3sinAsinC
在△ABC中，有 sinC> 0，由A为锐角得 cosA≠ 0，
所以 tanA= 3，得A= π
3 6
(2)由题意得，S 1 1 1△ABC= a× 2 3= bcsinA= bc，所以，bc= 4 3a2 2 4
又 b= 3 c，所以 c2= 16a,b2= 3a
4
b2+c2-a2 2由余弦定理 cos∠BAC= = 3a+ 16a- a = 3，解得 a= 7,c= 4 7,b= 21
2bc 2× 4 3a2 2
a2 2 2所以，cos∠BCA= +b -c = 49+ 21- 16× 7 =- 21，
2ab 2× 7 21 7
32
所以△ABC是钝角三角形
所以 cos∠ACD=-cos∠BCA= 21，所以 tan∠ACD= 2 3
7 3
在直角△ACD中，CD= AD = 2 3 × 3 = 3
tan∠ACD 2
【技法指引】
三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如S= 1 bcsinA= 1 BC×AD= 1 c2
2 2 2
2.三角函数法：
在ΔBCD中，BD=ABcos∠ABD,AD=ABsin∠ABD,
【变式演练】
1. △ABC A B C a b c 2cosB cosA cosC在 中，角 ， ， 的对边分别是 ，，，且满足 = + ．
ac ab bc
(1)求B；
(2)若 b= 6，BD是AC边上的高，求BD的最大值．
【答案】(1) π (2) 3 2
3 2
【分析】(1)将 2cosB = cosA + cosC 两边同乘 abc，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦
ac ab bc
公式及诱导公式计算可得；
(2)利用余弦定理及基本不等式求出 ac的最大值，即可求出面积的最大值，再根据S 1△ABC= AC 2
BD求出BD的最大值.
【详解】(1)解：因为 2cosB = cosA + cosC，
ac ab bc
所以 2bcosB= ccosA+ acosC，
由正弦定理可得 2sinBcosB= sinCcosA+ sinAcosC，
即 2sinBcosB= sin C+A = sinB，
因为B∈ 0,π ，所以 sinB> 0，
所以 cosB= 1 ，则B= π .
2 3
(2)解：因为 b= 6，B= π，
3
33
由余弦定理 b2= a2+c2-2accosB，即 6= a2+c2-ac，
所以 a2+c2= 6+ ac≥ 2ac当且仅当 a= c时取等号，
所以 ac≤ 6，则S 1 3△ABC= acsinB= ac≤ 3 3，当且仅当 a= c= 6时取等号，2 4 2
所以 S = 3 3，又S = 1 △ABC max 2 △ABC AC BD，2
2× 3 3
所以BD= 2S△ABC = 2S△ABC ≤ 2 = 3 2，
AC 6 6 2
故BD的最大值为 3 2 .
2
题型十八 图形 5：双三角形型
【典例分析】
1. 在△ABC中.AB=AC，D为BC边上的一点，∠DAC= 90°，再从下列三个条件中选择两个作
为已知，求△ABD的面积及BD的长.
①AB= 6；② cos∠BAC=- 1 ；③CD= 3 6.
3
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【答案】3 2，BD= 6.
【分析】根据所选条件，结合余弦定理求BC、CD，即可得BD的长，结合二倍角余弦公式或直角三角
形求 sinB，最后利用三角形面积公式求面积.
【详解】选①②：因为AB=AC= 6，cos∠BAC=- 1 ，
3
所以∠BAC∈ π ,π ，∠B=∠C，BC2=AB2+AC2-2AB AC cos∠BAC= 96.2
所以BC= 4 6，且 sinC= sinB= 1+ cos∠BAC = 3 .
2 3
在Rt△ACD中，DC= AC = 6 = 3 6，
cosC 1- sin2C
所以BD=BC-CD= 6，
所以△ABD的面积为 1 BD×AB× sinB= 3 2.
2
选择①③：因为∠DAC= 90°，AB=AC= 6，CD= 3 6，
所以 cosB= cosC= AC = 6，
DC 3
所以AB2=BC2+AC2-2BC AC cosC，即BC= 4 6，
所以BD=BC-CD= 6，则△ABD的面积为 1 BD×AB× sinB= 3 2.
2
选择②③：因为AB=AC，cos∠BAC=- 1 ，
3
34
所以 sinC= sinB= 1+ cos∠BAC = 3，
2 3
因为∠DAC= 90°，CD= 3 6，则AC=DC cosC= 3 6 × 1- sin2C = 6，
所以BC= AB2+AC2-2AB AC cos∠BAC = 4 6，故BD=BC-CD= 6，
所以△ABD的面积为 1 BD×AB× sinB= 3 2.
2
【变式演练】
1. 如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD= π ，AB= 1，∠ABC= 3π .
2 4
(1)当BC= 2，CD= 7 时，求△ACD的面积；
(2) ∠ADC= π当 ，AD= 2时，求 cos∠ACD.
6
【答案】(1) 3 14；(2)cos∠ACD= 3 .
4 3
【分析】(1)利用余弦定理求出AC，cos∠ACB，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.
(2)在△ABC和△ACD中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.
【详解】(1)
当BC= 2时，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB BCcos∠ABC，
2 2 2
即AC2= 3- 2 2cos 3π = 5，解得AC= 5，cos∠ACB= AC +BC -AB = 3 10 ，4 2AC BC 10
因为∠BCD= π，则 sin∠ACD= cos∠ACB= 3 10，又CD= 7，
2 10
所以△ACD的面积是S = 1 AC CDsin∠ACD= 1 5 × 7 × 3 10 3△ACD = 14.2 2 10 4
(2)
ABsin 3π
在△ABC中，由正弦定理得 AB = AC ，即AC= 4 = 2 ，
sin∠ACB sin∠ABC sin∠ACB 2cos∠ACD
AD AC ADsin
π
在△ACD中，由正弦定理得 6 1
sin∠ = ，即AC= =ACD sin∠ADC sin∠ACD sin∠ ，ACD
则 2 = 1 ，整理得 sin∠ACD= 2cos∠ACD，而 sin2∠ACD+ cos2∠ACD= 1，
2cos∠ACD sin∠ACD
∠ACD为锐角，
所以 cos∠ACD= 3 .2.
3
二、 好题演练
35
好题演练
1. (2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c为边长
3 1
的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3= ,sinB= ．2 3
(1)求△ABC的面积；
(2)若 sinAsinC= 2 ，求 b．
3
【答案】(1) 2 (2) 1
8 2
【分析】(1)先表示出S1,S 3 2 2 22,S3，再由S1-S2+S3= 求得 a +c -b = 2，结合余弦定理及平方关系求2
得 ac，再由面积公式求解即可；
2
(2)由正弦定理得 b = ac ，即可求解.
sin2B sinAsinC
【详解】(1)由题意得S = 11 a2 3 = 3 a2,S 3 2 3 2 3 22= b ,S3= c，则S1-S2+S3= a - 3 b22 2 4 4 4 4 4
+ 3 c2= 3，
4 2
2 2 2
即 a2+c2-b2= 2，由余弦定理得 cosB= a +c -b ，整理得 accosB= 1，则 cosB> 0，又 sinB= 1 ，
2ac 3
2
则 cosB= 1- 1 = 2 2，ac= 1 = 3 2，则S 1△ABC= acsinB= 2；3 3 cosB 4 2 8
3 2
2
(2)由正弦定理得： b = a = c ，则 b = a c = ac = 4 = 9，则
sinB sinA sinC sin2B sinA sinC sinAsinC 2 4
3
b = 3，b= 3 sinB= 1 .
sinB 2 2 2
2. ( 2022 ·全国 ·统考高考真题 ) 记 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ﹐已知
sinCsin A-B = sinBsin C-A ． (1)若A= 2B，求C；(2)证明：2a2= b2+c2
【答案】(1) 5π；(2)证明见解析．
8
【分析】(1)根据题意可得，sinC= sin C-A ，再结合三角形内角和定理即可解出；
(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得 sinC sinAcosB- cosAsinB =
sinB sinCcosA- cosCsinA ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】(1)由A= 2B，sinCsin A-B = sinBsin C-A 可得，sinCsinB= sinBsin C-A ，而 0
0，而 02
-A，所以，C+C-A= π，而A= 2B，A+B+C= π，所以C= 5π．
8
(2)由 sinCsin A-B = sinBsin C-A 可得，
sinC sinAcosB- cosAsinB = sinB sinCcosA- cosCsinA ，再由正弦定理可得，
accosB- bccosA= bccosA- abcosC，然后根据余弦定理可知，
1 a2+c2-b2 - 1 b2+c2-a2 = 1 12 2 2 b
2+c2-a2 - a2+b2-c22 ，化简得：2a
2= b2+c2，故原等式成立．
36
3. (2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 sinCsin(A-B) =
sinBsin(C-A)． (1)证明：2a2= b2+c2；
(2)若 a= 5,cosA= 25 ，求△ABC的周长．
31
【答案】(1)见解析 (2)14
【分析】(1)利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
(2)根据 (1)的结论结合余弦定理求出 bc，从而可求得 b+ c，即可得解.
【详解】(1)证明：因为 sinCsin A-B = sinBsin C-A ，
所以 sinCsinAcosB- sinCsinBcosA= sinBsinCcosA- sinBsinAcosC，
2 2
所以 ac a +c -b
2 2 2
- 2bc b +c -a
2 2 2 2
=-ab a +b -c ，
2ac 2bc 2ab
2 2
即 a +c -b
2 2 2 2
- b2+c2-a2 =- a +b -c ，所以 2a2= b2+c2；2 2
(2)解：因为 a= 5,cosA= 25，由 (1)得 b2+c2= 50，由余弦定理可得 a2= b2+c2-2bccosA，
31
则 50- 50 bc= 25，所以 bc= 31，故 b+ c 2= b2+c2+2bc= 50+ 31= 81，
31 2
所以 b+ c= 9，所以△ABC的周长为 a+ b+ c= 14.
4. (2023· π福建·统考模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 b= 2csin A+ 6 .
(1)求C；

