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第二单元第6 讲 对数与对数函数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：对数式的运算
题型二：对数函数的图象及应用
题型三：比较指数式、对数式大小
题型四：解对数方程不等式
题型五：对数函数性质的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【讲方法】
1.解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
2.对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
3.求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
4.常用结论
①logab·logba＝1，＝logab.
②如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
③对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
二、【练】
【练题型】
【题型一】对数式的运算
【典例1】设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【典例2】计算：
(1)÷100；
(2).
【典例3】计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
【题型二】对数函数的图象及应用
【典例1】若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)
【典例2】若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．
【典例3】已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
【题型三】比较指数式、对数式大小
【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，，则(　　)
A．bC．c【典例2】若实数a，b，c满足loga2A．aC．c【典例3】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b【题型四】解对数方程不等式
【典例1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为________.
【典例2】设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
【典例3】已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f0的解集为(　　)
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【题型五】对数函数性质的综合应用
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【典例3】已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
【练真题】
【真题1】（2022-浙江）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（　　）
A．25 B．5 C． D．
【真题2】（2022-上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　 　．
【真题3】（2020-课标III）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a【真题4】（2020-课标II）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【真题5】（2020-课标Ⅰ）若，则（ ）
A. B. C. D.
【真题6】（2019-课标III）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【真题7】（2018-课标III）设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【真题8】（2016-天津）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）
在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的
取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【真题9】（2016-浙江）已知.若，，则 ， .
【真题10】（2015-北京）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【真题11】（2015-新课标2）设函数, ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【真题12】（2015-天津）已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )
（A） （B） （C） （D）
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　　 B．
C．9 D．
2. 函数y＝的定义域是(　　)
A．[1，2] B．[1，2)
C． D．
3. 设a＝4－，b＝log，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c4. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
【多选题】
5. 在同一平面直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．fg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0
6. 已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的为(　　)
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________．
8. 已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
9. 若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
10. 函数f(x)＝log2·的最小值为________．
11. 若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
【测能力】
【单选题】
1. 设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<02. 若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则(　　)
A．z>x>y B．z>y>x
C．x>y，x>z D．z>x，z>y
3. 函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(mA. B. C. D.
4. 若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．0C．1【多选题】
5. 已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上的最大值为0
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
6. 已知函数f(x)＝则(　　)
A．若f(a)＝1，则a＝0
B．f＝2 019
C．若f(f(a))＝2－f(a)，则0≤a≤3
D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k≥1
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________．
8. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a9. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a10. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a11. 已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
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第二单元第6 讲 对数与对数函数
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：对数式的运算
题型二：对数函数的图象及应用
题型三：比较指数式、对数式大小
题型四：解对数方程不等式
题型五：对数函数性质的综合应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【讲方法】
1.解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
2.对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
3.求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
4.常用结论
①logab·logba＝1，＝logab.
②如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
③对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
二、【练】
【练题型】
【题型一】对数式的运算
【典例1】设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
方法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B.
方法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.
方法四：因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B.
方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，因为alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B.
【典例2】计算：
(1)÷100；
(2).
【解析】(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg ×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
【典例3】计算：lg－lg 8＋lg 7＝________．
【解析】原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
【题型二】对数函数的图象及应用
【典例1】若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)
【解析】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B．故选B.
【典例2】若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．
【解析】构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0可知，只需两图象在上有交点即可，
则f≥g，即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
【典例3】已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
【解析】问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
【题型三】比较指数式、对数式大小
【典例1】设a＝log3e，b＝e1.5，，则(　　)
A．bC．c【解析】＝log34>log3e＝a.
又c＝log342，
∴a故选D.
【典例2】若实数a，b，c满足loga2A．aC．c【解析】根据不等式的性质和对数的换底公式可得
<<<0，
即log2c可得c【典例3】已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cC．b【解析】因为a＝log27>log24＝2，b＝log381，c＝0.30.2<0.30＝1，所以c【题型四】解对数方程不等式
【典例1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为________.
【解析】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
所以可将f(log(2x－5))＞f(log38)化为|log(2x－5)|＞|log38|，
即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3，
即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.
【典例2】设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
【解析】由题意得
或
【典例3】已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f0的解集为(　　)
A．(0，1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f0 2x－1>1，所以x>1.
