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第三十八讲 椭圆
【考纲解读】
理解双曲线，双曲线标准方程和双曲线参数方程的定义，掌握求双曲线标准方程和参数方程的基本方法，能够熟练地根据条件求出双曲线的标准方程；
理解并掌握双曲线简单的几何性质，理解双曲线离心率的定义，掌握求双曲线离心率和弦长的基本方法。
【知识精讲】
一、双曲线的定义：
1、第一定义：平面内一动点到两个定点的距离的差的绝对值等于定值的点的轨迹，叫做双曲线；如图这里的定点是双曲线的焦点、，定值是双曲线实轴的长2a（2a＜||=2c）
y P y p
0 x 0 x
2、第二定义：
平面内的一动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹，叫做双曲线。如图这里的定点是双曲线的一个焦点，定直线是双曲线相应的准线，常数是双曲线的离心率e（e＞1）
y P y p
0 x 0 x
『思考题』
（1）在第一定义中，平面上两个定点，之间的距离||，叫做双曲线的焦距，通常用2c表示；
（2）在第一定义中，动点P到两个定点，的距离差的绝对值||P|-|P||为定值，这个定值叫做双曲线的实轴长，用2a表示；
（3）在第一定义中，动点P的轨迹是双曲线必须满足2a<2c，当2a=2c时，动点P的轨迹是直线上分别以，为端点反向的两条射线；当2a>2c时，动点P的轨迹不存在；
（4）在第二定义中，动点P到定点F与定直线L的距离的比值是一个常数，这个常数叫做双曲线的离心率，它的取值范围是（1，+）；
（5）在第二定义中，动点P到定点F的距离|PF|的取值范围是[c-a，+） ；
（6）渐近线为=0的双曲线系的方程可以表示为（R，且≠0），如果要求系中满足某个条件的双曲线的方程，只需根据条件求出式子中的参数，再把它的值代入方程即可；
（7）过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦叫做双曲线的通径，它的长为。
（二）双曲线的方程：
1、双曲线的标准方程（设双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴）：
（1）焦点在x轴上 （2）焦点在y轴上
y P y p
0 x 0 x
=1（a＞0,b＞0） =1（a＞0,b＞0）
『思考问题』
（1）这里的a，b，c分别是双曲线的实半轴，虚半轴和半焦距；
（2）其中a，b，c满足：=+。
2、双曲线的参数方程：
x=
y=btan (为参数)
（三）双曲线的几何性质：
双曲线 y y
P
P
的图像 0 x 0 X
双曲线 =1（a＞0,b＞0） =1（a＞0,b＞0）
的标准方程
对称性 是中心对称图形 是中心对称图形
顶点，焦点 （-a，0），（a，0），（-c，0）， （0，a），（0，-a），（0，c），
（c，0）. （0，-c）.
离心率 e= e=
渐进线方程 y=x y=x
准线方程 x= y=
焦半径：设P |P|=a+e，|P|=a-e， |P|=a+e，|P|=a-e，
（，）是
双曲线上一点
弦长公式：设A
（，），B（ |AB|= |AB|=
，）是 直线
l：y=kx+b与双曲线
的两个不同交点
【探导考点】
考点1椭圆定义及标准方程：热点①根据双曲线定义求轨迹方程；热点②运用待定系数法求双曲线的标准方程；热点③根据双曲线定义解答“焦点三角形”问题；
考点2双曲线几何性质及运用：热点①与双曲线相关的最值问题；热点②求双曲线离心率的值（或取值范围）；
考点3直线与双曲线：热点①求直线斜率（或直线方程）；热点②求多边形的面积（或面积的最值）；热点③求直线过定点的坐标。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A=1 B =1 C =1 D =1
的值，从而得到双曲线的标准方程就可得出选项。
2、已知动圆M与圆：=2外切，与圆：=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程；
3、求符合下列条件双曲线的标准方程：已知双曲线的渐进线方程为2x3y=0。
（1）已知双曲线的渐进线方程为2x3y=0。若双曲线经过点P（，2），求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的渐进线方程为2x3y=0。若双曲线的焦距为2，求双曲线的方程。
（3）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-），求双曲线的方程；
（4）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，一双曲线与此椭圆有公共焦点，且实半轴的长比椭圆的长半长轴的长小4，两曲线离心率之比为3:7，求椭圆和双曲线的方程；
（5）设双曲线与椭圆=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（，4），则此双曲线的标准方程是 。
4、已知双曲线C的离心率是，右准线方程是x=，求双曲线的方程。
『思考题1』
（1）【典例1】是求双曲线标准方程的问题，解答这类问题需要理解双曲线的定义，掌握求双曲线标准方程的基本方法：①定义法；②待定系数法；
（2）【典例1】中2求解的一般方法是通过求点的轨迹方程来求双曲线方程，求轨迹方程的基本步骤是：①设出动点的坐标；②表示出相关的量；③抓等量建立方程；④化简整理建立的方程，得到双曲线的标准方程。但该题如果结合双曲线的定义来解答会更简捷；
（3）【典例1】中的1，3求双曲线的方法称为待定系数法，待定系数法的基本方法是：①由题意设出双曲线的标准方程；②根据题意建立关于参数的方程（或方程组）；③求解方程（或方程组）；④把求得的结果代入假设式。其中设定双曲线方程时可以按照如下思路进行：①如果明确双曲线的焦点在X轴上，方程设为：=1（a＞0,b＞0）；②如果明确双曲线的焦点在Y轴上，方程设为：-=1（a＞0,b＞0）；③如果双曲线中心在原点，焦点位置不确定在X轴上还是在Y轴上，方程设为：A+B=1(A，B异号)；
（4）【典例1】中的4是利用双曲线的定义及几何性质求双曲线方程的问题，其基本方法是：①根据动点满足等式的几何意义设出双曲线的标准方程；②根据题意建立关于a，b，c，e的方程（或方程组，③求解方程（或方程组），④把求得的结果代入假设式；
（5）求双曲线的标准方程时，应该注意利用双曲线系求双曲线标准方程的基本方法，在实际解答问题时可运用某个系的特征设出该系的方程，根据条件求出方程中的参数即可。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知圆： =1和圆：=9，动圆M同时与圆及圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程；
2、求与双曲线=2有公共渐进线，且过点M（2,2）的双曲线的方程；
3、已知双曲线的离心率是，一条准线的方程为y=，求双曲线的方程。
4、如图已知、为双曲线=1 y P
（a＞0,b＞0）的焦点，过作⊥x轴的直线 0 x
交双曲线于点P，且，求双曲线的渐进线的方程。
【典例2】按要求解答下列各题： y
1、如图在双曲线=1的上支上有三点 A B C
A()，B（6），C()它们与点F（0,5）
的距离成等差数列。 0 x
（1）求+的值；
(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出此点的坐标。
2、如图已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点， Y P
且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切， B
双曲线S的一个顶点B与点A关于直线y=x对称，
设直线l过点A，斜率为k。 0 X
（1）求双曲线S的方程；
（2）当k=1时，在双曲线S的上支求点C，使其与直线l的距离为；
（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点C到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点C的坐标。
『思考题2』
（1）【典例2】是双曲线定义和性质的运用问题，解答这类问题需要理解双曲线的定义，掌握双曲线的性质；
（2）双曲线有两个定义，解答问题时选用哪一个，应根据题给的条件和问题结构的特点来确定。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知双曲线的左，右焦点分别为，，在左支上过的弦AB长为5，若2a=8，那么AB的周长（ ）
A 16 B 18 C 21 D 26
2、已知双曲线的方程是=144。
（1）求双曲线的焦点坐标，离心率和渐进线方程；
（2）设和是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，且|P|.|P|=32，求的大小。
【典例3】解答下列问题：
1、设、分别为双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|P|=||，且到直线P的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A B C D
2、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为（-c，0），（c，0），若双曲线C上存在一点P，使得=，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）A （1，1+） B （1，1+） C （1，） D （1，）
3、设，是双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的两个焦点，p是C上一点，若|P|+|p|=6a，且的最小内角为，则C的离心率为 。
『思考题3』
（1）【典例3】是与双曲线离心率相关的问题，这类问题主要包括两种题型：①求双曲线的离心率的值；②求双曲线离心率的取值范围；
