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2022年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 继北京冬奥会后，苏翊鸣出战下届冬奥会，这个事件是( )
A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
3. 下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的左视图是( )
A. B. C. D.
6. 若点，，在反比例函数的图象上，且，则有( )
A. B. C. D.
7. 体育中考的米测试中，同时起跑的小丽和小云所跑的路程米与所用时间秒之间的函数图象分别为线段和折线下列说法正确的是( )
A. 小丽的速度随时间的增大而增大 B. 小云的平均速度比小丽的平均速度大
C. 在起跑后秒时，两人相遇 D. 在起跑后秒时，小云在小丽的前面
8. 两个不透明的塑料袋中，分别装着标有，，和，，的只有数字不同的个小球，夏夏和鑫鑫约定，他们分别从其中一个袋中摸出一个小球，若数字之和为奇数，鑫鑫胜；若数字之和为偶数，则夏夏胜．则夏夏获胜的概率为( )
A. B. C. D.
9. 如图，四边形内接于半径为的，，连交于，若为的中点，且，则四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
10. 判断方程的根的情况是( )
A. 有四个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算的结果是______．
12. 某校八年级同学年月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是______ ．
13. 计算的结果是______．
14. 数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼和之间有一景观池，一同学在点测得池中喷泉处点的俯角为另一同学在点测得点的俯角为点，，在同一直线上，两个同学在学校资料室查出楼高，，则两幢教学楼之间的距离约为______结果精确到，参考数据：，，
15. 已知抛物线为常数的对称轴，且过点，则下列四个结论：；；；其中正确的结论是______填写序号
16. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动含、两点，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的长度的范围为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答：
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
Ⅳ原不等式组的解集为______ ．
18. 本小题分
如图，，，分别是，上的点，平分．
若，求的大小；
若平分，求证：．
19. 本小题分
在武汉市近期的核酸检测期间，防控指挥部想了解志愿者参与志原服务的情况．在全市随机调查了部分志愿者，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
本次被抽取的志愿者共有______名，表中______；
扇形统计图中“”部分所占百分比为______；组所对应的扇形圆心角的大小为______；
若该市共有名志愿者参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的大约有多少人？
志愿服务时间小时 频数
20. 本小题分
如图，在中，，，是上一点，以为直径的经过点．
求证：与相切；
若，求图中由线段，及围成图形的面积即图中阴影部分．
21. 本小题分
在如图的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．并回答下列问题：
在图中，在线段上作点，使：：，再在线段上作点，使：：；
在图中，作出的外心，并直接写出点的坐标；
在图中．作出的外接圆的切线．
22. 本小题分
某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价万元 每件成本万元 每年其他费用万元 每年最大产销量件
甲
乙
其中为常数，且
若产销甲、乙两种产品的年利润分别为万元、万元，直接写出、与的函数关系式；
分别求出产销两种产品的最大年利润；
为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
23. 本小题分
如图，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点．
求证：≌；
如图，延长交于点，若，求的值．
如图，将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交于，两点，若，
，则的值为______．
24. 本小题分
如图，抛物线：经过点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标；
如图将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：有理数的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2.【答案】
【解析】解：继北京冬奥会后，苏翊鸣出战下届冬奥会，可能发生，也可能不发生，所以这个事件是随机事件．
故选：．
根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件判断即可．
本题考查了随机事件，掌握在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：选项，与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项判断，选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，掌握是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：这个组合体的左视图为，
故选：．
画出这个组合体的左视图，再进行判断即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确解答的前提．
6.【答案】
【解析】解：，
函数图象在二，四象限，由可知，横坐标为的点在第二象限，横坐标为，的点在第四象限．
第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
最大，在第二象限内，随的增大而增大，
．
故选：．
先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即可．
本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，
小丽对应的函数图象是线段，由图象可知小丽在匀速跑步，故选项A不合题意，
由图象可知，小丽先跑完米，则小云的平均速度比小丽的平均速度小，故选项B不合题意，
由图象可知，在起跑后秒时，小丽在小云的前面，此时小丽正好跑完米，故选项C不合题意，
在起跑后秒时，小云在小丽的前面，故选项D符合题意，
故选：．
根据函数图象可以判断各个选项中语句是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题得关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：分别从两个袋中各随机摸出一个小球，两球数字之和所有可能出现的结果如下：
共有种可能出现的结果，其中两个数字之和为奇数的有种，是偶数的种，
所以鑫鑫胜，即和为奇数的概率为；夏夏胜，即和为偶数的概率为，
故选：．
用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如下图所示，过点作，垂足为，连接、．
，，
，．
在中，，，
．
．
．
．
如下图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为．
为的中点，，
．
．
又，
∽．
．
，
．
，，
．
．
又，
．
在中，．
，
在和中，
，
≌．
．
四边形的面积．
故选：．
过点作，垂足为，连接、由等腰三角形的三线合一的性质可知：，，然后由特殊锐角三角函数值可知，从而得到，根据圆周角定理可知：，过点作，垂足为，过点作，垂足为，首先证明∽，从而得到，然后由圆周角定理证明，从而得到，然后等腰三角形三线合一的性质可知：在中，求得，证明≌得，根据四边形的面积便可得结果．
本题主要考查的圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的综合应用，由若为的中点，，得到，从而证得∽是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解．
故方程的根的情况是有一个实数根．
故选：．
