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第12章
乘法公式与因式分解
青岛版 七年级下册
12 . 1
平方差公式
观察与思考
(1) 时代中学计划将一个边长为 a米的正方形花坛，改造成长为 (a＋2) 米、宽为 (a－2) 米的长方形花坛. 你会计算改造后的花坛面积吗 如果改造成长为(a＋1)米、宽为(a－1)米的长方形花坛呢
(a＋2)·(a－2) ＝ a2－2a＋2a－4 ＝ a2 － 4；
(a＋1)·(a－1) ＝ a－a＋a－1＝ a2－1.
(2) 观察上面两个乘式中的因式以及它们的乘积，你发现了什么
(3) 如图12－1，在长为 a＋b，宽为 a－b 的长方形中，剪去一个长为 a－b，宽为b(a＞b＞0)的小长方形，然后把长方形①②拼接成图12－2所示的图形.
图12－1
图12－2
分别计算它们的面积. 由此，你得出一个怎样的等式
图12－1
图12－2
(4) 设a，b都是有理数，利用多项式的乘法法则，计算这两个数的和与这两个数的差的积，你能推导出一般性的结论吗
(a＋b)·(a－b) ＝a2－ab＋ab－ b2＝a2－b2
由此得到平方差公式：
(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2.
这就是说，两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差.
例如，(5＋x)·(5－x) ＝52－x2＝25－x2.
例 1
利用平方差公式计算：
(1) (3x＋2y)·(3x－2y )；
(2) (－7＋2m2)·(－7－2m2)；
＝ (3x)2－ (2y)2
＝ 9x2－4y2；
＝(－7)2－ (2m2)2
＝49 －4m2
(3) (x－1)·(x＋1)·(x2＋1).
＝(x2－1)·(x2＋1)
＝x2－1
想一想，利用平方差公式可以使哪一类多项式的乘法变得简单一些
平方差公式中的a和b可以表示任意的代数式.
例 2
利用平方差公式计算本章“情境导航”中提出的问题.
某城市广场呈长方形，长为803 米宽为 797 米，你能用简便的方法计算出它的面积吗
803×797＝ (800＋3)×(800－3)
＝ 8002－32
＝ 640 000－9
＝ 639 991.
所以，这个城市广场的面积为 639 991平方米.
挑战自我
利用平方差公式计算
(1＋)×(1＋ )×(1＋)×(1＋).
练 习
1. 利用平方差公式计算：
(1) (a＋6)·(a－6)；
(2) (1＋x)·(1－x)；
＝ a2 － 62
＝ a2 － 36；
＝ 12 － x2
＝ 1 － x2
(3) (x－20y)·(x＋20y)；
(4) (a－3)·(a＋3)·(a2＋9)
＝ x2－(20y)2
＝ x2 － 400y2；
＝ (a2－9)(a2＋9)
＝ a4－81
习题 12.1
复习与巩固
1. 计算：
(1) (2x＋8)·(2x－8)； (2) (2＋5a)·(5a－2)；
＝(2x)2－82
＝4x2－64
＝(5a)2－22
＝25a2－4
(3) (1.2m－n)·(1.2m＋n)；
(4) (3a2＋b)·(3a2－b)
＝ (1.2m)2－n2
＝1.44m2－n2
＝ (3a2)2－(b)2
＝9a4 －b2
2. 利用平方差公式计算：
(1) 73 × 67；
(2) 99.8× 100.2
3. 计算：
(1) (2a－1)·(2a＋1)·( 4a2＋1)；
(2) (2x－5)·(2x＋5)－(7＋2x)· (2x －7).
拓展与延伸
4. 你能利用右图中的面积关系解释平方差公式吗
提示：答案不唯一，只要合理即可.
5. 计算：
(1) a2 －(a－b)·(a＋b)·(a＋b)；
(2) .
探索与创新
6. 化简：
(3＋2)×(32＋22)×(34＋24)×(38＋28)×···× (364＋264 ).
本课结束！

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