（2）若给定双曲线的方程，可根据双曲线的焦点位置确定，，从而求出a，c，再运用公式e=求解；
（3）若双曲线方程未知，应根据题给条件与几何图形建立a，b，c，e满足的等式，从而化为关于a，c的齐次方程，得到a，c的关系式或化为e的方程求解或不等式，求解方程或不等式就可得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线被圆+=4所截得的弦长
为2，则C的离心率为（ ）
A 2 B C D
2、设a＞1，则双曲线=1的离心率e的取值范围是（ ）
A (,2) B (,) C (2,5) D (2，)
3、如果双曲线的渐近线方程为y=x，则离心率为 ；
4、双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ；
5、如果双曲线的焦距，虚轴长，实轴长成等差数列，求双曲线的离心率e。
【典例4】解答下列问题：
1、已知双曲线=1的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则. 的最小值为（ ）
A -2 B C 1 D 0
2、已知双曲线-=1的右焦点为F，点A（9，2），试在这个双曲线上求一点M，使|MA|+ |MF|的值最小，并求出这个最小值；
3、设连接双曲线=1与=1的四个顶点所组成的凸四边形的面积为，连接四个焦点所组成的凸四边形的面积为，求的最大值。
『思考题4』
（1）【典例4】是双曲线中的最值问题，解决这类问题的基本思路是：①数形结合法；②转化为求函数最值的问题；
（2）解决双曲线中的最值问题的常用方法有：①数形结合法，运用双曲线几何性质；②利用求函数最值的基本方法；③运用基本不等式不等式；，④ 利用一元二次方根的判别式。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知F是双曲线=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 ；
2、已知双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且|P|=4|P|，求双曲线离心率e的最大值。
【典例5】解答下列问题：
1、直线l与双曲线=15的一支交于A、B两点，又与双曲线的渐进线交于M、N两点，且|MN|=3|AB|，求AB的中点P的轨迹方程；
2、如图甲在面积为18的中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知
EMBED Equation.DSMT4 .=27, .=54。 A
（1）建立适当的直角坐标系，求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点D（1，1）的直线l，使l与双 B C
曲线交于不同的两点M、N，且+=0，如 (甲)
果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由。
3、已知椭圆的方程为+=1，双曲线的左，右焦点分别是的左，右顶点，而的左，右顶点分别是的左，右焦点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且.＞2，（其中O为坐标原点）求k的取值范围。
『思考题5』
（1）【典例5】是直线与双曲线位置关系的问题，解答这类问题需要理解直线和双曲线的定义，掌握直线方程和双曲线方程的求法，注意处理直线与双曲线相交问题的基本思路是联立直线方程和双曲线方程消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，再运用设而不求，整体代入数学思想；
（2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情况分别考虑，实际解答问题时为避免这样繁杂的解答过程，可设直线方程为：x=my+n。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若双曲线E：-=1（a＞0）的离心率等于，直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A，B两点。
（1）求k的取值范围；
（2）若|AB|=6，点C是双曲线上一点，且=m（+），求k，m的值。
2、如图所示已知，是双曲线=1（a＞0） y A
的左右焦点，A、B是双曲线右支上不同于顶点的两
点，M、N分别为,的内切圆的圆心。 0 x
（1）设圆M与相切于P点，求证：|P|-|p|=2a； B
（2）求证：直线MN与y轴平行；
（3）如果点在线段AB上，直线AB的倾斜角的正弦值为，且|MN|=，求双曲线的方程。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知焦距为4的双曲线-=1（a>0，b>0）的一条渐近线与直线x-y=0垂直，则该双曲线的方程为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A -=1 B -=1 C -=1 D -=1
2、（理）若双曲线-=1（m>0）的渐近线与圆+-4y+3=0相切，则m=
（文）记双曲线C：-=1（a>0，b>0）的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 （2022全国高考甲卷）
3、双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C相交于M，N两点，且cosN=，则C的离心率为（ ）（2022全国高考乙卷理）
A B C D
已知双曲线=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A B C 2 D 3
5、（理）已知为双曲线=1（a＞0,b＞0）的右焦点，经过作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点B，若|A|=|B|，
则双曲线的离心率为 。
（文）已知为双曲线=1（a＞0,b＞0）的右焦点，经过作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限相交于点B，若|A|
=|B|，则双曲线的离心率为 （成都市2019级高三二诊）
6、已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且P=，|P|=3|P|，则C的离心率为（ ）（2021全国高考甲卷理）
A B C D
7、已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（成都市2019级高三零诊）
A y=2x B y=x C y=x D y=x
8、设，是双曲线C：-=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|P|=6时，P的面积为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 4 B 3 C D 6
9、点（3，0）到双曲线-=1的一条渐近线的距离为（ ）（2021全国高考甲卷文）
A B C D
10、（理）已知双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为 。
（文）双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 （2021全国高考乙卷）
11、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 （2021全国高考新高考II）
12、已知离心率为2的双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）（成都市2021高三零诊）
A - =1 B -=1 C - =1 D -=1
13、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点为，点M，N在双曲线的同一条渐近线上，O为坐标原点，若直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|
=|N|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（成都市2021高三三诊）
A y=x B y= x C y= x D y=2x
14、（理）已知F为双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为 ；
（文）设，是双曲线C：-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|
=2，则P的面积为（ ）（2020全国高考新课标I）
A B 3 C D 2
15、设O为坐标原点，直线x=a与双曲线-=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）（2020全国高考新课标II）
A 4 B 8 C 16 D 32
16、（理）已知双曲线C：- =1（a>0，b>0）的左右焦点，，离心率为，P是C上的一点，且PP，若P的面积为4，则a=（ ）
A 1 B 2 C 4 D 8
（文）设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线为y=x，则C的离心率为
（2020全国高考新课标III）
17、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）（2020成都市高三零诊）
A （，） B （，）
C （1，）（，+ ） D （1，）（，+ ）
18、已知双曲线C：-=1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为
（2019成都市高三一诊）