(2)若 c= 1，D为△ABC的外接圆上的点，BA BD=BA2，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1) π；(2) 3 + 1.
6 2
【分析】(1)根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出 tanC= 3，进而根据角的范围得
3
出答案；
(2)解法一：由已知可推出BC⊥CD，然后根据正弦定理可求出 2R= 2，进而求出BD= 2，AD=
3.设BC= x，CD= y，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向
量，推出BC⊥CD，然后同解法一求得AD= 3.设∠CBD= θ，表示出四边形的面积，根据 θ的范
围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD= 3，设点C到BD的距离为 h，表示出四边形的面积，
即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD是⊙O的直径，然后表示出四
边形的面积，即可推出答案.
【详解】(1)因为 b= 2csin A+ π ，在△ABC中，由正弦定理得，sinB= 2sinCsin A+ π .6 6
又因为 sinB= sin π-A-C = sin A+C ，所以 sin A+C = 2sinCsin A+ π ，6
展开得 sinAcosC+ cosAsinC= 2sinC 3 sinA+ 1 cosA ，即 sinAcosC- 3sinCsinA= 0，2 2
因为 sinA≠ 0，故 cosC= 3sinC，即 tanC= 3 .又因为C∈ 0,π ，所以C= π .
3 6
(2)解法一：如图 1

