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南海区 2022至 2023学年第二学期高一素养提升
数学学业水平测试
2023年 5月
本试卷共 4页，总分 150分． 考试时间 120分钟
一、单项选择题：本大题共 8小题, 每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，
有一项是符合题目要求．

1．已知向量a ( 1,2)，b (1,0)，那么向量3b a等于（ ）
A． 4,2 B． 4, 2 C． 4,2 D． 4, 2
2 i
2．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
3i 1
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． sin 2 75 sin 215 的值为（ ）
A 1． B 1 3 3． C． D．
2 2 2 2
4 90 ．“ ”是“函数 f (x) sin x 为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积和圆柱的全面积的比是（ ）
A．2 :3 B．3: 4 C． 4 :5 D．5:6

6．向量 a 2,2 3 在向量b 3,1 上的投影向量是（ ）
A． 3, 3 B． 3, 3 C． 3, 3 D． 3, 3

7．在正方形 ABCD中，CE 2ED， AE 与对角线 BD交于 F ，则 AF =（ ）
1 2
A． AB AD 3 1 1 3 1B． AB AD C． AB AD D． AD AB
3 3 4 4 4 4 3
8．复数 z 满足 z 1，则 z 3 4i （ i为虚数单位）的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． 2 5 D．5
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 5分，选错的得 0分，部分选对的得 2 分．
π
9．下列四个函数中，以 π为最小正周期且在区间 , π 上单调递增的函数是（ ）
2
A． y sin2x B． y cos2x C． y sin x D． y tan x
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10．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是 5,7 ， 3,5 ， 3,4 ，则第四个顶点的坐标可能
是（ ）
A． 1,8 B． 5,2 C． 11,6 D． 5,2
11．已知函数 f (x) sin x 3 cos x ， 0，则下列结论中正确的是（ ）

A．若 2，则将 f (x)图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
6

B．若 f x1 f x2 4，且 x1 x2 的最小值为 ，则 22
C．若 f (x) 0,

在 上单调递增，则 的取值范围为 (0,3] 3
D．当 3时， f (x)在[0, ]有且只有 3个零点
12．已知圆锥顶点为 S，底面圆O的直径 AB长为 2 2， SO 1．若C为底面圆周上不同于
A， B的任意一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥 SO 3的侧面积为6 2 B．△ SAC面积的最大值为 2
C．圆锥 SO的外接球的表面积为9
7
D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过 SO的中点时，则水的体积为
12
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．

13．在四边形 ABCD中 AB / /CD，若 AB (k , 4)，CD 3,k 则 k ___________．
14．根据诱导公式，填适当的式子，使___________ cos ．
15 1 tan15

．
___________.1 tan15

16．△ ABC 3的内角 A，B，C的对边分别为 a，b， c， A ，b c，BC边上的高6 4
为 2 3，则△ ABC的面积是____________．
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四 、解答题：本大题共 6小题，满分 70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本大题 10分）已知向量 a 3e1 2e2 ，b 4e1 3e2 ，其中 e1 (1,0)， e2 (0,1)．

（1）求 a b， | a b |；

（2）求 a与b夹角的余弦值．
18 1 3．（本大题 12分）已知函数 f x sin 2x cos 2x．
2 2
（1）求函数 f x 的最小正周期与单调递增区间；
（2）把函数 f x 图象上所有点向左平移 个单位，得到函数 g x 的图象，求 g x 在
3
x π 0,

上的最小值与最大值，并求出取最大值、最小值时自变量 x的值． 2
19．（本大题 12分）如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的
四面体得到的，已知被截的正方体棱长是 2a．
（1）求石凳的体积；
（2）求石凳的全面积．
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20．（本大题 12分）已知△ ABC内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，
且 2ccosA acosB bcosA．
（1）求角 A的大小；
（2）若△ ABC的周长为9，外接圆的半径为 3，判断△ ABC的形状，并求△ ABC的面积．
21．（本大题 12分）如图在四边形 ABCD中， A 90 ， AB 2，
AD 4，CB CD．
（1）当 BD平分四边形 ABCD面积时，求CD长度；

（2）问 AC BD是定值吗？为什么？
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22．（本大题 12分）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，
设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，
太阳直射南半球时取负值）， 为当地的纬度值．
（1）若 45 ， 20 ，求 的值，并直接写出用 ，
表示 的关系式；
（2）某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直
射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续 400天太
阳直射点的纬度平均值．下面是该科技小组的三处观测站成员在
春分后第 45天测得的当地太阳
高度角数据：
观测站 A B C
观测站所在纬度 /度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角 /度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度 /度 16.3857 16.3859
太阳直射点的纬度平均值 y /度
请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到 0.0001）；
（3）设第 x天时太阳直射点的纬度平均值为 y．该科技小组通过对数据的整理和分析，推断 y
与 x近似满足函数 y 23.392911sin 0.01720279x T 2 ，经计算 365.2422，已知 2023