19、已知双曲线C:- =1（b＞0）的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为( ) （2019成都市高三二诊）
A y= x B y= 2x C y= 3x D y= x
『思考题6』
（1）【典例6】是近几年高考或高三诊断考试中有关双曲线的问题，。纵观近几年高考试卷，归结起来双曲线问题主要包括：①求双曲线的标准方程；②双曲线定义与几何性质的运用；③求双曲线离心率的值或取值范围；④与双曲线相关的最值问题；⑤直线与双曲线位置关系问题等几种类型；
（2）在解答考题时，注意抓住问题的结构特征，分辨清楚问题属于哪一种类型，再运用解答该类问题的基本思路和基本方法去解答问题。
〔练习6〕解答下列问题：
1、设双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为，，以为直径的
圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线P与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q，若点Q恰好为线段P的中点，则直线P的斜率的值为 （成都市2021高三二诊）
2、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）（2020成都市高三零诊）
A （，） B （，）
C （1，）（，+ ） D （1，）（，+ ）
3、（理）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为
；
（文）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为（ ）（2020成都市高三一诊）
A B C 2 D
4、如图，双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别是（-c，0），（c，0），
直线y=与双曲线C的两条渐近线分别相较于A，B两点，若B=，则双曲线
的离心率为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 2 B C D
5、已知，是双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点，经过点且与X轴垂直
的直线与双曲线的一条渐近线相较于点A，且A，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）（2020成都市高三三诊）
A [，] B [，3] C [3，] D [，3]
6、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为，，抛物线=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点，设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且cosP=，则双曲线C的离心率为（ ）（2019成都市高三三诊）
A 或 B 或3 C 2或 D 2或3
7、（理）双曲线C： -=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则PFO的面积为（ ）
A B C 2 D 3
（文）已知F是双曲线C：-=1的一个焦点，O为坐标原点，若|OP|=|OF|，则OPF的面积为（ ）（2019全国高考新课标III）
A B C D
8、（理）已知双曲线C：-=1（a＞0， b＞0）的左，右焦点分别为，，过的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，若=，.=0，则C的离心率为 。
（文）双曲线C：-=1（a＞0， b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心
率为（ ）（2019全国高考新课标I）
A 2sin B 2cos C D
第三十九讲 双曲线
【考纲解读】
1.理解双曲线，双曲线标准方程和双曲线参数方程的定义，掌握求双曲线标准方程和参数方程的基本方法，能够熟练地根据条件求出双曲线的标准方程；
2.理解并掌握双曲线简单的几何性质，理解双曲线离心率的定义，掌握求双曲线离心率和弦长的基本方法。
【知识精讲】
一、双曲线的定义：
1、第一定义：平面内一动点到两个定点的距离的差的绝对值等于定值的点的轨迹，叫做双曲线；如图这里的定点是双曲线的焦点、，定值是双曲线实轴的长2a（2a＜||=2c）
y P y p
0 x 0 x
2、第二定义：
平面内的一动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹，叫做双曲线。如图这里的定点是双曲线的一个焦点，定直线是双曲线相应的准线，常数是双曲线的离心率e（e＞1）
y P y p
0 x 0 x
『思考题』
（1）在第一定义中，平面上两个定点，之间的距离||，叫做双曲线的焦距，通常用2c表示；
（2）在第一定义中，动点P到两个定点，的距离差的绝对值||P|-|P||为定值，这个定值叫做双曲线的实轴长，用2a表示；
（3）在第一定义中，动点P的轨迹是双曲线必须满足2a<2c，当2a=2c时，动点P的轨迹是直线上分别以，为端点反向的两条射线；当2a>2c时，动点P的轨迹不存在；
（4）在第二定义中，动点P到定点F与定直线L的距离的比值是一个常数，这个常数叫做双曲线的离心率，它的取值范围是（1，+）；
（5）在第二定义中，动点P到定点F的距离|PF|的取值范围是[c-a，+） ；
（6）渐近线为=0的双曲线系的方程可以表示为（R，且≠0），如果要求系中满足某个条件的双曲线的方程，只需根据条件求出式子中的参数，再把它的值代入方程即可；
（7）过双曲线的焦点且垂直于实轴的弦叫做双曲线的通径，它的长为。
（二）双曲线的方程：
1、双曲线的标准方程（设双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴）：
（1）焦点在x轴上 （2）焦点在y轴上
y P y p
0 x 0 x
=1（a＞0,b＞0） =1（a＞0,b＞0）
『思考问题』
（1）这里的a，b，c分别是双曲线的实半轴，虚半轴和半焦距；
（2）其中a，b，c满足：=+。
2、双曲线的参数方程：
x=
y=btan (为参数)
（三）双曲线的几何性质：
双曲线 y y
P
P
的图像 0 x 0 X
双曲线 =1（a＞0,b＞0） =1（a＞0,b＞0）
的标准方程
对称性 是中心对称图形 是中心对称图形
顶点，焦点 （-a，0），（a，0），（-c，0）， （0，a），（0，-a），（0，c），
（c，0）. （0，-c）.
离心率 e= e=
渐进线方程 y=x y=x
准线方程 x= y=
焦半径：设P |P|=a+e，|P|=a-e， |P|=a+e，|P|=a-e，
（，）是
双曲线上一点
弦长公式：设A
（，），B（ |AB|= |AB|=
，）是 直线
l：y=kx+b与双曲线
的两个不同交点
【探导考点】
考点1椭圆定义及标准方程：热点①根据双曲线定义求轨迹方程；热点②运用待定系数法求双曲线的标准方程；热点③根据双曲线定义解答“焦点三角形”问题；
考点2双曲线几何性质及运用：热点①与双曲线相关的最值问题；热点②求双曲线离心率的值（或取值范围）；
考点3直线与双曲线：热点①求直线斜率（或直线方程）；热点②求多边形的面积（或面积的最值）；热点③求直线过定点的坐标。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A=1 B =1 C =1 D =1
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法。
【解题思路】运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程就可得出选项。
【详细解答】双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，2c=10，1=，25=4+，=5，=45=20，双曲线C的方程为：=1，A正确，选A。
2、已知动圆M与圆：=2外切，与圆：=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程；
【解析】
【知识点】①两圆相切的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】运用两圆相切的性质和求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出动圆圆心M的轨迹方程。
【详细解答】设动圆圆心为M（x，y），动圆的半径为R，|M|=，|M|=，动圆M与圆：=2外切，与圆：=2内切，|M|=+R，|M|=R-，|M|-|M|=2，动圆圆心M的轨迹是中心在原点，以，为焦点的双曲线，2a=|M|-|M|=2，2c=4-（-4）=8，
a=，c=4，=-=16-2=14，-=1，|M|>|M|，动圆圆心M的轨迹是双曲线的右支，即动圆圆心M的轨迹方程为：-=1（x≥）。
3、求符合下列条件双曲线的标准方程：已知双曲线的渐进线方程为2x3y=0。
（1）已知双曲线的渐进线方程为2x3y=0。若双曲线经过点P（，2），求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的渐进线方程为2x3y=0。若双曲线的焦距为2，求双曲线的方程。
（3）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-），求双曲线的方程；
（4）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，一双曲线与此椭圆有公共焦点，且实半轴的长比椭圆的长半长轴的长小4，两曲线离心率之比为3:7，求椭圆和双曲线的方程；