设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为BA BD=BA2，所以BA BD-BA = 0，即BA
37

AD= 0，所以DA⊥BA，故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD.在△ABC中，c= 1，2R=
c
∠ =
1 = 2，所以BD= 2.
sin BCA sin π6
在△ABD中，AD= BD2-AB2= 3.设四边形ABCD的面积为S，BC= x，CD= y，则 x2+y2= 4，
2 2
S=S 1△ABD+S△CBD= AB AD+ 1 BC CD= 3 + 1 xy≤ 3 + 1
x +y = 3 + 1，
2 2 2 2 2 2 2 2
当且仅当 x= y= 2时，等号成立.所以四边形ABCD面积最大值为 3 + 1.
2

解法二：如图 1设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为 λBA，

所以BA BD=BA λBA = λ BA 2 .又BA BD=BA2= BA 2，所以 λ= 1，

所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA⊥BA.
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD.在△ABC中，c= 1，2R= c = 1 = 2，所以BD
sin∠BCA sin π6
= 2，
在△ABD中，AD= BD2-AB2= 3.设四边形ABCD的面积为S，∠CBD= θ，θ∈ 0, π ，2
则CB= 2cosθ，CD= 2sinθ，所以S=S 1 1 3△ABD+S△CBD= AB AD+ CB CD= + sin2θ，2 2 2
当 2θ= π 时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为 3 + 1.
2 2
解法三：如图 1设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，

因为BA BD=BA2，所以BA BD-BA = 0，即BA AD= 0，
所以DA⊥BA.
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD.
在△ABC中，c= 1，2R= c∠ =
1 = 2，所以BD= 2.
sin BCA sin π6
在△ABD中，AD= BD2-AB2= 3.
设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为 h，
则S=S 1 1 3△ABD+S△CBD= AB AD+ BD h= + h，2 2 2
当 h=R= 1时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为 3 + 1.
2
解法四：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，
在△ABC中，c= 1，2R= c∠ =
1 = 2，故△ABC外接圆⊙O的半径R= 1.即OA=OB
sin BCA sin π6
38
=AB= 1，所以∠AOB= π .如图 2，以△ABC外接圆的圆心为原点，OB所在直线为 x轴，建立平面
3
直角坐标系 xOy，
则A 1 , 32 2 ，B 1,0 .
因为C，D为单位圆上的点，设C cosα,sinα ，D cosβ,sinβ ，其中 α∈ 0,2π ，β∈ 0,2π .

