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人教A版（2019）必修第二册《第十章 概率》单元测试2
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）现有甲、乙、丙、丁、戊种在线教学软件，若某学校要从中随机选取种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙至少有种被选取的概率为
A. B. C. D.
2.（5分）算盘是中国传统的计算工具，东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的粒算珠表示，则这个数能够被整除的概率是
A. B. C. D.
3.（5分）在，，，，，，，这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字是取出的五个不同数的中位数的概率为．
A. B. C. D.
4.（5分）袋中有白球个，红球个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是
A. 至少有一个白球；都是白球 B. 两个白球；至少有一个红球
C. 红球、白球各一个；都是白球 D. 红球、白球各一个；至少有一个白球
5.（5分）小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这种颜色的单车中选择种，则他们选择相同颜色自行车的概率为
A. B. C. D.
6.（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，，若，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为
A. B. C. D.
7.（5分）将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上、一次反面向上的概率为
A. B. C. D.
8.（5分）一个袋子中有个大小相同的球，其中个白球与个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）对于事件，，下列命题正确的是
A. 如果，互斥，那么与也互斥
B. 如果，对立，那么与也对立
C. 如果，独立，那么与也独立
D. 如果，不独立，那么与也不独立
10.（5分）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各张，一次任意取出张卡片，则与事件“张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有
A. 张卡片不全为红色 B. 张卡片恰有一张红色
C. 张卡片至少有一张红色 D. 张卡片都为绿色
11.（5分）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是

A.
B.
C. 事件与事件相互独立
D. ，，是两两互斥的事件
12.（5分）为了倡导人民种植树木，鼓励人民爱护树木，提醒人民重视树木，年月日起，施行新修订的《中华人民共和国森林法》，此法明确规定每年月日为植树节．张同学在今年的植树节当天种植了行列共棵杨树，现从中任选棵，下列说法正确的有
A. 选中的棵树在同一行或同一列的概率为
B. 选中的棵树中任意棵既不在同一行又不在同一列的选法共有种
C. 选中的棵树恰有棵在同一行的概率为
D. 选中的棵树既有在同一行又有在同一列的选法共有种
13.（5分）下列说法错误的有
A. 随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B. 在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C. 任意事件发生的概率满足
D. 若事件发生的概率趋近于，则事件是不可能事件
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ______.
15.（5分）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出．到之间取整数的随机数，指定，，，表示没有击中目标，，，，，，表示击中目标，以个随机数为一组，代表射击次的结果，经随机模拟产生了组如下的随机数：
根据以上数据估计该运动员射击次至少击中次的概率为________.
16.（5分）从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为_______.
17.（5分）在，，， ，中随机选出一个数，在，，， ，中随机选出一个数，则被整除的概率为 ______.
18.（5分）管理人员从一池塘内捞出条鱼，做上标记后放回池塘．天后，又从池塘内捞出条鱼，其中有标记的有条．根据以上数据可以估计该池塘内共有 ______ 条鱼．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）抛掷两次骰子，记第一次得到的点数为，第二次得到的点数为．
求不大于的概率；
求的概率．
20.（12分）一黑色小布袋，袋中有只黄色、只白色的乒乓球其体积、质地完全相同，从袋中随机摸出个球．
摸出的个球为白球的概率是多少？
摸出的个球为个黄球个白球的概率是多少？
21.（12分）已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标满足，．
请列出点的所有坐标；
求点不在轴上的概率．
22.（12分）某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况，拟采用分层抽样的方法从，，三个行政区抽出个社区进行调查已知，，三个行政区中分别有，，个社区.
求从，，三个行政区中分别抽取的社区个数；
若从抽得的个社区中随机抽取个进行调查.
试列出所有可能的抽取结果；
设事件为“抽取的个社区中至少有一个来自行政区”，求事件发生的概率.
23.（12分）已知甲箱的产品中有件正品和件次品，乙箱的产品中有件正品和件次品．
若从甲箱中取出件产品，求在件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；
若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出件产品，求取到一件正品的概率．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：现有甲、乙、丙、丁、戊种在线教学软件，
某学校要从中随机选取种作为教师“停课不停学”的教学工具，
基本事件总数，
其中甲、乙至少有种被选取包含的基本事件个数，
甲、乙至少有种被选取的概率．
故选：．
基本事件总数，其中甲、乙至少有种被选取包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙至少有种被选取的概率．
该题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：从个位，十位和百位这三档中随机拨动粒，得到的整数共有个，
分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
其中算盘表示的整数能够被整除的有，个，分别为：，，，，，，，，，
故所求概率为
故选：
逐一列举出从个位，十位和百位这三档中随机拨动粒，得到的整数并确定总量，再确定其中能够被整除的个数，进一步即可利用古典概型概率计算公式进行求解．
此题主要考查古典概型概率计算公式，解答该题的关键在于仔细审题，读懂题意，准确运用古典概率计算公式进行求解．
3.【答案】B;
【解析】解：由于抽取五个不同的数字，且数字是这五个数的中位数，故数字必在抽取的数中，因此抽取的除以外的四个数字中，有两个比小，有两个比大，
故所求概率．
故选：．
先求出满足条件是取出的五个不同数的中位数的种数，再求出所有的种数，根据概率公式计算即可．
该题考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．
4.【答案】C;
【解析】解：从装有个红球和个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有种：“个白球”、“一个白球和一个红球”、“个红球”．
由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，
对于，至少有个白球；都是白球，不是互斥事件．故不符合．
对于两个白球；至少有一个红球，是互斥事件，但也是对立事件，故不符合．
对于红球、白球各一个；都是白球是互斥事件，但不是对立事件不是互斥事件，故符合．
对于红球、白球各一个；至少有一个白，不是互斥事件．故不符合．
故选：．
从装有个红球和个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有种：“个白球”、“一个白球和一个红球”、“个红球”由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．
这道题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查古典概型概率的计算，根据古典概型的概率公式即可求解.
解：小亮，小明和小红各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这种颜色的单车中选择种有种不同的结果，
他们选择相同颜色自行车有种不同的结果，故他们选择相同颜色自行车的概率为，
故选
6.【答案】C;
【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，，满足的有种情况，
得出他们“心有灵犀”的概率为：．
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们“心有灵犀”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
该题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】A;
【解析】
此题主要考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
出现一次正面向上，一次反面向上的情况有两种：第一次正面向上第二次反面向上和第一次反面向上第二次正面向上．

