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(共59张PPT)
§1.1　集　合
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3.会求两个集合的并集、交集与补集.
4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图
表示集合间的基本关系和基本运算.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：________、_______、________.
(2)元素与集合的关系是_____或_______，用符号___或____表示.
(3)集合的表示法：_______、_______、_______.
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ N*(或N＋) ___ ___ ___
N
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集，记作_______(或B?A).
(3)相等：若A B，且_____，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是___________的子集，是______________的真子集.
任意一个元素
A B
x A
A?B
B A
任何集合
任何非空集合
3.集合的基本运算
表示 运算 　 集合语言 图形语言 记法
并集 ________________ ______
交集 ________________ ______
补集 ________________ ____
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
{x|x∈U，且x A}
UA
1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集.
2.A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　　)
√
×
×
×
1.(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于
A.{－1,2} B.{1,2}
C.{1,4} D.{－1,4}
√
由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2.下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是
A.(1,2 022)
B.{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C.{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D.{(2 022,1)}
√
(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意.
3.设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝___________， U(A∩B)＝______________.
{x|x≥－1}
{x|x<2或x≥3}
因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
√
如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，
故集合A∩B有两个元素.
题型一
集合的含义与表示
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为
A.1 B.1或0
C.0 D.－1或0
√
∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是
A.0 M B.{0}∈M
C.{1} M D.1 M
√
√
√
对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；
对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0} M，所以B错误；
对于C，因为1∈M，所以{1} M，所以C正确；
对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误.
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
√
因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，
即集合B中含有4个元素.
例2　(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是
A.A＝B B.A∩B＝
C.A?B D.B A
√
题型二
集合间的基本关系
由题设，可得A＝{x|x>2}，
又B＝{x|x≥－3}，
所以A是B的真子集，
故A，B，D错误，C正确.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有____个；当B A时，实数m的取值范围是____________
__________.
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(－∞，－2)
∪[－1,0]
A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个).
由B A，得①若B＝ ，则2m＋1解得－1≤m≤0，
综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0].
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练2　(1)设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则
A.M N B.N M
C.M RN D.N RM
√
N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，
RN＝{x|－2≤x≤2}， RM＝{x|x≤4}，
∴M N.
(2)函数f(x)＝ 的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，则实数a的取值范围是_______________________.
(－∞，－3]∪[5，＋∞)
由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，
即A＝{x|x≥3或x≤－1}.
∵B A，
显然B≠ ，
∴4－a≤－1或－a≥3，
解得a≥5或a≤－3，
故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞).
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x| <4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于
题型三
集合的基本运算
√
(2)如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1,3,5,7}，B＝{4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为
A.{1,3} B.{5,7}
C.{1,3,5} D.{1,3,7}
√
Venn图表示的集合为A∩( UB)，
所以A∩( UB)＝{1,3}.
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　已知集合A＝{x|2m}，且( RA)∪B＝R，则实数m的取值范围是
A.m≥2 B.m<2
C.m≤2 D.m>2
∵A＝{x|2∴ RA＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，
∵( RA)∪B＝R，∴m≤2.
√
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
跟踪训练3　(1)(2022·吕梁模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{－2,1,4,8}，则A∩B等于
A.{－2,1} B.{1,8}
C.{1,4} D.{4,8}
√
因为A＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－1所以A∩B＝{1,4}.
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是
A.[1,4) B.(1,4)
C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
√
由题意可得A＝{x|1因为A∪B＝{x|x>1}，
所以1≤a<4.
课时精练
第
三部
分
1.(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
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√
基础保分练
由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2. (2022·焦作模拟)设集合A＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－2A.{0,1} B.{－1,0}
C.{－1,0,1,2} D.{0,1,2}
√
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因为B＝{－1,0,1}，A＝{0,1,2}，
所以A∪B＝{－1,0,1,2}.
3.(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于
A.{(2，－1)} B.{2，－1}
C.{(1,2)} D.{1,2}
√
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4.(2023·连云港质检)设全集U＝R，集合A＝{x|1A.(1,2) B.(1,2]
C.(2,4) D.[2,4)
√
由已知可得 UB＝{x|x≤0或x≥2}，
因此，A∩( UB)＝{x|2≤x<4}＝[2,4).
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5.(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于
A.{－1,0,1} B.{－2，－1,0}
C.{－2，－1,0,1} D.{－2，－1,0,1,2}
√
因为集合A＝{x|x2≤1}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}，
在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，
所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}.