所以BA= - 1 , 3 ，BD= 2 1 cosβ- 1,sinβ ，代入BA BD=BA，即BA BD= 1，可得- cosβ2 2 2
+ 1 + 3 sinβ= 1，即 sin β- π = 1 .由 β∈ 0,2π 可知 β- π ∈ - π , 11π ，2 2 6 2 6 6 6
所以解得 β- π = π 或 β- π = 5π，即 β= π 或 β= π.当 β= π 时，A，D重合，舍去；当 β= π时，
6 6 6 6 3 3
BD是⊙O的直径.设四边形ABCD的面积为S，则S=S 1 3 1△ABD+S△CBD= BD + BD sinα 2 2 2
= 3 + sinα ，
2
由 α∈ 0,2π 知 sinα ≤ 1，所以当 α= 3π 时，即C的坐标为 0,-1 时，S最大，
2
所以四边形ABCD面积最大值为 3 + 1.
2
5. (2023 ·山西 ·校联考模拟预测)已知函数 f x = Asin ωx+ A> 0,ω> 0 的图象是由 y =
2sin ωx+ π π的图象向右平移 个单位长度得到的.6 6
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 的图象与 y轴距离最近的对称轴方程；
(2) f x π , 3π若 在 上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.2 2
【答案】(1)x=- π (2) 5 , 116 8 8
【分析】(1)由三角函数的图象变换及对称性质即可判定；
(2)利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可.
【详解】(1)由 2π = π，得ω= 2，所以 f x = 2sin 2 x- π + π = 2sinω 6 6 2x-
π ，
6
令 2x- π = kπ+ π，k∈Z，解得 x= kπ + π，k∈Z，取 k= 0，得 x= π，取 k=-1，得 x=- π，
6 2 2 3 3 6
因为 - π < π ，所以与 y轴距离最近的对称轴方程为 x=- π .6 3 6
1-ω π 1-ω π
(2)由已知得 f x = 2sin ω x- π + π = 2sin ωx+ ，令ωx+ = kπ，k∈Z，解6 6 6 6
39
得 x= 6k+ω- 1 π，k∈Z.因为 f π 3π x 在
6ω
,
2 2

上有且仅有一个零点，所以
π ≤ 6k+ω- 1π≤ 3π
2 6ω 26k+ω- 7 π
6ω π< 2 k∈Z
6k+ω+ 5 3π6ω π> 2
6k- 1- -
6k- 1 ≥ 0
6k 1
8 ≤

ω≤ 6k- 1 2 8
所以 2
1 33
6k- 16k- 7 6k+ 5 .因为ω> 0，所以 > 0 ，解得 < k< ，k∈Z，所以 k=<ω< 2 6 182 8 6k+ 5 6k- 78 - 2 > 0
1，
解得 5 ≤ω< 11，即ω的取值范围为 5 ,
11
8 8 8 8 .
6. (2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别
为 a，b，c，且 3asinB= 2bcos2B+C．
2
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD= 1，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1) 2π (2) 3
3
【分析】(1)通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.

(2)将中线AD= 转化为向量 AB+AC1 的模长，从而求出 |AB||AC|的最大值，即可求出面积的最
2
大值.
【详解】(1)依题意有 3asinB= 2bcos2B+C = (1- cosA)b.
2
∴ 3sinAsinB= (1- cosA)sinB，又 sinB≠ 0，∴ 3sinA= 1- cosA，又 sin2A+ cos2A= 1，
解得 sinA= 3 ,cosA=- 1 ，A∈ 0,π ，∴A= 2π；
2 2 3
( AB+AC