（5）设双曲线与椭圆=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（，4），则此双曲线的标准方程是 。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）根据双曲线性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程；（2）运用双曲线性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程；（3）分焦点在x轴或y轴两种情况分别考虑运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程；（4）分焦点在x轴或y轴两种情况分别考虑运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程；（5）由题意可知双曲线的焦点在Y轴上，运用双曲线性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程。
【详细解答】（1）由题意设双曲线的方程为：-=1（a＞0,b＞0）双曲线的渐进线方程为2x3y=0，双曲线经过点P（，2），-=1，=，=，=3，
双曲线的方程为：-=1；（2）由题意设双曲线的方程为：-=1（a＞0,b＞0）双曲线的渐进线方程为2x3y=0，双曲线的焦距为2，=，c=，=，=，双曲线的方程为：-=1；（3）①当双曲线的焦点在X轴上时，设双曲线的方程为：=1（a＞0,b＞0），双曲线离心率为，且过点（4，-），
-=1，=，=6，=6，双曲线的方程为：-=1；②当双曲线的焦点在Y轴上时，设双曲线的方程为：-=1（a＞0,b＞0），双曲线离心率为，且过点（4，-），-=1，=，==-6，此时双曲线不存在，综上所述双曲线的方程为：-=1；（4）①当双曲线的焦点在X轴上时，设双曲线的方程为：=1（a＞0,b＞0），双曲线焦距为2，实半轴的长比椭圆的长半长轴的长小4，两曲线离心率之比为3：7， 2c=2，=，a=3，c=， =-=13
-9=4，双曲线的方程为：-=1；②当双曲线的焦点在Y轴上时，设双曲线的方程为：-=1（a＞0,b＞0），双曲线焦距为2，实半轴的长比椭圆的长半长轴的长小4，两曲线离心率之比为3：7， 2c=2，=，a=3，c=， =-=13
-9=4， 双曲线的方程为：- =1，综上所述双曲线的方程为：-=1或- =1；（5）由题意设双曲线的方程为：-=1（a＞0,b＞0），双曲线与椭圆=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（，4），+=36-27=9，-
=1，=4，=5，双曲线的方程为：-=1。
4、已知双曲线C的离心率是，右准线方程是x=，求双曲线的方程。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法。
【解题思路】运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程。
【详细解答】由题意设双曲线方程为：=1（a＞0,b＞0），双曲线C的离心率是，右准线方程是x=，=，=，a=1，c=，=-=3-1=2，双曲线的方程为：-=1。
『思考题1』
（1）【典例1】是求双曲线标准方程的问题，解答这类问题需要理解双曲线的定义，掌握求双曲线标准方程的基本方法：①定义法；②待定系数法；
（2）【典例1】中2求解的一般方法是通过求点的轨迹方程来求双曲线方程，求轨迹方程的基本步骤是：①设出动点的坐标；②表示出相关的量；③抓等量建立方程；④化简整理建立的方程，得到双曲线的标准方程。但该题如果结合双曲线的定义来解答会更简捷；
（3）【典例1】中的1，3求双曲线的方法称为待定系数法，待定系数法的基本方法是：①由题意设出双曲线的标准方程；②根据题意建立关于参数的方程（或方程组）；③求解方程（或方程组）；④把求得的结果代入假设式。其中设定双曲线方程时可以按照如下思路进行：①如果明确双曲线的焦点在X轴上，方程设为：=1（a＞0,b＞0）；②如果明确双曲线的焦点在Y轴上，方程设为：-=1（a＞0,b＞0）；③如果双曲线中心在原点，焦点位置不确定在X轴上还是在Y轴上，方程设为：A+B=1(A，B异号)；
（4）【典例1】中的4是利用双曲线的定义及几何性质求双曲线方程的问题，其基本方法是：①根据动点满足等式的几何意义设出双曲线的标准方程；②根据题意建立关于a，b，c，e的方程（或方程组，③求解方程（或方程组），④把求得的结果代入假设式；
（5）求双曲线的标准方程时，应该注意利用双曲线系求双曲线标准方程的基本方法，在实际解答问题时可运用某个系的特征设出该系的方程，根据条件求出方程中的参数即可。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知圆： =1和圆：=9，动圆M同时与圆及圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程；（答案：-=1）
2、求与双曲线=2有公共渐进线，且过点M（2,2）的双曲线的方程；（答案：-=1）
3、已知双曲线的离心率是，一条准线的方程为y=，求双曲线的方程。（答案：-=1）
4、如图已知、为双曲线=1 y P
（a＞0,b＞0）的焦点，过作⊥x轴的直线 0 x
交双曲线于点P，且，求双曲线的渐进线的方程。（答案：-=1）
【典例2】按要求解答下列各题： y
1、如图在双曲线=1的上支上有三点 A B C
A()，B（6），C()它们与点F（0,5）
的距离成等差数列。 0 x
（1）求+的值；
(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出此点的坐标。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②等差数列的定义与性质；③求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用双曲线的定义和等差数列的性质，结合问题条件得到关于，的等式，从而求出+的值；（2）运用求直线方程的基本方法求出线段AC垂直平分线的方程，根据所求直线方程就可证明该直线经过定点，并求出定点的坐标。
【详细解答】（1）如图，分别过A，B，C作X轴的垂线，垂足分别为， ， ，交双曲线的准线分别为 ， ， ，|FA|=， |FB|=， |FC|=，
|FA|，||FB|，|FC|成等差数列，2||FB|=|FA|+|FC|，2=+，2
=+，==，=+，=+，
=+，2（+）=（+）+（+），
2=+，=6，+=26=12；（2）线段AC的中点M（，6），
=，线段AC垂直平分线的方程为：y-6=-(x-)， 点A()，C()在双曲线=1上，（+）（-）=（）（），
=，线段AC垂直平分线的方程为：y=-x+，令x=0得y=，线段AC垂直平分线过定点（0，）。
2、如图已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点， Y P
且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切， B
双曲线S的一个顶点B与点A关于直线y=x对称，
设直线l过点A，斜率为k。 0 X
（1）求双曲线S的方程；
（2）当k=1时，在双曲线S的上支求点C，使其与直线l的距离为；
（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点C到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点C的坐标。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③求直线方程的基本方法；④点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】（1）运用求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出双曲线S的方程；（2）运用求直线方程的基本方法求出直线l的方程，根据点到直线的距离公式就可求出点C的坐标；（3）设点C（，）吗，由点C在双曲线S上得到关于，的等式，把表示成关于的式子，根据有且只有一个点C到直线l的距离为，结合点到直线的距离公式得到关于k，的方程，求解方程分别求出k，的值，从而求出点C的坐标。
【详细解答】（1）如图，设双曲线S的方程为：-=1（a＞0,b＞0），顶点B（0，a） 与点A（，0）关于直线y=x对称，=，a=，双曲线S的渐近线方程为：y=x，双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，==1，=2，双曲线S的方程为：
-=1；（2）设点C（，），当k=1时，直线l的方程为：y=x-，点C（，）在双曲线-=1上，-=1，=，点C（，）到直线l的距离为，= =，=， =2，点C的坐标为（，2）；（3）设点C（，），点C（，）在双曲线-=1上，-=1，=，直线l的方程为：y=k(x-)，双曲线S的上支上有且只有一个点C到直线l的距离为，=，方程（-1）+2（
-k）+2-2=0有两个相等的实数根，=8-4（-1）
[2-2]=0，k=0或;= ，①当k=0时，=，=0，
=，点C的坐标为（0，）；②当k=时，-++=
，=2，=，点C的坐标为（2，）。
『思考题2』
（1）【典例2】是双曲线定义和性质的运用问题，解答这类问题需要理解双曲线的定义，掌握双曲线的性质；
（2）双曲线有两个定义，解答问题时选用哪一个，应根据题给的条件和问题结构的特点来确定。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知双曲线的左，右焦点分别为，，在左支上过的弦AB长为5，若2a=8，那么AB的周长（ ）（答案：D）
A 16 B 18 C 21 D 26
2、已知双曲线的方程是=144。
（1）求双曲线的焦点坐标，离心率和渐进线方程；（答案：（1）双曲线的焦点坐标分别是（-5，0），（5，0），离心率e=，渐近线方程是y=x；（2）的大小为）
（2）设和是双曲线左右焦点，点P在双曲线上，且|P|.|P|=32，求的大小。【典例3】解答下列问题：
