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第二单元第7讲 函数的图象
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：作函数的图象
题型二：函数图象的识别
题型三：研究函数的性质
题型四：函数图象在不等式中的应用
题型五：求参数的取值范围
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)
y＝logax(a>0且a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
【讲方法】
1.图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
2.识别函数的图象的主要方法有：
(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
3.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
4.常用结论
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、【练】
【练题型】
【题型一】作函数的图象
【典例1】分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【典例2】分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|(x＋1)；
(2)y＝.
【题型二】函数图象的识别
【典例1】函数f(x)＝的图象大致为(　　)
【典例2】已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)
【典例3】函数f(x)＝cos πx＋ln|2x|的大致图象是(　　)
【题型三】研究函数的性质
【典例1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
【典例2】对于函数f(x)＝lg(|x|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
【题型四】函数图象在不等式中的应用
【典例1】已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【典例2】函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)
A．(1，3)
B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3)
D．(－1，0)∪(0，1)
【典例3】设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________________.
【题型五】求参数的取值范围
【典例1】已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________.
【典例2】设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【典例3】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．　
【练真题】
【真题1】（2022-甲卷）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【真题2】（2022-乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
【真题3】（2019-课标III）函数在的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【真题4】（2019-课标II）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【真题5】（2018-课标III）函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【真题6】（2018课标Ⅰ）函数的图像大致为 (　　)
A. B.
C. D.
【真题7】（2016-新课标1）函数在的图像大致为
（A） （B）
（C） （D）
【真题8】（2015-新课标2）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）
【真题9】（2015-安徽）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
【真题10】（2014-江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)
A．a>1，b>1　　　　　　　 B．a>1，0C．01 D．02. 将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为(　　)
3. 函数y＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致是(　　)
4. 函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
【多选题】
5. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
6. 已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有3个不同的实数根
【填空题】
7. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．
8. 对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
9. 设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．　
10. 设函数y＝f(x)的图象与y＝x＋a的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f ＝4，则实数a＝________.
11. 已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________．
【测能力】
【单选题】
1. 若函数f(x)＝(emx－n)2的大致图象如图所示，则(　　)
A．m>0,00，n>1
C．m<0,01
2. 若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3. 若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
4. 已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
【多选题】
5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A.当x＞0时，f(x)＝－e－x(x－1)
B.函数f(x)有3个零点
C.f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D. x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2
6. 函数f(x)＝的图象可能是(　　)
【填空题】
7. 若平面直角坐标系内A、B两点满足：(1)点A、B都在f(x)图象上；(2)点A、B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有________个
8. 已知函数f(x)＝，x∈R，则不等式f(x2－2x)9. 设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
10. 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
11. 已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________.
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第二单元第7讲 函数的图象
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：作函数的图象
题型二：函数图象的识别
题型三：研究函数的性质
题型四：函数图象在不等式中的应用
题型五：求参数的取值范围
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)
y＝logax(a>0且a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
【讲方法】
1.图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
2.识别函数的图象的主要方法有：
(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．
(2)利用函数的零点、极值点等判断．
(3)利用特殊函数值判断．
3.当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
4.常用结论
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、【练】
【练题型】
【题型一】作函数的图象
【典例1】分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解析】(1)y＝
图象如图①所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．
(3)y＝图象如图③所示．
【典例2】分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|(x＋1)；
(2)y＝.
【解析】(1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.
所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．
(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
【题型二】函数图象的识别
【典例1】函数f(x)＝的图象大致为(　　)
【解析】由题意知，f(x)的定义域为R，
f(－x)＝
＝＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，排除C；
f(1)＝>0，排除A；
f(2)＝<0，排除B.
故选D.
【典例2】已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)
【解析】函数f(x)＝
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝
所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C错误；
当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，
故选项D错误，选项B正确．
故选B.
【典例3】函数f(x)＝cos πx＋ln|2x|的大致图象是(　　)
【解析】因为f(x)＝cos πx＋ln|2x|(x≠0)，
所以f(－x)＝cos(－πx)＋ln|－2x|＝cos πx＋ln|2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；
f(1)＝cos π＋ln 2＝－1＋ln 2<0，故排除选项B；
f(2)＝cos 2π＋ln 4＝1＋2ln 2>0，故排除选项D.
故选C.
【题型三】研究函数的性质
【典例1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，
得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.
【典例2】对于函数f(x)＝lg(|x|＋1)，给出如下三个命题：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
【解析】作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．故选B.
【题型四】函数图象在不等式中的应用
【典例1】已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【解析】在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2)．
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.
【典例2】函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)
A．(1，3)
B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3)
D．(－1，0)∪(0，1)
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈ ；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．故选C.
【典例3】设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________________.
【解析】画出f(x)的大致图象如图所示.
不等式(x－1)f(x)≤0可化为或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}.
【题型五】求参数的取值范围
【典例1】已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________.
【解析】函数f(x)＝的图象如图所示，
不妨令a＜b＜c，
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，
而1＜c＜2 022，所以2＜a＋b＋c＜2 023.