法二：由floga，
所以loga2－1所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1.
故选C.
【题型五】对数函数性质的综合应用
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.
【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【解析】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
故选A.
【典例3】已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
【解析】要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
【练真题】
【真题1】（2022-浙江）已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（　　）
A．25 B．5 C． D．
【解析】由2a＝5，log83＝b，
可得8b＝23b＝3，
则4a﹣3b＝＝＝＝，
故选：C．
【真题2】（2022-上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　 　．
【解析】函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），
整理得；
所以f﹣1（27）＝3．
故答案为：3．
【真题3】（2020-课标III）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a【解析】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【真题4】（2020-课标II）设函数，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【真题5】（2020-课标Ⅰ）若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】设，则为增函数，因为
所以 =
，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【真题6】（2019-课标III）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【真题7】（2018-课标III）设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
,即
又
即
故选B.
【真题8】（2016-天津）已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【解析】由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又∵时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的去范围是，故选C.
【真题9】（2016-浙江）已知.若，，则 ， .
【解析】设，因为，
因此
【真题10】（2015-北京）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集选C.
【真题11】（2015-新课标2）设函数, ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．
【真题12】（2015-天津）已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】因为函数 为偶函数, 所以 , 即 , 所以
所以 , 故选 C
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　　 B．
C．9 D．
【解析】因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.
所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝.
故选D.
2. 函数y＝的定义域是(　　)
A．[1，2] B．[1，2)
C． D．
【解析】由即
解得x≥.故选C.
3. 设a＝4－，b＝log，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c【解析】a＝4－＝＝，b＝log＝log23>log22＝1，c＝log32>log3＝，且c＝log324. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
【解析】由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A．
【多选题】
5. 在同一平面直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．fg(1)＞0(x＞0)
D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0
【解析】由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．
故选ABC.
6. 已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的为(　　)
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
【解析】函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以f(x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，
所以A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
因为1－|x|≤1，所以h(x)≤log21＝0，故C正确．
故选BC.
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________．
【解析】由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝.
8. 已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
【解析】令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.
9. 若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
【解析】当01时，loga1.所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
10. 函数f(x)＝log2·的最小值为________．
【解析】依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
11. 若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
【解析】令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝.
当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；
当0【测能力】
【单选题】
1. 设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<0【解析】∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，
b＝log20.3∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab故选B.
2. 若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则(　　)
A．z>x>y B．z>y>x
C．x>y，x>z D．z>x，z>y
【解析】设2x＝3y＝log4z＝k>0，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，
根据指数、对数函数图象易得4k>log2k，
4k>log3k，
即z>x，z>y.故选D.
3. 函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(mA. B. C. D.
【解析】∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n(m∴0∴log3m＝－log3n，
∴log3m＋log3n＝0，解得mn＝1，
又∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，
易知f(m2)＝－log3m2＝2，此时
∴n－m＝.
故选A.
4. 若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．0C．1【解析】当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.
当0则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上的最大值为0
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
【解析】f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)，
f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，
令t＝－x2＋2x，y＝ln t，
∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；
f(x)max＝f(1)＝0，故B正确；
∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，
∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确．
故选BC.
6. 已知函数f(x)＝则(　　)
A．若f(a)＝1，则a＝0
B．f＝2 019
C．若f(f(a))＝2－f(a)，则0≤a≤3
D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k≥1
【解析】由f(a)＝1，得或解得a＝3或a＝0，故选项A不正确；f＝f＝＝2log22 019＝2 019，选项B正确；f(f(a))＝2－f(a)＝，所以f(a)≤1，得或解得0≤a≤3，选项C正确；作出函数f(x)的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f(x)＝k有两个不同的实数根时，k≥，选项D不正确．故选BC.
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________．
【解析】由于a>0，且a≠1，
所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
所以a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
所以a－3>0，即a>3.
8. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a【解析】由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a9. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a【解析】由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,010. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a【解析】由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，
∴ab＝1，011. 已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，
即8－2a>a，且8－2a>0，
解得1当0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，
且8－2a>0.
∴8－a0，此时解集为 .
综上可知，实数a的取值范围是.
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