1、设、分别为双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|P|=||，且到直线P的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与求法。
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次方程，进一步化为关于e的一元二次（或一元一次）方程，然后求解方程，根据双曲线离心率的取值范围求出结果； P
【详细解答】如图，|P|= ||=2c，M P， y M
|M|=2a，|P|=2|PM| ，|P|-|P| =|P|-2c O x
=2a，|P|=2c+2a，|PM|=a+c，在RtPM中，
|PM|+|M|=|P|，+4=4，3-2ac-5=0，3-2e-5=0，e=-1或e=， 双曲线离心率e满足：e>1， e=，D正确，选D。
2、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为（-c，0），（c，0），若双曲线C上存在一点P，使得=，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）A （1，1+） B （1，1+） C （1，） D （1，）
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③正弦定理及运用。
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次不等式，从而
化为关于e的一元二次不等式，求解不等式就可求出双曲线离心率的取值范围。 【详细解答】如图，P是双曲线上一点，且 y P
=，在P中，=， O x
==， |P|-|P|=2a，|P|= ，|P|=，在P中， |P|-|P|<||=2c<|P|+|P|，-<2c<+，
2ac-2<2-2ac<2ac+2，e-1<-e1，1< e<1+，A正确，选A。
3、设，是双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的两个焦点，p是C上一点，若|P|+|p|=6a，且的最小内角为，则C的离心率为 。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③余弦定理及运用。
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次不等式，从而
化为关于e的一元二次不等式，求解不等式就可求出双曲线离心率的值。
【详细解答】如图，，是双曲线C：=1 y P
（a＞0,b＞0）两个焦点，p是C上一点，且|P|+|p|=6a， O x
|P|-|p|=2a，|P|=4a，|p|=2a，的最小内角为，|p|=|P|+
||-2|P|.||cos，4=16+4-16ac，-2e+3=0，
e=，双曲线C的离心率为。
『思考题3』
（1）【典例3】是与双曲线离心率相关的问题，这类问题主要包括两种题型：①求双曲线的离心率的值；②求双曲线离心率的取值范围；
（2）若给定双曲线的方程，可根据双曲线的焦点位置确定，，从而求出a，c，再运用公式e=求解；
（3）若双曲线方程未知，应根据题给条件与几何图形建立a，b，c，e满足的等式，从而化为关于a，c的齐次方程，得到a，c的关系式或化为e的方程求解或不等式，求解方程或不等式就可得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、若双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线被圆+=4所截得的弦长
为2，则C的离心率为（ ）（答案：D）
A 2 B C D
2、设a＞1，则双曲线=1的离心率e的取值范围是（ ）（答案：B）
A (，2) B (，) C (2，5) D (2，)
3、如果双曲线的渐近线方程为y=x，则离心率为 ；（答案：e=）
4、双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ；（答案：双曲线的离心率为）
5、如果双曲线的焦距，虚轴长，实轴长成等差数列，求双曲线的离心率e。（答案：e=）
【典例4】解答下列问题：
1、已知双曲线=1的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上一点，则. 的最小值为（ ）
A -2 B C 1 D 0
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线标准方程化参数方程的基本方法；③求三角函数最值的基本方法。
【解答思路】运用双曲线标准方程化参数方程的基本方法得到点P关于参数的坐标，从而得出. 关于参数的三角函数，利用求三角函数最值的基本方法求出. 的最小值就可得出选项。
【详细解答】点 P为双曲线=1右支上一点，P（cos，sin），（-1，0），（2，0），=（cos+1，sin），=（cos-2，sin），
. =（cos+1）（cos-2）+3sin= cos- cos+3sin-2=2sin- cos-1
=-2 cos- cos+1，设t= cos，t[-1，1]，f(t)=-2-t+1，= f(t)=-2 1
-1+1=-2，A正确，选A。
2、已知双曲线-=1的右焦点为F，点A（9，2），试在这个双曲线上求一点M，使|MA|+ |MF|的值最小，并求出这个最小值；
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与求法；③线段公理及运用。
【解答思路】如图，过点M作MN垂直双曲线的右准线于点N，运用双曲线的定义与性质，双曲线离心率的求法，结合问题条件得到|MA|+ |MF|=|MA|+|MN|，根据线段公理可知当A，M，N三点共线时，|MA|+|MN|=|AN|最小，从而求出 |MA|+ |MF|的最小值和点M的坐标。
【详细解答】如图，过点M作MN垂直双曲线的 y N M
右准线于点N，双曲线-=1的右焦点为F， A
点A（9，2），点M是双曲线上一点，|MA|+ 0 F x
|MF|=|MA|+|MN|，当A，M，N三点共线时，
|MA|+|MN|=|AN|最小，|MA|+ |MF|=|AN|=9-=为最小值，此时点M(，2)，当点M(，2)时， |MA|+ |MF|的最小值为。
3、设连接双曲线=1与=1的四个顶点所组成的凸四边形的面积为，连接四个焦点所组成的凸四边形的面积为，求的最大值。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求凸四边形面积的基本方法；③基本不等式及运用。
【解答思路】如图，运用双曲线的定义与性质分别得到四个顶点和三个焦点的坐标，根据求凸四边形面积的基本方法得到，关于a，b的式子，从而得出关于a，b的式子，
利用基本不等式就可求出的最大值。 y
【详细解答】如图，双曲线=1与=1 C
的四个顶点分别为A（-a，0），B （a，0），C （0，b）， A 0 B x
D（0，-b），四个焦点分别为（-，0）， D
（，0），（0，），（0，-），=.2a.2b=2ab，
=.2.2=2（+），===
，的最大值为。
『思考题4』
（1）【典例4】是双曲线中的最值问题，解决这类问题的基本思路是：①数形结合法；②转化为求函数最值的问题；
（2）解决双曲线中的最值问题的常用方法有：①数形结合法，运用双曲线几何性质；②利用求函数最值的基本方法；③运用基本不等式不等式；，④ 利用一元二次方根的判别式。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知F是双曲线=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 ；（答案：|PF|+|PA|的最小值为+1）
2、已知双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且|P|=4|P|，求双曲线离心率e的最大值。（答案：双曲线离心率e的最大值是）
【典例5】解答下列问题：
1、直线l与双曲线=15的一支交于A、B两点，又与双曲线的渐进线交于M、N两点，且|MN|=3|AB|，求AB的中点P的轨迹方程；
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④参数方程化普通方程的基本方法。
【解答思路】设A（，），B（，），P（x，y），运用双曲线的性质和设而不求，整体代入数学思想求出点P关于参数k的坐标，利用参数方程化普通方程的基本方法就可得到点P的轨迹方程。 A y
【详细解答】设A（，），B（，），P（x，y）， B
直线l的方程为x=my+m，如图，=15， 0 x
EMBED Equation.DSMT4 -=1，联立双曲线 -=1和直线x=my+m， N
得：（5-3）-6mny -3-15=0，+=，.=，
+=m（+）+2n=+=，x==，
y==，点P（，），由 y= x , y= -x x=my+m， x=my+m，
分别得M（，），N（，），|MN|=3|AB|，
=3
.，=，（5-3）（-3+5）
=0，=3-5，点P（，）的轨迹方程为：- =1（y -
或y ）。
2、如图甲在面积为18的中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知
EMBED Equation.DSMT4 .=27, .=54。 A
（1）建立适当的直角坐标系，求双曲线E的方程；
（2）是否存在过点D（1，1）的直线l，使l与双 B C
曲线交于不同的两点M、N，且+=0，如 (甲)
果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由。 A y
【解析】
【知识点】①建立直角坐标系的基本方法；②双曲线的
定义与性质；③三角形面积公式及运用；④向量数量积 B 0 C x
的定义与性质；⑤设而不求，整体代入数学思想及运用。 (乙)