年春分是 3月 21日，问 2023年夏至大概是几月几日？
（4）定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每 400年中，应设定多少个
闰年，可使这 400年与 400个回归年所含的天数最为接近（精确到 1）．
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南海区 2022至 2023学年第二学期高一素养提升
数学学业水平测试答案
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C C A A B C B BD ABC ABD BCD
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分）
3
13． 2 3； 14．cos ,cos ,sin
sin 3 ， 2
；
2
15． 3； 16．7 3．
三、解答题（本大题共 6小题, 共 70分）
17．解析：

（1）由 e1 (1,0)， e2 (0,1)

得 a 3e1 2e2 (3, 2)，b 4e1 3e2 (4,3) -----------------2分

则 a b 12 6 6， -----------------3分

a b (7,1) -----------------4分

| a b | 72 12 5 2 -----------------5分

（2） | a | 13， | b | 5 -----------------7分


cos a,b a b 6 6 13 -----------------9分
| a | | b | 13 5 65
6 13
a与b夹角的余弦值是 ． -----------------10分
65
18 1．解析：（1）因为 f x sin 2x 3 cos 2x sin(2x ) ----------2分
2 2 3
2
由周期公式可知：T -----------------3分
2

由 2k 2x 2k ， -----------------4分
2 3 2
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解得： k x k 5 -----------------5分
12 12
所以 f (x) [k 5 的单调递增区间为 ,k ]， k Z -----------------6分
12 12
（2）把 f x π的图象上所有点向左平移 个单位长度，
3

得到函数 g x sin(2x )的图象， -----------------7分
3
π
令 t 2x , x 0,
π 4π
，则 g t sin t, t

, ， -----------------8分3 2 3 3
4π 3
当 t ，即 x 时，
2 g(x)min ， -----------------10分3 2
π π
当 t ，即 x 时， g(x)max 1， -----------------12分2 12
19 3 3．解析：（1）正方体的体积：V正方体 (2a) 8a -----------------2分
1 1 a3
截去的每个四面体体积：V a2 a ， -----------------4分
四面体 3 2 6
3 3
则石凳的体积：V V 8 V 8a3 8 a 20a -----------------6分
正方体 四面体 6 3
2 2
（2）石凳的每个正方形面面积： S正方形 ( 2a) 2a -----------------8分
1 2
石凳的每个正三角形面面积： S ( 2a)2 sin 60 3a -----------------10分
三角形 2 2
3a2
则石凳的全面积： S 6S正方形 8 S 12a
2 8 (12 4 3)a2．-----12分
三角形 2
20．解：设△ ABC外接圆的半径为R
（1）因为 2c cos A a cos B b cos A，
由正弦定理得 2sinC cos A sin Acos B sin B cos A， -----------------2分
因为 sin AcosB sin Bcos A sin(A B) sinC， -----------------3分
所以 2sinC cos A sinC，
又C 0, π 1，所以 sinC 0，得 cos A ， -----------------4分
2
A 0, π π又 ，所以 A . -----------------------5分
3
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（2）依题意R 3，由正弦定理得 a 2RsinA 3， -----------------------6分
因为△ ABC的周长为9，所以b c 6， -----------------------7分
由余弦定理得 a2 π 2 b2 c2 2bccos b c 3bc ，
3
即9 36 3bc，所以bc 9， --------------------8分
b c 6 b 3
由 得 ，所以△ ABC为等边三角形， --------------------10分
bc 9 c 3
所以△ ABC 1 1的面积 S bcsinA 3 3 3 9 3 ． -------------------12分
2 2 2 4
21．解析：（1）因为 A 90 ， AB 2， AD 4
所以△ ABC面积是 4， BD 2 5， --------------------2分
取 BD中点O，连接CO
4
因为CB CD 1,所以CO BD， 2 5 CO 4，解得CO --------------------4分
2 5
所以CD CO2 OD2 205 ； --------------------6分
5
（2）如图建立直角坐标系， A(0,0),B(2,0),C(x, y),D(0, 4) -----7 分
依题意，CB CD
所以 x2 (y 4)2 (x 2)2 y2 得 x 2y 3，-----------9分

AC BD (x, y) ( 2,4) 2x 4y 2(x 2y) 6 ------11分

所以 AC BD是定值． --------------------12分
22．解析：
（1） 45 ， 20 ，由图形可知 90 (45 20 ) 65 ，--------------------1分
用 ， 表示 的关系式为： 90 | | --------------------3分
（2）
观测站 A B C
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观测站所在纬度 /度 40.0000 23.4393 0.0000
观测站正午太阳高度角 /度 66.3870 82.9464 73.6141
太阳直射点的纬度 /度 16.3870 16.3857 16.3859
太阳直射点的纬度平均值 y /度 16.3862
--------------------5分
T
（3）夏至与春分相距 91.31天， --------------------6分
4
因为春分是 3月 21日，3月、5月有 31天，4月、6月有 30天，10+30+31+21=92天，
所以夏至大概是 6月 21日；（若得出 6月 20日或 22日扣 1分） --------------------9分
（4） 400(T 365) 96.88，故应在 400年中设定 97个闰年． --------------------12分
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