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人教B版选修三第六章导数及其应用
（共20题）
一、选择题（共12题）
已知函数 的图象如图所示，则 ， 的关系是
A． B． C． D．
下列各点中，在曲线 上，且曲线在该点处的切线的倾斜角为 的是
A． B． C． D．
函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 ，，则
A． B． C． D．
已知函数 ．若对于任意 ，都有 ，则实数 的范围是
A． B． C． D．
在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．则下列四个时段降雨强度中最小的是
A． 到 B． 到
C． 到 D． 到
若函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围
A． B． C． D．
已知函数 ，若 ，，使得 ，且 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
A． B． C． D．
已知函数 ， 且 ，若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
已知函数 在 上恒成立，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
函数 的最大值为
A． B． C． D．
某商场从生产厂家以每件 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 元/件，销售量为 件，且销量 与零售价 有如下关系：，则最大毛利润为（毛利润 销售收入 进货支出）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
二、填空题（共4题）
若函数 在区间 上的平均变化率为 ，则 等于 ．
设向气球内以每秒 立方厘米的速度注入气体，假设气体的压力不变，那么当气球半径为 厘米时，气球半径增大的速度为每秒 厘米．
为缓解南方某地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间 完成预期的运输任务 ，各种方案的运煤总量 与时间 的函数关系如题图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是 ．（填写所有正确的图象的编号）
某物体的运动路程 （单位：）与时间 （单位：）的关系可用函数 表示，则此物体在 时的瞬时速度为 ，则 ．
三、解答题（共4题）
已知函数 ．判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由．
两县城 和 相距 ，现计划在两县城外以 为直径的半圆弧 上选择一点 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 和城 的总影响度为城 与城 的影响度之和，记 点到城 的距离为 ，建在 处的垃圾处理厂对城 和城 的总影响度为 ，统计调查表明：垃圾处理厂对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比，比例系数为 ；对城 的影响度与所选地点到城 的距离的平方成反比，比例系数为 ，当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 和城 的总影响度为 ．
(1) 将 表示成 的函数；
(2) 讨论 中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 和城 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 的距离；若不存在，说明理由．
已知函数 ．
(1) 求曲线 在点 处的切线的方程；
(2) 若函数 在 处取得极大值，求 的取值范围；
(3) 若函数 存在最小值，直接写出 的取值范围．
已知函数 ．
(1) 若 ，求 的单调区间；
(2) 若 ，，证明：．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】B
【解析】由函数图象知， 为函数的极大值点，
为函数的极小值点，
即 ， 是 的两个根，
又 ，
所以 ．
2. 【答案】D
【解析】设切点坐标为 ，
则 ，
所以 ，．
3. 【答案】D
【解析】因为 ，函数 驻点为 ，又 ，而 ，，，所以 ，，所以 ．
4. 【答案】B
【解析】对于任意 都有 ，
则 在定义域内是减函数，，
所以 在 时恒成立，即 ，
而 ，
所以 ．
5. 【答案】D
【解析】 到 的降雨强度为 ；
到 的降雨强度为 ；
到 的降雨强度为 ；
到 的降雨强度为 ．
因为 ，
所以四个时段中 到 的降雨强度最小．
故选：D．
6. 【答案】D
【解析】依题意，当 时， 恒成立，
令 ，，则 ，
又 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ．
故选：D．
7. 【答案】C
【解析】令 ，解得 ，
易得当 时，
， 在 ， 上单调递增，
当 时，， 在 上单调递减，且 ，，作出函数 的图象如图，
令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，
由图象可知， 的最大值为 ．
8. 【答案】B
【解析】，
令 得 ，
所以 ．
9. 【答案】A
【解析】设 ，则 ，由 可得 ，令 可得 ；
令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
当 时，函数 的单调递增区间为 ，，不合题意；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 且 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 ．
10. 【答案】D
【解析】函数 在 上恒成立 在 上恒成立 在 上恒成立，
令 ，，
则 ，，
而 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以 在区间 上单调递减，又 ，
所以 ．
11. 【答案】A
【解析】令 ，，
当 时，；
当 时，，，
在定义域内只有一个极值，
所以 ．
12. 【答案】D
【解析】设该商品的毛利润为 元，
则 ，
令 ，
得 或 （舍去）．
当 时，，当 时，，
故当 时， 取得最大值，
所以 ．
二、填空题（共4题）
13. 【答案】
【解析】因为 ，所以 ，故答案为：．
14. 【答案】
【解析】设 秒后气球的半径为 ，则：气球半径增大的速度为 ，
由体积
由题设知 ，
对①式两边对 求导得：，解得 ，
故气球半径增大的速度为每秒 厘米．
15. 【答案】②
【解析】单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，故函数的图象一直是下凹的，仅有②与题意相符．
16. 【答案】
【解析】由 ，得 ，由题意得 ，解得 ．
因为 ，故 ．
故答案为：．
三、解答题（共4题）
17. 【答案】法一：，
因为 ，
所以 ，，
所以 ，即 在 恒成立，
所以 在 上单调递增．
法二：设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，，
所以 ，即 ，
所以 在 上单增，
所以 ，
所以 在 上单增．
18. 【答案】
(1) 如图，
由题意知 ，，
，
又当 时，，所以 ，
所以 表示成 的函数为：．
(2) ，
由 ，即 ，解得：，
由 ，即 ，解得：，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
所以当 时，即当 点到城 的距离为 时，函数 有最小值，此时，对城 和城 的总影响度最小．
19. 【答案】
(1) 因为 ，
所以 ，，
所以 ，所以切线为：．
(2) ．
（）当 时，，令 ，得 ， 与 的情况如下：此时， 在 处取得极大值，符合题意；
（）当 时，令 ，得 ，或 ．
①当 时，， 与 的情况如下：此时， 在 处取得极大值，符合题意；
②当 时，，， 单调递增，无极大值，不符合题意；
③当 时，， 与 的情况如下：此时， 在 处取得极小值，不符合题意；
（）当 时，． 与 的情况如下：此时， 在 处取得极大值，符合题意．
综上，．
(3) ．
20. 【答案】
(1) 函数 的定义域为 ，
由于 ，则 ．，
令 ，，
当 时，， 在区间 上单调递增；
当 时，， 在区间 上单调递减．
则 ．
所以函数 的单调递减区间为 ．
(2) 证法 ：由（）得 在区间 上单调递增，
当 时，，，
，
则 ，使 ，即 ，
得 ．
当 时，， 在区间 上单调递减；
当 时，， 在区间 上单调递增．
则
所以 ．
令 ，由于 ，则 ．
则 ，
整理得 ．
证法 ：欲证 ，
只要证 ，
即证 ．
令 ，
由于 ，则 ．
故只要证 ，即证 （）．
由（）可知，函数 在区间 上单调递减，
故 时，，
即 ．
由于 ，，则 ．
所以 成立．
所以 ．

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