【解答思路】（1）如图（乙）作线段BC的垂直平分线交线段BC于点O，以点O为原点，线段BC所在直线为X 轴，线段BC 的垂直平分线为Y轴建立直角坐标系xoy，运用三角形面积公式，向量数量积的定义与性质，结合问题条件求出BC，AC的值，利用双曲线的定义与性质就可求出双曲线E的方程；（2）设存在过点D（1，1）的直线l，使l与双曲线交于不同的两点M、N，M（，），N（，），运用向量的相关知识，结合问题条件得到+=0关于，，，的方程，求解方程求出+，+的值，从而求出直线l的斜率与方程，联立直线方程和双曲线E的方程，得到关于x的一元二次方程，根据该方程无解得到满足问题条件的直线l不存在。
【详细解答】（1）如图（乙）作线段BC的垂直平分线交线段BC于点O，以点O为原点，线段BC所在直线为X轴，线段BC 的垂直平分线为Y轴建立直角坐标系xoy， AB=5，
.=||.||cosA=27，.=||.||cosC=54， 5||cosA=27，
=||.||sinA=18， =||.||sinC=18， 5||sinA=36，
||.||cosC=54， AC=9， a=2，=-=13-4=9，双曲线E的方||.||sinC=36， BC=2， c=，程为：-=1；
（2）设存在过点D（1，1）的直线l，使l与双曲线交于不同的两点M、N，M（，），N（，）， =（-1，-1），=（-1，-1），+=0，+=（+-2，+-2）=0，+=+=2，点M，N在双曲线-=1上， -=1， = = ，直线l过点D（1，1），直线l的方程为：
-=1，y=x-，由 -=1，得：45-90x+169=0，=8100-30420=-22320<0，
,y=x-，此时直线l与双曲线E没有交点，满足问题条件的直线l不存在。
3、已知椭圆的方程为+=1，双曲线的左，右焦点分别是的左，右顶点，而的左，右顶点分别是的左，右焦点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且.＞2，（其中O为坐标原点）求k的取值范围。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②椭圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解答思路】（1）由题意设双曲线的方程为：=1（a＞0,b＞0），运用椭圆的性质，结合问题条件分别求出椭圆的左，右顶点与左，右焦点的坐标，从而得到双曲线的实半轴a和半焦距c的值，求出就可得出双曲线的方程；（2）设A（，），B（，），运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到.，.关于参数k的式子，从而得到.关于参数k的不等式，求解不等式就可求出k的取值范围。
【详细解答】（1）由题意设双曲线的方程为：=1（a＞0,b＞0），椭圆的方程为+=1的左，右顶点分别为（-2，0），（2，0），左，右焦点分别为（-，0），（，0），双曲线的左，右焦点分别是的左，右顶点，而的左，右顶点分别是的左，右焦点，a=，c=2，=-=4-3=1，双曲线的方程为：-=1；（2）设A（，），B（，），联立双曲线 -=1和直线y=kx+，得：（1-3）-6kx-9=0，+ =，.=-，.=.+k（
+）+2=-++=，A，B是不同两点，=72+36（1-3）=36-36>0，-12，<0，<<3，
-『思考题5』
（1）【典例5】是直线与双曲线位置关系的问题，解答这类问题需要理解直线和双曲线的定义，掌握直线方程和双曲线方程的求法，注意处理直线与双曲线相交问题的基本思路是联立直线方程和双曲线方程消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，再运用设而不求，整体代入数学思想；
（2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情况分别考虑，实际解答问题时为避免这样繁杂的解答过程，可设直线方程为：x=my+n。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若双曲线E：-=1（a＞0）的离心率等于，直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A，B两点。
（1）求k的取值范围；
（2）若|AB|=6，点C是双曲线上一点，且=m（+），求k，m的值。
（答案：（1）k的取值范围是（1，）；（2）k=，m=。）
2、如图所示已知，是双曲线=1（a＞0） y A
的左右焦点，A、B是双曲线右支上不同于顶点的两
点，M、N分别为,的内切圆的圆心。 0 x
（1）设圆M与相切于P点，求证：|P|-|p|=2a； B
（2）求证：直线MN与y轴平行；
（3）如果点在线段AB上，直线AB的倾斜角的正弦值为，且|MN|=，求双曲线的方程。（答案：（1）提示：设圆M分别与A，A相切于点Q，R由圆的切线定理得到|P|-|p|=|Q|-|Q||A|-|A|=2a；（2）提示：连接MN，由|P|+|p|=2c，|P|-|p|=2a，得到|P|=a+c，|p|=c-a，从而求出点P，M，N的坐标，就可证明结论；（3）双曲线的方程是-=1）
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知焦距为4的双曲线-=1（a>0，b>0）的一条渐近线与直线x-y=0垂直，则该双曲线的方程为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A -=1 B -=1 C -=1 D -=1
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近定义与性质；③两条直线垂直的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，运用两条直线垂直的充分必要条件得到关于a，b的方程组，求解方程组求出，的值，从而求出双曲线的方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线-=1（a>0，b>0）的焦距为4，条渐近线与直线x-y=0垂直， + =4①，=②，联立①②解得：=1， =3， 双曲线的方程为：-=1 ， C正确，选C。
2、（理）若双曲线-=1（m>0）的渐近线与圆+-4y+3=0相切，则m=
（文）记双曲线C：-=1（a>0，b>0）的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值 （2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②圆定义与性质；③判断直线与圆相切的基本方法；④双曲线离心率定义与性质；⑤双曲线渐近线定义与性质；⑥求双曲线离心率的基本方法。
【解答思路】（理）根据双曲线和圆的性质，运用判断直线与圆相切的基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程就可求出m的值。（文）根据双曲线，双曲线离心率和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到直线y=2x是双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线，从而得到=2，运用求双曲线离心率的基本方法，就可求出双曲线的离心率e的值。
【详细解答】（理）圆+-4y+3=0，+=1，双曲线-=1的渐近线方程为：y=x，双曲线-=1（m>0）的渐近线与圆+-4y+3=0相切，d= =1，+1=4，m=，m>0， m=。（文）双曲线C：-=1（a>0，b>0）与直线y=2x无公共点，直线y=2x是双曲线C：-=1（a>0，b>0）的
一条渐近线，=2，令a=1，则b=2，c==，双曲线C的一个离心率为
e===。
3、双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C相交于M，N两点，且cosN=，则C的离心率为（ ）（2022全国高考乙卷理）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②圆定义与性质；③正弦定理及运用；④同角三角函数基本关系及运用；⑤双曲线离心率定义与性质；⑥求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】如图，设双曲线C的实轴为X轴，N=，N=，直线MN与圆D的切点为E，根据双曲线和圆的性质，运用同角三角函数基本关系，结合问题条件得到sin，sin，cos的值，从而求出sinN的值，由正弦定理，分别得到N，N的表示式，从而得到关于a，c的等式，利用双曲线离心率的性质和求双曲线离心率的基本方法求出双曲线C的离心率，就可得出选项。 y N
【详细解答】如图，设双曲线C的实轴为X轴， M E
N=，N=，直线MN与圆 0 x
D的切点为E， cosN=cos=，
sin= = ，在RtEO中，sin= ，cos= ，sinN= sin
（+）= sincos+ cossin= + = ，在N中，
=，=，|N|=，|N|=，|N|-|N|=-
=2b-a=2a，3a=2b，13=4，e==， C正确，选C。
4、已知双曲线=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A B C 2 D 3
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近线方程定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法。
【解答思路】根据双曲线和双曲线渐近线方程的性质，运用求双曲线离心率的基本方法，求出双曲线离心率e的值就可得出选项。
【详细解答】双曲线=1（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为y=x，QO=， =，=2， =+=+2=3，c=a，e= = =，B正确，选B。