2)因为 |AD| = = 1,|AB+AC| = 2,所以 |AB|2+|AC|2+2|AB||AC|cos 2π = |AB|22 3

+|AC|2-|AB|AC| = 4≥ |AB||AC|，

∴ (|AB||AC|)max= 4,当且仅当 |AB| = |AC| = 2时成立，故△ABC面积的最大值为S=
1 |AB||AC|sinA= 3.
2
7. (2023·陕西西安·校联考一模)在△ABC中，点D在边AC上，且AD= 2CD,BD=AC．
(1)若BD sin∠ABD平分∠ABC，求
sin∠ 的值；BDC
(2)若AB,AC,BC成递增的等比数列，AC= 6，求△ABC的面积．
【答案】(1) 22 (2) 95
11 4
【分析】(1)运用余弦定理求出CD,BC 的关系，再运用正弦定理求解；
(2)运用余弦定理求出AB，BC的值，再求出 sin∠B ，用面积公式计算即可.
40
【详解】(1)
设CD=m，则AD= 2m,BD=AC= 3m，
因为BD平分∠ABC，所以 AB = AD = 2，设BC=n，则AB= 2n，
BC CD
AB2 2在△ABC中，cosA= +AC -BC
2
= 3n
2+9m2，在△ABD 中，cosA= AB
2+AD2-BD2
=2AB AC 12mn 2AB AD
4n2-5m2，
8mn
2
由 3n +9m
2
= 4n
2-5m2，得n2= 11m2，sin∠ABD = sin∠CBD = CD = m = 22；
12nm 8mn 2 sin∠BDC sin∠BDC BC n 11
(2)因为AB,AC,BC成递增的等比数列，AC= 6，所以AB BC=AC2= 6，
26 2
AD2+BD2-AB2 3 -AB在△ABD 中，cos∠ADB= = ，在△BCD 中，cos∠BDC=2AD BD 8
20 -BC2 26 -AB2 20 2BD2+CD2-BC2 = 3
-BC
，因为 cos∠ADB+ cos∠BDC= 0，所以 3 + 3 = 0，
2BD CD 4 8 4
整理得AB2+2BC2= 22，又AB BC= 6，所以 36 + 2BC2= 22 ，解得BC= 2或BC= 3，
BC2
若BC= 2，则AB= 3 2>BC，不符合题意，
2 2 2
若BC= 3，则AB= 2，符合题意，此时 cos∠ABC= AB +BC -AC = 7 ，
2AB BC 12
则 sin∠ABC= 95 ,△ABC 的面积S= 1 AB BCsin∠ABC= 95 .
12 2 4
8. (2023·云南红河·统考二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2sinB= sinA
+ sinC．
(1) π证明：03
(2)求 sinB cos2B的最大值．
【答案】(1)证明见解析 (2) 6【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理结合基本不等式
9
求出 cosB的范围，即可得B的范围，即可得证；
(2)根据二倍角的余弦公式可得 sinB cos2B= sinB- 2sin3B，设 t= sinB，0< t≤ 3，构造函数
2
f t = t- 2t3，利用导数求出函数的最值即可.
【详解】(1)因为 2sinB= sinA+ sinC，所以 2b= a+ c，
a2+c2 a+ c 2a2+c2-b2 - 2 3 a2+c2 - 2ac因为 cosB= = = ≥ 6ac- 2ac = 1 ，
2ac 2ac 8ac 8ac 2
即 cosB≥ 1 ，当且仅当 a= c时，等号成立，又因为B∈ 0,π ，所以 02 3
(2)sinB cos2B= sinB 1- 2sin2B = sinB- 2sin3B，设 t= sinB，则 sinB cos2B= t- 2t3，
41
因为 03 2 2 6
当 t∈ 0, 6 ，f t > 0，f t 单调递增；当 t∈ 6 , 3 ，f t < 0，f t 单调递减，6 6 2
当 t= 6 时，f t 6 取得最大值为 ，所以 sinB cos2B的最大值为 6 .
6 9 9
9. (2023·河南新乡·统考二模)如图，在△ABC中，D，E在BC上，BD= 2，DE=EC= 1，∠BAD=
∠CAE．
(1) sin∠ACB求 的值；
sin∠ABC
(2)求△ABC面积的取值范围．
【答案】(1) sin∠ACB
sin∠ = 3；2) (0,4 3].ABC
【分析】(1)根据三角形面积公式结合条件可得 AB AD = 2 ，AB AE = 3，进而可得 AB =
AC AE 1 AC AD 2 AC
3，然后利用正弦定理即得；
(2)设AC= x，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的
性质结合条件即得.
【详解】(1)因为BD= 2，DE=EC= 1，∠BAD=∠CAE，
1
S 2AB AD sin∠BAD
1
所以 △ABD = = AB AD 2 S 2
AB AE sin∠BAE
△ABE
S△AEC 1AC AE sin∠EAC AC
= ， = =
AE 1 S△ADC 1
2 2AC AD sin∠DAC
AB AE = 3，
AC AD 2
故 AB
2
= 3，即 AB = 3，则在△ABC中，根据正弦定理可得，sin∠ACB = AB = 3；
AC2 AC sin∠ABC AC
(2)设AC= x，则AB= 3x，由 x+ 3x> 4, - < 解得 2( 3- 1)< x< 2( 3+ 1)，3x x 4,
2 2 2
在△ABC中，cos∠ABC= AB +BC -AC = x
2+8
，则 sin
2∠ABC= 1- cos2∠ABC=
2AB BC 4 3x
-x4+32x2-64，
48x2
4 2 2 2
S2 1
2 - x -16 +192
△ABC= AB BCsin∠ABC = -x +32x -64 = ，由 2( 3- 1)< x< 2( 3+2 4 4
1)，得 16- 8 3< x2< 16+ 8 3，则 010. (2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是 a、b、c，
C= π ．
3
(1)若BC 3边上的高等于 a，求 cosA；
3
42

