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人教B版（2019）必修第二册《6.2.1 向量基本定理》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）顺次连接，，，四点所构成的图形是
A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对
2.（5分）若点是所在平面内任一点，且满足，则与的面积比为
A. B. C. D.
3.（5分）在中，点满足，则
A. B.
C. D.
4.（5分）如图所示，中，，点是线段的中点，则
A. B.
C. D.
5.（5分）如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且，，，，则等于
A. B.
C. D.
6.（5分）已知，，，点在内，且，设，则等于
A. B. C. D.
7.（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是
A.
B.
C.
D.
8.（5分）如图，在平行四边形中，，，是边上一点，且，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）己知向量，则
A. B.
C. D.
10.（5分）如图，，是线段的三等分点，，，下列以为起点的向量中，终点落在四边形含边界内的向量是
A. B.
C. D.
11.（5分）设是平行四边形两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
12.（5分）已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13.（5分）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知平面向量，，若，则______．
15.（5分）已知向量，，，若夹角为锐角，则取值范围是___________.
16.（5分）在中，、分别是、的中点，为上一点，且，若，则______．
17.（5分）已知中，为边上的点，且，若，则______．
18.（5分）已知，，．
若，求的值；
若，求的值．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，过的重心的直线与，分别相交于，，设，，求的值.
20.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中
若，且，求；
若，且与垂直，求实数的值．
21.（12分）点为平面上一点，有如下三个结论：
②若，则点为的 ______ ；
②若，则点为的 ______ ；
③若，则点为的 ______ ．
回答以下两个小问：
请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上．
A.重心 外心 内心 重心
请你证明结论②
22.（12分）如图，已知在中，点是以为中心的点的对称点，是将分成：的一个内分点，和交于点，设，．
用，表示，；
若，求实数的值．
23.（12分）如图，矩形与矩形全等，且
用向量与表示；
用向量与表示
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查在平面直角坐标系上的点和向量，以及向量之间的运算和关系，向量平行与垂直的判断问题，属于基础题．
分别写出向量，，的坐标，根据向量的坐标运算得到各向量间的关系，即可判断四边形的形状.

解：，，，，
，，，

又，即，
四边形是直角梯形．
故选
2.【答案】C;
【解析】解：如图，延长交于点，

显然，与的面积之比等于与之比，设，则，
由，，三点共线可知，，解得，即，故为中点，
与之比为，即与的面积之比为，
故选：．
延长交于点，设，则，进而由三点共线求出，由此求得面积之比．
这道题主要考查平面向量基本定理的运用以及三点共线的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】A;
【解析】解：由题，，
、、三点共线．
是的中点，
，

故选：
根据题意，，、、三点共线，根据平面向量基本定理，可得，所以
本题主要考查平面向量共线定理和基本定理，属于基础题，较简单．
4.【答案】C;
【解析】解：如图所示，中，，点是线段的中点，
则


故选：
直接利用已知条件，结合向量的平行四边形法则，推出结果即可．
本题考查平面向量的基本定理的应用，向量的平行四边形法则的应用，是基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：延长，交与点，
，，，，
，，
，
故选：．
根据向量的加减的几何意义即可求出．
此题主要考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积和平面向量的基本定理及其应用由向量的数量积，可知，以，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，由，可用坐标表示出，结合，可得
【解答】
解：，，，
如图建立坐标系，

则
又，

，
由，解得
故选
7.【答案】C;
【解析】解：对于：两个向量共线，不正确；
对于：两个向量共线，不正确；
对于，两个向量的模非，不共线，所以可以作为基底．
对于：两个向量共线，不正确；
故选：．
判定两个向量是否不共线即可．
这道题主要考查平面向量基本定理，基底的定义，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：平行四边形中，，，，
则
故选：
由已知得，代入可求．
此题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．
9.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了向量平行的判定、向量垂直的判定及向量加减的坐标运算，属基础题逐项分析运算即可得出答案.

解：由，
选项，，错误
、选项，，，故，正确，错误
选项，，正确.
故选
10.【答案】AD;
【解析】解：因为，是线段的三等分点，
所以，，
建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，，
所以，
而，故满足题意；
不满足题意；
不满足题意；
在四边形内，满足题意．
故选：
由已知建立平面直角坐标系，结合点的坐标及向量的坐标运算，写出各选项向量的坐标可求．
本题主要考查了向量的线性表示，坐标的应用简化基本运算，属于基础题．
11.【答案】AC;
【解析】解析：选由题意作平行四边形，如下所示图．

因为与不共线，与不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底，
与共线，与共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底，
故选：
两个不共线的平面向量可作为一组基底．
此题主要考查向量是否可作为基底的充要条件，属于基础题．
12.【答案】AD;
【解析】解：选项：因为，所以与不共线，所以正确，
选项：，因为，所以，故错误，
选项：，则，所以错误，
选项：因为，故与不共线，所以正确，
故选：
根据向量的坐标的运算性质以及向量共线定理判断各个选项的向量是否共线即可．
此题主要考查了向量的坐标的运算性质以及向量共线定理的应用，涉及到基底的概念，属于基础题．
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了向量基底的概念，属于基础题.
分析两个向量是否共线，不共线的两个向量可以作为基底.