解：将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，
出现一次正面向上，一次反面向上的概率为：

故选

8.【答案】B;
【解析】
分别列出先后从中取出个球的所有可能结果以及第一次为白球、第二次为黑球的所以结果，根据古典概型概率公式计算即可． 此题主要考查了古典概型的计算，属于基础题．
解：设个白球分别为，，，个黑球分别为，，
则先后从中取出个球的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有，，，，，，共种，
故所求概率
故选
9.【答案】BCD;
【解析】解：对于，如果，互斥，那么由互斥事件的定义得与不一定互斥，故错误；
对于，如果，对立，那么由对立事件的定义得与也对立，故正确；
对于，如果，独立，那么由相互独立事件的定义得与也独立，故正确；
对于，如果，不独立，那么由独立事件的定义得与也不独立，故正确．
故选：
利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义直接求解．
此题主要考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，事件“张卡片都为红色”与“张卡片不全为红色”是对立事件，不符合题意；
对于，事件“张卡片都为红色”与“张卡片恰有一张红色”是互斥而不对立，符合题意；
对于，事件“张卡片都为红色”与“张卡片至少有一张红色”不是互斥事件，不符合题意，
对于，事件“张卡片都为红色”与“张卡片都为绿色”是互斥而不对立，符合题意；
故选：
根据题意，由互斥事件的定义依次分析选项，即可得答案．
此题主要考查互斥事件的定义，注意互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
11.【答案】BD;
【解析】概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握．本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在，，是两两互斥的事件，把事件的概率进行转化，可知事件的概率是确定的．
因为事件，和任意两个都不能同时发生，所以，，是两两互斥的事件，
因为，，，
所以，
，，
.
， ，
所以，于是事件与事件不相互独立．
故选：
12.【答案】ABD;
【解析】解：任选棵，总的选法共有种，其中在同一行或同一列的选法有种，
故选中的棵树在同一行或同一列的概率，故正确；
选中的棵树既不在同一行又不在同一列的选法有种，故正确；
选中的棵树恰有棵在同一行的选法有种，
故选中的棵树恰有棵在同一行的概率，故错误；
选中的棵树既有在同一行又有在同一列的选法有种，故正确．
故选：
任选棵，总的选法共有种，由此能求出其中在同一行或同一列的选法种数；选中的棵树在同一行或同一列的概率；选中的棵树既不在同一行又不在同一列的选法有种；选中的棵树恰有棵在同一行的选法有种，选中的棵树恰有棵在同一行的概率；选中的棵树既有在同一行又有在同一列的选法有种．
此题主要考查命题真假的判断，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查概率的概念，属于较易题，
根据基本事件的定义进行解答.

解：在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．正确．
在一次试验中不同的基本事件不能同时发生， 正确
任意事件发生的概率满足，错误
不可能事件可以推出事件的概率为；但事件概率为不可以推出事件是不可能事件，错误；
故选
14.【答案】;
【解析】解：经随机模拟产生了如下组随机数：

其中表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：
，，，共个，
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故答案为：
利用列举法求出表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有个，据此能估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．
此题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解答错误。应该是;
【解析】
此题主要考查概率的求法，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查集合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，利用列举法求出组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的基本事件，由此能估计该运动员射击四次至少击中三次的概率．

解：该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，
组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的有：
，， ，， ， ， 共个，
估计该运动员射击四次至少击中三次的概率
故答案为

16.【答案】;
【解析】
此题主要考查随机事件的性质，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题．
用列举法列举总基本事件的个数和其和为奇数的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．