(2)若CA CB= 2，求AB边上的中线CD长度的最小值．
【答案】(1) 7 (2) 3
14
【分析】(1)先求得AB,AC(用 a表示)，然后利用余弦定理求得 cosA.
(2)先求得 ab，利用向量法求以及基本不等式求得CD长度的最小值.
【详解】(1)过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE= 3 a，
3
3 a 2 2
CE= AE = 3 = a ,AC= 2CE= 2 a，BE= a- a = 2a ,AB=
π 3 3 3 3 3
2a + 3 a = 7 a，
tan 3 3 33
7 a2+ 4 a2-a2
在三角形ABC中，由余弦定理得 cosA= 9 9 = 7 .
2× 7 a× 23 3 a
14

(2)CA CB= 2= abcos π = 1 ab,ab= 4，
3 2

CD= 1 CA+CB ，两边平方得CD2= 1 CA+CB 2 = 1 a2+b2+42 4 4
≥ 1 2ab+ 4 = 3，当且仅当 a= b= 2时等号成立，所以CD的最小值为 3.
4
43三角函数与解三角形大题归类
目录
重难点题型归纳 1
【题型一】恒等变形 1
【题型二】零点与对称性 4
【题型三】恒成立求参 6
【题型四】图像与解析式型 9
【题型五】利用正弦定理求角 12
【题型六】利用余弦定理求角型 14
【题型七】最值 1：面积最值型 16
【题型八】最值 2：锐钝角限制型最值 18
【题型九】最值 3：周长最值型 20
【题型十】最值 3：比值最值型 22
【题型十一】最值 4：系数不一致型 23
【题型十二】最值 5：角非对边型 26
【题型十三】最值 6：四边形面积型 28
【题型十四】图形 1：外接圆型 29
【题型十五】图形 2：角平分线型 32
【题型十六】图形 3：中线型 34
【题型十七】图形 4：三角形高型 37
【题型十八】图形 5：双三角形型 40
好题演练 42
一、 重难点题型归纳
重难点题型归纳
题型一 恒等变形
【典例分析】
1. 已知函数 f x = 2cosx sinx- cosx + 1,x∈R．
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)将函数 y= f x π 的图象向左平移 个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐
4
标不变，得到函数 y= g x 的图象，求 g x 的最大值及取得最大值时的 x的集合．
1
【变式演练】
1. 设函数 f(x) = 3 - 3sin2ωx- sinωxcosωx(ω> 0)，且 y= f(x)的图象的一个对称中心到最近
2
π
的对称轴的距离为 ，
4
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)求 f(x) π, 3π在区间 上的最大值和最小值.2
题型二 零点与对称性
【典例分析】
1. 已知函数 f x = 2sin x- π sin x+ π + 2 3cos2 x- π - 3.3 6 3
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若函数 g x = f 2x - a在区间 0,
7π
12

上恰有 3个零点 x1,x2,x3 x1< x2< x3 ，
(i)求实数 a的取值范围；
(ii)求 sin 2x1+x2-x3 的值.
2
【变式演练】
1. 已知 f(x) = sin2x+ 1
sinx+ ．cosx+ 2
(1)求函数 f(x)的值域；
(2)若方程 f(x) = 8 0, 45π在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 x1,x3 4 2, ,xn，求 x1+2x2
+2x3+ +2xn-1+xn的值．
题型三 恒成立求参
【典例分析】
1. 已知函数 f(x) = 2sinxcos x+ π + 3 .3 2
1 求函数 f(x)的最小正周期；
2 若 f(x) +m≤ 0对 x∈ 0,
π
2

恒成立，求实数m的取值范围.
3
【变式演练】
1. 已知向量m= cos x ,2cos x ，n= 2cos x , 3sin x ，设 f x =m n .2 2 2 2
(1)若 f x = 2，求 x的值；
(2)设 g x 3 = f x - 1 sinx- ，且 m- g x 2 < g x + 3对任意的 x∈ - π ,
π 均成立，求2 4 4
实数m的取值范围.
4
题型四 图像与解析式型
【典例分析】
1. 已知函数 f(x) =Asin(ωx+ φ) +B A> 0,ω> 0,|φ| < π 的部分图象如图所示．2
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2) π将函数 y= f(x)的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为
12
13π
原来的 2倍 (纵坐标不变)，得到函数 y= g(x)的图象．当 x∈ 0,