解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：

对于，与不共线，可作为基底；
对于，与为共线向量，不可作为基底；
对于，与是两个不共线的向量，可作为基底；
对于，与在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．
故选
14.【答案】5;
【解析】解：；
；
解得；
；
．
故答案为：．
可根据求出，从而得出的坐标，进而求出．
考查平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量的长度的方法．
15.【答案】;
【解析】
【分析】
本题考查向量夹角的概念，向量夹角的余弦公式，数量积的坐标运算，以及向量平行时的坐标关系，属于基础题.
根据与夹角为锐角，从而有，且不同向，列出不等式组，即可得出的取值范围．
【解答】 解：，，
与夹角为锐角；
；
，且不同向；
，且，
解得，且，
的取值范围为
故答案为
16.【答案】3;
【解析】解：在中，、分别是、的中点，为上一点，且，
，
，，
；
故答案为：．
利用已知在中，、分别是、的中点，为上一点，且，将分解用、表示，利用平面向量基本定理得到，值．
此题主要考查了平面向量基本定理的运用．
17.【答案】;
【解析】解：，
，
．
，．
．
故答案为：．
用，表示出，得出，的值即可得出答案．
该题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
18.【答案】解：（1）∵=（1，cosx），=（，sinx），x∈（0，π），∥，
∴sinx=cos x，∴tanx==，
∴===-2．
（2）∵⊥，∴+sin xcos x=0，
∴sin xcosx=-，
∴（sin x-cosx）2=1-2sin xcosx=．
又∵x∈（0，π）且sin xcos x＜0，
∴x∈（，π），∴sin x-cos x＞0，
∴sin x-cosx=．;
【解析】
由向量平行得，从而，由此能求出的值．
由，得，从而，由此能求出的值．
该题考查三角函数化简求值，考查向量平行、向量垂直、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：如图示，连接OM并延长交AB于点E，则E是AB的中点，

==×（+）=+①，
设=λ（λ∈R），
则=+=+λ=+λ（-）
=（1-λ）+λ=（1-λ）h+λk②，
比较①②得，故，
故+=3．;
【解析】
结合图像表示出，根据对应关系求出的值即可．
本题考查了平面向量的运算，考查数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：，
，
，


，，
，
与垂直，
，

;
【解析】本题主要考查向量的数量积，向量的模以及向量垂直与向量平行的判定，属于基础题.
根据题中所给条件，结合向量平行的判定条件以及向量的模，即可推出结果.
根据题中所给条件，结合向量垂直的判定条件，即可推出结果.
21.【答案】重心；内心；外心;
【解析】解：①当时，点为的重心；
②当时，点为的内心；
③当时，点为的外心；
故答案为：重心，内心，外心；
，
由正弦定理得，
即，
所以
，
所以，
所以点在平分线上，
同理，可证在平分线上，
即为的内心．
根据平面向量的线性运算性质，结合三角形的重心、内心和外心的几何性质，即可得出点是三角形的四心中的哪一个；
根据正弦定理与平面向量的线性运算性质，结合三角形内心的几何性质，即可得出结论．
此题主要考查了平面向量的线性运算与应用问题，也考查了变形、转化、推理论证能力．
22.【答案】解：（1）如图所示，∵设=，=，点C是以A为中心的点B的对称点，
∴====．
∵D是将分成2：1的一个内分点，
∴，
∴==，
（2）设，
∵=λ
又=
=
=
∵，
∴
解得
;
【解析】
根据向量的几何意义计算即可，
利用向量共线及向量相等的条件结合向量加法的三角形法则，可求的值
这道题主要考查向量加法的三角形法则，向量共线向量相等的条件，关键是要熟悉向量的各个知识点，会综合运用向量的知识解决问题．
23.【答案】解：（1）=2．
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
设AD=1，因为矩形ABCD与矩形DEFG全等，且CG=GD，
所以AB=2，则C（1，2），B（0，2），G（1，1），D（1，0），F（3，1），
所以=（1，2），=（1，-1），=（2，1），
设，则（1，2）=x（1，-1）+y（2，1）=（x+2y，-x+y），
所以，解得x=-1，y=1，
所以．;
【解析】
利用三角形法则即可求解；建立平面直角坐标系，求出，，，，的坐标，再设，求出，即可求解．
此题主要考查了平面向量基本定理的应用，涉及到建立平面直角坐标系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

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