解：从，，，中随机取出两个不同的数的基本事件为：
，，，，，共个，
其中和为奇数的有，，，共个，
由古典概型的概率公式可知，
从，，，中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为
故答案为
17.【答案】;
【解析】解：数组共有种等概率的选法，
考虑其中使被整除的选法数，
若被整除，则被整除，此时各有种选法，
这样的有种，
若不被整除，则，从而，
此时有种选法，有种选法，这样的有组，
，
被整除的概率为
故选：
数组共有种等概率的选法，考虑其中使被整除的选法数，若被整除，则被整除，此时各有种选法，这样的有种，若不被整除，则，从而，此时有种选法，有种选法，这样的有组，从而，由此能求出师被整除的概率．
此题主要考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】750;
【解析】解：由题意可得：从池塘内捞出条鱼，其中有标记的有条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：．
又因为池塘内具有标记的鱼一共有条鱼，
所有可以估计该池塘内共有条鱼．
故答案为．
由题意可得：池塘中有标记的鱼的概率为因为池塘内具有标记的鱼一共有条鱼，所有可以估计该池塘内共有条鱼．
解决此类问题的关键是正确的把实际问题转化为数学问题，利用概率的知识解决问题．
19.【答案】解：（1）抛掷两次骰子，得到 （m，n）共有36种不同结果．…（1分）
其中满足m+n不大于4的是：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）共6种不同结果．…（3分）
所以所求概率为p==．…（5分）
（2）满足m＜n+2的是（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、
（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，2）、（3，3）、
（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，3）、（4，4）、（4，5）（4，6）、
（5，4）（5，5）（5，6）、（6，5）（6，6）共26种不同结果，…（8分）
所以所求概率为p==．…（10分）;
【解析】
抛掷两次骰子，得到 共有种不同结果，利用列举法求出满足不大于的不同结果的种数，由此能求出不大于的概率．
利用列举法求出满足的不同结果的种数，由此能求出的概率．
该题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
20.【答案】解：（1）一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），
从袋中随机摸出2个球，基本事件总数n==15，
其中摸出的2个球为白球包含的基本事件个数m==3，
∴摸出的2个球为白球的概率是P===．
（2）摸出的2个球为1个黄球1个白球包含的基本事件个数m′==9，
∴摸出的2个球为1个黄球1个白球的概率是P===．;
【解析】
从袋中随机摸出个球，基本事件总数，其中摸出的个球为白球包含的基本事件个数，由此能求出摸出的个球为白球的概率．
摸出的个球为个黄球个白球包含的基本事件个数，由此能求出摸出的个球为个黄球个白球的概率．
此题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：（1）已知集合A={-2，0，1，3}，在平面直角坐标系中，点M的坐标（x，y）满足x∈A，y∈A．
所以：M的坐标16个为：
（-2，-2）；（-2，0）；（-2，1）；（-2，3）；
（0，-2）；（0，0）；（0，1）；（0，3）；
（1，-2）；（1，0）；（1，1）；（1，3）；
（3，-2）；（3，0）；（3，1）；（3，3）；
（2）点M不在y轴上的坐标12个为：
（-2，-2）；（-2，0）；（-2，1）；（-2，3）；
（1，-2）；（1，0）；（1，1）；（1，3）；
（3，-2）；（3，0）；（3，1）；（3，3）；
所以：点M不在y轴上的概率：P==．;
【解析】
利用集合元素的坐标满足，可得点的坐标．
列举所以基本事件利用古典概型求解即可．
这道题主要考查集合的元素，坐标与集合的关系，古典概型，属于基础题．
22.【答案】解：（Ⅰ）社区总数为27+18+9=54，样本容量与总体中的个体数之比为=，
所以从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数分别为2，3，1；
（Ⅱ）（ⅰ）设，为从A行政区中抽取的社区，，，为从B行政区中抽取的社区，为从C行政区中抽取的社区，
在这6个社区中随机抽取2个，全部的可能结果有：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）；
（ⅱ）所以的基本事件共有15个，其中抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的有9个，故所求概率为=．;
【解析】
求出抽样比，即可求出从，，三个行政区中分别抽取的社区个数；
直接列举即可；
由古典概型的概率公式求解即可．
此题主要考查了古典概型的概率问题，解答该题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．
23.【答案】解：（1）若从甲箱中取出2件产品，在2件产品中有一件是正品的取法共有=×=8，
在2件产品中有一件是正品，另一件是次品的取法=2×3=6，
∴从甲箱中取出2件产品，在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率P==．
（2）从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，取到一件正品的概率P=×+×=．;
【解析】
若从甲箱中取出件产品，分别求出在件产品中有一件是正品的取法；在件产品中有一件是正品，另一件是次品的取法，利用古典概率计算公式即可得出结论．.
利用全概率计算公式即可得出：从两箱中随机选择一箱，然后从中取出件产品，取到一件正品的概率．
此题主要考查了全概率设计算公式、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

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