时，方程 g(x) - a= 0恰有三6
个不相等的实数根 x1,x2,x3 x1< x2< x3 ，求实数 a的取值范围和 x1+2x2+x3的值．
5
【变式演练】
1. 已知函数 f(x) =Asin(ωx+ φ) +B A> 0,ω> 0,|φ| < π 的部分图象如图所示.2
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)将函数 y= f(x) π图象上所有的点向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变
4
为原来的 2倍 (纵坐标不变)，得到函数 y= g(x) . x∈ 0, 13π的图象 当 时，方程 g(x) - a= 0恰有三6
个不相等的实数根，x1,x2,x3 x1< x2< x3 ，求实数 a的取值范围以及 x1+2x2+x3的值.
6
题型五 利用正弦定理求角
【典例分析】
1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c b，已知 = 2cos π -C ．a 3
(1)求A；
(2)若△ABC 3 3的面积为 ，b= 2，求 a．
2
【变式演练】
1. △ABC A B C a b c 1+ tanC 2b在 中，角 、 、 所对的边分别为 、、，且 = ．
tanA a
(1)求角C；
(2) cosA= 2若 ，b= 2，求△ABC的面积．
10
7
题型六 利用余弦定理求角型
【典例分析】
1. 记锐角△ABC的内角为A,B,C，已知 sin2A= sinBsinC.
(1)求角A的最大值；
(2)当角A取得最大值时，求 2cosB+ cosC的取值范围.
【变式演练】
1. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，sinB 1+ cosA = sinA 2- cosB .
(1)求角A的最大值；
(2)若△ABC的面积为 6，a= 4，且 b> c，求 b和 c的值.
8
题型七 最值 1：面积最值型
【典例分析】
1. 3在三角形△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，且 sinA= ,b= 4,c≥ b> a．
5
(1)从下列中选择一个证明：
a = b
2
cosA= b +c
2-a2
①证明： ；②证明：
sinA sinB 2bc
(2)求三角形△ABC面积的最小值．
【变式演练】
1. △ABC 3的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 sinAcosB- sinC= sinAsinB．
3
(1)求A；
(2)若 a= 2 3，求三角形面积的最大值．
9
题型八 最值 2：锐钝角限制型最值
【典例分析】
1. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 2b- c= 2acosC.
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，边 c= 2，求△ABC面积的取值范围.
【变式演练】
2
1. ABC A B C a b c sinA - 1= sin A- sin
2C
已知锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ，，，且满足 ，
sinC sin2B
A≠C.
(1) 1 + a求 的取值范围；
cosC b
(2)若 a= 2，求三角形ABC面积的取值范围.
10
题型九 最值 3：周长最值型
【典例分析】
1. 已知函数 f(x) = 3sinωxcosωx- sin2ωx+ 1 ，其中 ω> 0，若实数 x
2 1
,x2满足 f x1 - f x2 =
2 π时， x1-x2 的最小值为 ．2
(1)求ω的值及 f(x)的对称中心；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 f(A) =-1,a= 3，求△ABC周长的取值范
围．
【变式演练】
1. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 bsinB+ asinA= bsinA+ csinC.
(1)求角C；
(2)若 c= 2 3，求 a+ b的取值范围.
11
题型十 最值 3：比值最值型
【典例分析】
2 2
1. △ABC a -b a
2+b2-c2
记 的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 = .
c2 ab
(1)若C= π，求A，B；
4
(2)若△ABC a为锐角三角形，求 的取值范围.
bcos2B
【变式演练】
1. 在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 a+ b b= c2.
(1)求证：C= 2B；
(2) a+ 4b求 的最小值.
bcosB
12
题型十一 最值 4：系数不一致型
【典例分析】
1. c- a请在①向量 x= + ,sinB ，y
= b- c+ ,sinA x
∥ y π，且 ；② 3b= 2csin A+ 这两个条b c c a 3
件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为 a，b，c，．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为 2 3，求 2a+ b的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式演练】
1. 在① 2c- a sinC = b2+c2-a2 sinB A-C ，② cos2 - cosAcosC = 3 3c，③ = tanA +
b 2 4 bcosA
tanB这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b= 2 3， ．
(1)求角B﹔
(2)求 2a- c的范围．
13
题型十二 最值 5：角非对边型
【典例分析】
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 (2a- c)sinA+ (2c- a)sinC= 2bsinB．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 c= 2，求△ABC周长的取值范围．
【变式演练】
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，满足 bsinA= asin B+ π
3


(1)设 a= 3，c= 2，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求BE EA的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，c= 2，求△ABC面积的取值范围．
14
题型十三 最值 6：四边形面积型
【典例分析】
1. 如图，平面四边形ABCD中，AB=BD=DA,BC= 1,CD= 3,∠BCD= θ.
(1) π若 θ= ，求BD的值；
6
(2)试问 θ为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？
【变式演练】
1. 如图，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，2bcosA= 2c- a.
(1)求角B；
(2)若 sinA sinC= sin2B，AD=CD= 2，求四边形ABCD面积的最大值.
15
题型十四 图形 1：外接圆型
【典例分析】
1. 从① csinC- asinA= 3c- b sinB；② sin2A+ 3cos2A= 3条件中任选一个，补充到下
面横线处，并解答
：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，AB= 2 3.
(1)求角A；
(2)若△ABC 11外接圆的圆心为O，cos∠AOB= ，求BC的长.
14
注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.
【变式演练】
1. 在 △ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，点 O是 △ABC的外心，acos C- π =
3
AO AB + AO AC．
|AB| |AC|
(1)求角A；
(2)若△ABC外接圆的周长为 4 3π，求△ABC周长的取值范围，
16
题型十五 图形 2：角平分线型
【典例分析】
1. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，tanB+ tanC- 3tanBtanC+ 3 =
0．
(1)求角A的大小；