【典例2】设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【解析】如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
【典例3】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．　
【解析】画出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示．
由图可知，当0【练真题】
【真题1】（2022-甲卷）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解析】f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
【真题2】（2022-乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在（1，3）存在零点，
而对于B选项：令y＝0，即，解得x＝0，或x＝1或x＝﹣1，故排除B选项；
对于D选项，令y＝0，即，解得x＝kπ，k∈Z，故排除D选项；
C选项：当x＞0时，2x＞0，x2+1＞0，因为cosx∈[﹣1，1]，故，且当x＞0时，，故，而观察图像可知当x＞0时，f（x）max≥1，故C选项错误．
故选：A．
【真题3】（2019-课标III）函数在的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【真题4】（2019-课标II）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），
时，成立，即，，故选B．
【真题5】（2018-课标III）函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
【真题6】（2018课标Ⅰ）函数的图像大致为 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；故选B.
【真题7】（2016-新课标1）函数在的图像大致为
（A） （B）
（C） （D）
【解析】函数 在 上是偶函数,其图象关于 轴对称，因为 , 所以 排除 选项； 当 时, 有一零点,设为 , 当 时, 为减函数,当 时, 为增函数. 故选 D.
【真题8】（2015-新课标2）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）
【解析】由已知得, 当点 在 边上运动时, 即 时, ; 当点 在 边上运动时, 即 时, , 当 时, ; 当点 在 边上运动时, 即 时, , 从 点 的运动过程可以看出, 轨迹关于直线 对称, 且 , 且轨迹非线型, 故选 B.
【真题9】（2015-安徽）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A），， （B），，
（C），， （D），，
【解析】由 及图象可知, , 则 ; 当 时, , 所以 ; 当 , 所以 , 所以 . 故 , 选 C.
【真题10】（2014-江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .
【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则(　　)
A．a>1，b>1　　　　　　　 B．a>1，0C．01 D．0【解析】由题图从左向右下降，知0又y＝f(x)与y轴的交点(0，1－b)，
所以0<1－b<1，则0故选D.
2. 将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为(　　)
【解析】将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln[1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1，2)，故C正确，选C.
3. 函数y＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致是(　　)
【解析】y＝是偶函数，其图象关于y轴对称．当x≥0时，函数y＝，y′＝，当x∈[0，2)时，y′≥0，y＝在[0，2)上单调递增，当x∈(2，＋∞)时，y′<0，y＝在(2，＋∞)上单调递减，所以y＝在[0，＋∞)上有且只有一个极大值点是x＝2，故选D.
4. 函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈ ；当∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．
故选C.
【多选题】
5. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
【解析】函数y＝a－x与y＝loga(a>0且a≠1)的单调性相反，所以排除B，D项；当a>1时，可能的图象是C项；当06. 已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有3个不同的实数根
【解析】对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称；
对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，
作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图，
对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根．
故选BC.
【填空题】
7. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．
【解析】由图象知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.
8. 对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
【解析】函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.
9. 设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．　
【解析】如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
10. 设函数y＝f(x)的图象与y＝x＋a的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f ＝4，则实数a＝________.
【解析】设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝x＋a的图象上．
所以x＝y＋a，则.
因此.
由f(3)＋f ＝4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.
11. 已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________．
【解析】在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．
【测能力】
【单选题】
1. 若函数f(x)＝(emx－n)2的大致图象如图所示，则(　　)
A．m>0,00，n>1
C．m<0,01
【解析】令f(x)＝0，得emx＝n，即mx＝ln n，
解得x＝ln n，
由图象知x＝ln n>0，
当m>0时，n>1，当m<0时，0当m<0时，易知y＝emx是减函数，
当x→＋∞时，y→0，f(x)→n2，故排除C.
故选B.
2. 若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B.
3. 若函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
【解析】由题图可知，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，取x＝，
对于B，f＝＝1＞0，排除B；
对于D，f＝＝＞0，排除D；
当x＞0时，对于A，f(x)＝＝1＋，
此函数图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
所以当x＞1时，f(x)＞1恒成立，
而题图中，当x＞1时，f(x)可以小于1，排除A，故选C.
4. 已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
【解析】函数f(x)的图象如图实线部分所示，
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
故选D.
【多选题】
5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列命题正确的是(　　)
A.当x＞0时，f(x)＝－e－x(x－1)
B.函数f(x)有3个零点
C.f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D. x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2
【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1).
设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝e－x(－x＋1)，
∴f(x)＝－f(－x)＝e－x(x－1)，
又当x＝0时，f(0)＝0，
因此函数f(x)有三个零点：0，±1.
当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，
f′(x)＝ex(x＋2)，
可得当x＝－2时，函数f(x)取得极小值，f(－2)＝，作出y＝f(x)的图象如图所示.
f(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).
x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(0＋)－f(0－)|＜2.
故选BCD.
6. 函数f(x)＝的图象可能是(　　)
【解析】函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论．若a＝0，则f(x)＝＝，选项C符合；f′(x)＝，当a<0时，f′(x)<0恒成立，故f(x)在(－∞，－)，(－，)，(，＋∞)上单调递减，A项符合；当a>0时，f′(x)＝0，解得x＝±，当f′(x)>0，即x∈(－，)时，f(x)单调递增，当f′(x)<0，即x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，f(x)单调递减，B项符合；不可能出现D项的情形，故选ABC.
【填空题】
7. 若平面直角坐标系内A、B两点满足：(1)点A、B都在f(x)图象上；(2)点A、B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有________个
【解析】作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．
8. 已知函数f(x)＝，x∈R，则不等式f(x2－2x)【解析】由已知得，f(x)＝其图象如图所示：
由图可知，不等式f(x2－2x)9. 设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).
10. 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
11. 已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________.
【解析】由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点.
函数y＝f(x)，x∈[0，6]的图象如图所示，
由图知k的取值范围是.
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