根据，可得，方程可以变形为，可得方程，依此即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，绝对值，分式方程的解，关键是根据题意得到方程可以变形为．
11.【答案】
【解析】解：法一、
；
法二、
．
故答案为：．
利用二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，掌握“”是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由条形图知，数据出现次数最多，有次，
这组数据的众数为，
故答案为：．
根据众数的概念可得答案．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
在中，，
解得，
在中，，
，
．
故答案为：．
在中，，解得，在中，，可得，由可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确．
时，，
，
，
，
，正确．
抛物线对称轴为直线，且经过点，
抛物线与轴另外一交点坐标为，
，
，正确．
，
，
，
，
，
，错误．
故答案为：．
由图象开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点确定，，符号从而判断，由抛物线经过可得，再由可判断，根据抛物线对称轴为直线可得抛物线经过点，从而判断，由抛物线对称轴为直线可得，由可得，即，进而判断．
本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16.【答案】
【解析】解：当与重合时，最大，连接，如图：
，，
，，
，
将线段逆时针旋转到，
，
是等边三角形，
，
，即最大值是；
以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，如图：
四边形是矩形，
，
是等边三角形，将线段逆时针旋转到，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
点在射线上运动，
，
，
，，
，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
综上所述，，
故答案为：．
当与重合时，最大，连接，可证是等边三角形，从而可得最大值是；
以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于，证明≌，有，可得，故点在射线上运动，由，，可得，根据垂线段最短可知，的最小值为，即可得到答案．
本题考查矩形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，能求出点的轨迹．
17.【答案】
【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来，如下：
Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：，
，
平分，
，
的度数为；
证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质可得，再利用角平分线的性质可得，即可解答；
先利用平行线的性质，再利用角平分线的性质可得，，，从而可得，然后利用平行线的判定可得，最后利用平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：本次被抽取的教职工共有名，
，
故答案为：；；
扇形统计图中“”部分所占百分比为，
扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；；
人．
答：志愿服务时间多于小时的大约有人．
由等级的人数及其所占百分比即可求出被调查的总人数；用总人数减去、、的人数即可得出的值；
用等级人数除以被调查总人数即可得出其对应百分比；用乘以等级人数所占比例；
用总人数乘以样本中、人数所占比例即可．
本题主要考查了扇形统计图、频数率分布表，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息．
20.【答案】证明：连接，如图，
，，
．
，
，
．
是的半径，
与相切；
解：连接，如图，
为的直径，
．
，
．
．
，，
．
，，
．
【解析】连接，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和切线的判定定理解答即可；
连接，利用直角三角形的边角关系定理，圆周角定理，三角形和扇形的面积公式解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】解：
如图：则，，，
设的解析式为：，
则，
解得，
的解析式为：，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
设的解析式为：
则，
解得：
，
见图．
【解析】利用平行线分线段成比例定理求解；
利用外心的定义求解及解方程组求交点；
利用切线的判定定理，
本题考查圆的知识，理解外心，切线是解题的关键．
22.【答案】解：，
．
对于，，
时，的值最大万元．
对于，
，
时，最大值万元．
，解得，
，解得，
，解得，
，
当时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当时，生产甲产品利润比较高．
当时，生产乙产品利润比较高．
【解析】根据利润销售数量每件的利润即可解决问题．
根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题．
根据题意分三种情形分别求解即可：，，．
本题考查二次函数、一次函数的应用，解题的关键是构建函数解决实际问题中的方案问题，属于中考常考题型．
23.【答案】
【解析】证明：如图中，
是由折叠得到，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
≌；
解：如图中，连接．
≌，
，
由折叠可知，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
设，
，
由折叠可知，
，
，
，
或舍弃，
，
；
解：如图中，连接．
由，，
设，，，，
由知，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
或舍弃，
，
．
故答案为：．
根据证明三角形全等即可；
如图中，连接根据，求出即可解决问题；
如图中，连接由，，可以设，，，，根据相似三角形的判定和性质可得，则，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：经过点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
令，则，
．
设抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，如图，
，
抛物线的对称轴为直线．
．
，
，
．
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
当时，，
．
．
，，
，，
．
，
．
，，，
．
，
∽，
，
．
，
，
当点在轴的下方时，如图，
当时，，
，
．
．
由对称性可得：，
，
．
综上，点的坐标为或；
证明：将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，
平移后的抛物线的解析式为．
点为直线上一点，
．
设过点的直线的解析式为，
，
．
过点的直线的解析式为．
．
．
即：．
过点的直线、与抛物线只有一个公共点，
．
．
，．
则直线的解析式为，
直线的解析式为．
联立得：，
．
设点的横坐标为，则是方程的根，
过点的直线与抛物线只有一个公共点，
方程由两个相等的实数根，
，
．
，
．
设点的横坐标为，则是方程的根，
过点的直线与抛物线只有一个公共点，
方程由两个相等的实数根，
，
．
，，
，是方程的两根，
．
．
即：点，的坐标满足方程组，
点，点是抛物线与直线的交点，
，
直线一定经过定点．
【解析】利用待定系数法解答即可；
设抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，利用解析式求得点，的坐标，利用坐标表示出相应线段的长度，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得线段的长度即可；利用对称性可求得当点在轴下方时的坐标；
由题意得：，设过点的直线的解析式为，与抛物线解析式联立，利用过点的直线、与抛物线只有一个公共点，得到与的关系式，则直线的解析式为，直线的解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点的横坐标为，则是方程的根，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，，则，是方程的两根，，，于是得到点，点是抛物线与直线的交点，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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