(2)若BD= 2DC，AD= 2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
【变式演练】
1. 已知△ABC π的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2asin C+ 6 = b+ c．
(1)求角A的大小；

(2)若 a= 7，BA AC =-3，∠A的平分线交边BC于点T，求AT的长．
17
题型十六 图形 3：中线型
【典例分析】
3(b- ccosA)
1. = 3a a = 1 tanC在① ，② + 1 ，③ csinB= bcos C- π 这三个条件中任sinC b 2 tanB 6
选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为 a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 10 3，D为AC的中点，求BD的最小值．
【变式演练】
1. 在△ABC中；内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 b 2sinA- 3cosA = asinB.
(1)求A；
(2)若 a= 2，点D为BC的中点，求AD的最大值.
18
题型十七 图形 4：三角形高型
【典例分析】
2 2
1. A sinB- cosC= c -a b= 2asin C+ π从① 为锐角且 ；② 这两个条件中任选一个，填入横2ab 6
线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为 a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若 b= 3 c且BC边上的高AD为 2 3，求CD的长．
4
【变式演练】
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b c 2cosB = cosA + cosC，，且满足 ．
ac ab bc
(1)求B；
(2)若 b= 6，BD是AC边上的高，求BD的最大值．
19
题型十八 图形 5：双三角形型
【典例分析】
1. 在△ABC中.AB=AC，D为BC边上的一点，∠DAC= 90°，再从下列三个条件中选择两个作
为已知，求△ABD的面积及BD的长.
①AB= 6；② cos∠BAC=- 1 ；③CD= 3 6.
3
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
【变式演练】
1. 如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD= π，AB= 1，∠ABC= 3π .
2 4
(1)当BC= 2，CD= 7时，求△ACD的面积；
(2)当∠ADC= π，AD= 2时，求 cos∠ACD.
6
20
二、 好题演练
好题演练
1. (2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c为边长
3 1
的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3= ,sinB= ．2 3
(1)求△ABC的面积；
(2)若 sinAsinC= 2 ，求 b．
3
2. ( 2022 ·全国 ·统考高考真题 ) 记 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ﹐已知
sinCsin A-B = sinBsin C-A ． (1)若A= 2B，求C；(2)证明：2a2= b2+c2
21
3. (2022·全国·统考高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知 sinCsin(A-B) =
sinBsin(C-A)． (1)证明：2a2= b2+c2；
(2)若 a= 5,cosA= 25，求△ABC的周长．
31
4. (2023·福建·统考模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 b= 2csin A+ π .6
(1)求C；

(2)若 c= 1，D为△ABC的外接圆上的点，BA BD=BA2，求四边形ABCD面积的最大值.
22
5. (2023 ·山西 ·校联考模拟预测)已知函数 f x = Asin ωx+ A> 0,ω> 0 的图象是由 y =
2sin ωx+ π π的图象向右平移 个单位长度得到的.6 6
(1)若 f x 的最小正周期为 π，求 f x 的图象与 y轴距离最近的对称轴方程；
(2) f x π , 3π若 在 上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.2 2
6. (2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别
为 a，b，c，且 3asinB= 2bcos2B+C．
2
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD= 1，求△ABC面积的最大值．
23
7. (2023·陕西西安·校联考一模)在△ABC中，点D在边AC上，且AD= 2CD,BD=AC．
(1)若BD平分∠ABC sin∠ABD，求 的值；
sin∠BDC
(2)若AB,AC,BC成递增的等比数列，AC= 6，求△ABC的面积．
8. (2023·云南红河·统考二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2sinB= sinA
+ sinC．
(1) π证明：03
(2)求 sinB cos2B的最大值．
24
9. (2023·河南新乡·统考二模)如图，在△ABC中，D，E在BC上，BD= 2，DE=EC= 1，∠BAD=
∠CAE．
(1) sin∠ACB求 的值；
sin∠ABC
(2)求△ABC面积的取值范围．
25
10. (2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是 a、b、c，
C= π．
3
(1) 3若BC边上的高等于 a，求 cosA；
3
(2)若CA CB= 2，求AB边上的中线CD长度的最小值．
26

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