5、（理）已知为双曲线=1（a＞0,b＞0）的右焦点，经过作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点B，若|A|=|B|，
则双曲线的离心率为 。
（文）已知为双曲线=1（a＞0,b＞0）的右焦点，经过作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限相交于点B，若|A|
=|B|，则双曲线的离心率为 （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线定义与性质；③求双曲线渐近线方程的基本方法；④求两条直线交点的基本方法；⑤系数三角形定义与性质；⑥求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】（理）根据双曲线和双曲线渐近线的性质，运用求双曲线渐近线和求两条直线交点的基本方法，结合问题条件求出点A，B的坐标，由相似三角形的性质得到关于a,c的的等式，利用求双曲线离心率的基本方法就可求出双曲线的离心率。（文）根据双曲线和双曲线渐近线的性质，运用求双曲线渐近线和求两条直线交点的基本方法，结合问题条件求出点A，B的坐标，由相似三角形的性质得到关于a,c的的等式，利用求双曲线离心率的基本方法就可求出双曲线的离心率。
【详细解答】（理）为双曲线=1（a＞0,b＞0）的右焦点，（c，0），直线l经过，且垂直双曲线的一条渐近线， 直线l的方程l：y=-（x-c），或l：y=（x-c）联立直线l和渐近线y=-x或联立直线l和渐近线y=x解得：x= , y=,或x= -,y=,A（，），或A（，-），联立直线l和渐近线y=-x，或直线l和渐近线y=x解得：x= ,y= -,或x= ,y= B（，-），或B（，）|A|=|B|，=，或=，=3，或2=3， e=或e=。（文）为双曲线=1（a＞0,b＞0）的右焦点，（c，0），直线l经过，且垂直双曲线的一条渐近线，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限相交于点B， 直线l的方程l：y=-（x-c），联立直线l和渐近线y=-x解得：x= , y=, A（，），联立直线l和渐近线y=-x，解得：x= ,y= -, B（，-），|A|=|B|，=，=3， e=。
6、已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且P=，|P|=3|P|，则C的离心率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②余弦定理及运用；③求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】根据双曲线的性质和余弦定理，结合问题条件得到关于a，c的等式，运用求双曲线离心率的基本方法求出双曲线C离心率的值就可得出选项。 y P
【详细解答】如图，|P|=3|P|， |P|-|P|
=2|P|=2a，|P|=3a，|P|=a，在P中， 0 x
P=，||=2c， 4=+9-2a3a=7，==，e
=，A正确，选A。
7、已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（成都市2019级高三零诊）
A y=2x B y=x C y=x D y=x
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近定义与性质；③点到直线的距离公式及运用；④求双曲线渐近线方程的基本方法。
【解题思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，运用点到直线的距离公式和求双曲线渐近线方程的基本方法，求出双曲线渐近线方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a， d= =b=2a， = =2，, 双曲线的渐近线方程为：y= x=2x，A正确，选A。
8、设，是双曲线C：-=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|P|=6时，P的面积为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 4 B 3 C D 6
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质，结合问题条件求出|P|，||，运用三角形面积公式求出得到关于a，b的方程组，求解方程组求出的值，运用求双曲线渐近线方程的基本方法求出P的面积就可得出选项。
【详细解答】，是双曲线C：-=1的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且|P|=6， |P|=|P|-2=6-2=4，||=2c=2=4，=|P|
=6=3， P的面积为3，B正确，选B。
9、点（3，0）到双曲线-=1的一条渐近线的距离为（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线渐近线方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质和求双曲线渐近线的基本方法，结合问题条件得到双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式求出点（3，0）到渐近线的距离就可得出选项。
【详细解答】双曲线-=1的渐近线方程为：y= x，点（3，0）到双曲线
-=1的一条渐近线的距离为：d= =，A正确，选A。
10、（理）已知双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，则C的焦距为 。
（文）双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 （2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线渐近线定义与性质；③双曲线焦距定义与性质；④点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】（理）根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用双曲线焦距的性质就可求出双曲线C的焦距。（文）根据双曲线的性质，求出双曲线-=1的右焦点F的坐标，运用点到直线的距离公式就可求出双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离。
【详细解答】（理）双曲线C：-=1（m>0）的一条渐近线为x+my=0，
=，m=3，=m+1=3+1=4，c=2，即双曲线C的焦距为2c=22=4。（文）=4+5=9，双曲线-=1的右焦点F的坐标为（3，0），=
==，双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为。
已知双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②双曲线离心率定义与性质；③双曲线渐近线定义与性质。
【解题思路】根据双曲线和双曲线离心率的性质，得到关于a，b的式子，从而求出的值就可得出双曲线的渐近线方程。
【详细解答】双曲线-=1（a>0，b>0）的离心率为2，=2，=1+=4，=，即双曲线的渐近线方程为y=x。
12、已知离心率为2的双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）（成都市2021高三零诊）
A - =1 B -=1 C - =1 D -=1
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线离心率的基本方法；③椭圆的定义与性质。
【解题思路】根据双曲线，椭圆的性质，结合问题条件得到双曲线半焦距c的值，运用求双曲线离心率e的基本方法求出a，b的值，从而得到双曲线的方程就可得出选项。
【详细解答】 双曲线C：-=1（a>0，b>0）与椭圆+=1有公共焦点，双曲线的半焦距c=2，双曲线C的离心率e= =2， a= =1，=-=4-1=3，
双曲线的方程为：- =1，C正确，选C。
13、已知双曲线-=1（a>0，b>0）的右焦点为，点M，N在双曲线的同一条渐近线上，O为坐标原点，若直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|
=|N|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（成都市2021高三三诊）
A y=x B y= x C y= x D y=2x
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③求双曲线渐近线方程的基本方法。
【解题思路】根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组求出的值，运用求双曲线渐近线方程的基本方法求出双曲线渐近线的方程就可得出选项。
【详细解答】设M（，），N（，）是双曲线渐近线y=x上的两点，
（，0），O为坐标原点，直线M平行于双曲线的另一条渐近线，且ON，|M|=|N|，=-①，=，=②，
+=（）③，联立①②③解得：= ，双曲线
-=1（a>0，b>0）的渐近线方程为：y= x，B正确，选B。
14、（理）已知F为双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为 ；
（文）设，是双曲线C：-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|
=2，则P的面积为（ ）（2020全国高考新课标I）
A B 3 C D 2
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②直角三角形的定义与性质；③直线斜率的定义与性质；④求双曲线离心率的基本方法；⑤求三角形面积的基本方法。
【解题思路】（理）如图，连接AB，运用双曲线的性质，结合问题条件求出点B的坐标，根据直线AB的斜率为3得到关于a，c的等式，利用求双曲线离心率的基本方法就可求出双曲线C的离心率；（文）运用双曲线的性质，结合问题条件求出||的值和点P的坐标，利用求三角形面积的基本方法通过运算求出P的面积就可得出选项。 y B
【详细解答】（理）如图，连接AB， F为双曲线
C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点，A为C的右 0 A F
顶点，B为C上的点，且BF垂直于X轴，A（a，0），C（c，0），B（c，）， AB的斜率为3，===3，e=2，双曲线C的离心率为2。（文），是双曲线C：-=1的两个焦点，（-2，0），（2，0），||=4， O为坐标原点，点P在C上，且|OP|,=2，-=1①，+=4②，联立①②解得：x=，y=，点P（，），=4=3，B正确，选B。
设O为坐标原点，直线x=a与双曲线-=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）（2020全国高考新课标II）
A 4 B 8 C 16 D 32
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②三角形面积公式及运用；③基本不等式及运用。
【解题思路】根据双曲线的性质，结合问题条件求出点D，E的坐标，运用三角形面积公式得到关于a，b的式子，从而求出ab的值，利用基本不等式求出+的最小值，求出双曲线C的焦距的最小值就可得出选项。
【详细解答】双曲线=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=x，直线x=a与双曲线=1（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，D（a，b），E（a，-b），|DE|=b-(-b)=2b，ODE的面积为8，=|DE|.=2ba=ab=8，+
2ab2816，双曲线C的焦距2c=22248，即当且仅当a=b=2时，双曲线C焦距取得最小值为8，B正确，选B。
16、（理）已知双曲线C：- =1（a>0，b>0）的左右焦点，，离心率为，P是C上的一点，且PP，若P的面积为4，则a=（ ）
A 1 B 2 C 4 D 8
（文）设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线为y=x，则C的离心率为
（2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③求双曲线离心率的基本方法；④三角形面积公式及运用。
【解答思路】（理）根据双曲线的性质和三角形面积公式，结合问题条件得到关于a，c，|P|的方程组，求解方程组求出a的值就可得出选项。 （文）根据双曲线和双曲线渐近线的性质，结合问题条件得到关于a，b的等式，从而求出a，c之间的关系式，运用求双曲线离心率的基本方法就可求出C的离心率。
【详细解答】（理）如图，e==， =5①， P是C上的一点，且PP，
若P 的面积为4， y P
+ =4②，（2a+|P|）|P|=4③， 0 x
联立①②③解得：a=1，A正确，选A。
（文）双曲线C：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线为y=x， =， =2，=+=+2=3，c=a，e==，C的离心率为。
17、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）（2020成都市高三零诊）
A （，） B （，）
C （1，）（，+ ） D （1，）（，+ ）
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与求法；③不等式的定义与解法。
【解题思路】运用双曲线的性质和双曲线离心率的基本求法，结合问题条件得到关于双曲线离心率e的不等式，求解不等式就可得出选项。
【详细解答】如图，连接N，交双曲线C的左支于点M，
N（-c，），M（-c，），|M| N M y
-|M|=2a，|MN|=-=，|M|=2a+ 0 x
|M|=，双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，+
=>4b，4>8ab，16-40+9>09-58+65>0，
<或>5，1，C正确，选C。
19、已知双曲线C：-=1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为
（2019成都市高三一诊）
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线渐近线的定义与性质；③点到直线的距离公式及运用；
【解题思路】根据双曲线的定义与性质，可知F（，0），渐近线方程为：y=x，运用点到直线的距离公式就可求出结果；
【详细解答】 F（，0），渐近线方程为：y=x，==1。
18、已知双曲线C:- =1（b＞0）的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为( ) （2019成都市高三二诊）
A y= x B y= 2x C y= 3x D y= x
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线焦距的定义与性质；③双曲线渐近线的定义与求法。
【解题思路】根据双曲线焦距的定义与性质，运用双曲线实半轴a，虚半轴B，半焦距之间的关系先求出b的值，再利用双曲线渐近线的基本求法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】双曲线C为：-=1（b>0）的焦距为4，2c=4，c=2，a=1，=+
，=4-1=3，b=，双曲线的渐近线方程为：y=x， D正确，选D。
『思考题5』
（1）【典例6】是近几年高考或高三诊断考试中有关双曲线的问题，。纵观近几年高考试卷，归结起来双曲线问题主要包括：①求双曲线的标准方程；②双曲线定义与几何性质的运用；③求双曲线离心率的值或取值范围；④与双曲线相关的最值问题；⑤直线与双曲线位置关系问题等几种类型；
（2）在解答考题时，注意抓住问题的结构特征，分辨清楚问题属于哪一种类型，再运用解答该类问题的基本思路和基本方法去解答问题。
〔练习6〕解答下列问题：
1、设双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为，，以为直径的
圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直线P与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q，若点Q恰好为线段P的中点，则直线P的斜率的值为 （成都市2021高三二诊）（答案：直线P斜率k=。）
2、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为（-c，0），（c，0），又点N（-c，），若双曲线C左支上的任意一点M均满足|M|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：C）
A （，） B （，）
C （1，）（，+ ） D （1，）（，+ ）
3、（理）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为
；（答案：双曲线C的离心率为）
（文）已知直线y=kx与双曲线C：=1（a＞0,b＞0）相较于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：B）
A B C 2 D
4、如图，双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别是（-c，0），（c，0），
直线y=与双曲线C的两条渐近线分别相较于A，B两点，若B=，则双曲线
的离心率为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：A）
A 2 B C D
5、已知，是双曲线=1（a＞0,b＞0）的左右焦点，经过点且与X轴垂直
的直线与双曲线的一条渐近线相较于点A，且A，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：A）
A [，] B [，3] C [3，] D [，3]
6、已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为，，抛物线=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点，设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且cosP=，则双曲线C的离心率为（ ）（2019成都市高三三诊）（答案：D）
A 或 B 或3 C 2或 D 2或3
7、（理）双曲线C： -=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则PFO的面积为（ ）（答案：A）
A B C 2 D 3
（文）已知F是双曲线C：-=1的一个焦点，O为坐标原点，若|OP|=|OF|，则OPF的面积为（ ）（2019全国高考新课标III）（答案：B）
A B C D
8、（理）已知双曲线C：-=1（a＞0， b＞0）的左，右焦点分别为，，过的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，若=，.=0，则C的离心率为 。
（文）双曲线C：-=1（a＞0， b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心
率为（ ）（2019全国高考新课标I）（答案：（理）C的离心率为2；（文）D）
A 2sin B 2cos C D
A
A
O
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