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6.(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1m}，若A∩( RB)＝ ，则实数m的取值范围为
A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)
√
由题知A∩( RB)＝ ，得A B，则m≤1.
7.(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}.若A∪B＝A，则实数m的值为
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
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√
√
因为A∪B＝A，所以B A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意.
综上，m＝0或3.
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8.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是
A.A∩B＝ B.A∩B＝B
C.A∪B＝U D.( UB)∪A＝A
√
√
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令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足( UA)∪B＝B，
但A∩B≠ ，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由( UA)∪B＝B，知 UA B，
∴U＝A∪( UA) (A∪B)，∴A∪B＝U，
由 UA B，知 UB A，
∴( UB)∪A＝A，故C，D均正确.
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9.(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩( UT)＝_______，集合S共有____个子集.
{1,5}
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由题意可得 UT＝{1,4,5}，
则S∩( UT)＝{1,5}.
集合S的子集有23个，即8个.
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为__________.
{－1,2,3}
集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩( RN)＝{－1,2,3}.
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11.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m
的值可能是___________.
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由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，B A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
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12.已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}.当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________________.
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[－5,3]
[0,2]∪(4，＋∞)
A＝{x|－3≤x≤3}，
当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，
此时A∪B＝[－5,3].
由A∩B＝B可知B A.
若B＝ ，则2m－3>m＋1解得m>4；
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞).
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13.(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为
A.{2,3,4} B.{3,4,5}
C.{4,5,6} D.{3,5,6}
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综合提升练
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由log2x<3得0因为 U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}， U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；
若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；
若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确.
14.某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有_______人，这三天参加活动的最少有________人.
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290
根据题意画出Venn图，如图所示，
a表示只参加第一天的人，
b表示只参加第二天的人，
c表示只参加第三天的人，
d表示只参加第一天与第二天的人，
e表示只参加第一天与第三天的人，
f表示只参加第二天与第三天的人，
g表示三天都参加的人，
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∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，
∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，
∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，
则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人).
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15.设全集为U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙： UA UB；丁：( UA)∪( UB)＝ UA.
如果有且只有一个关系式不成立，则该式是
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
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拓展冲刺练
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由题意，甲：A∩B＝A A B，
乙：A∪B＝B A B，
丙： UA UB B A，
丁：( UA)∪( UB)＝ UA UB UA A B，
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个关系式不成立，则该式是丙.
16.对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和.给定集合S＝{2,3,4,5}，定义集合T＝{f(A)|A S，A≠ }，则集合T中的元素个数为
A.11 B.12
C.13 D.14
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当集合A含一个元素时，可取{2}，{3}，{4}，{5}，此时f(A)可取2,3,4,5；
当集合A含两个元素时，可取{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，此时f(A)可取5,6,7,8,9；
当集合A含三个元素时，可取{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，此时f(A)可取9,10,11,12，
当集合A含四个元素时，可取{2,3,4,5}，此时f(A)可取14，
综上可知f(A)可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T中的元素个数为12.
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16§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　√　)
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
答案　B
解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案　C
解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
答案　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}
解析　因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.
题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，
故集合A∩B有两个元素．
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
答案　C
解析　∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
答案　ABD
解析　对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；
对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0} M，所以B错误；
对于C，因为1∈M，所以{1} M，所以C正确；
对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误．
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，
即集合B中含有4个元素．
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
答案　C
解析　由题设，可得A＝{x|x>2}，
又B＝{x|x≥－3}，
所以A是B的真子集，
故A，B，D错误，C正确．
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是________．
答案　15　(－∞，－2)∪[－1,0]
解析　A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个)．
由B A，
得①若B＝ ，则2m＋1②若B≠ ，则
解得－1≤m≤0，
综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]．
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2　(1)设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
答案　A
解析　N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}，
RN＝{x|－2≤x≤2}， RM＝{x|x≤4}，
∴M N.
(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－∞，－3]∪[5，＋∞)
解析　由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，
即A＝{x|x≥3或x≤－1}．
∵B A，
显然B≠ ，
∴4－a≤－1或－a≥3，
解得a≥5或a≤－3，
故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
答案　D
解析　因为M＝{x|<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝.
所以M∩N＝，故选D.
(2)如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1,3,5,7}，B＝{4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{1,3} B．{5,7}
C．{1,3,5} D．{1,3,7}
答案　A
解析　Venn图表示的集合为A∩( UB)，
所以A∩( UB)＝{1,3}．
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　已知集合A＝{x|2m}，且( RA)∪B＝R，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m<2
C．m≤2 D．m>2
答案　C
解析　∵A＝{x|2∴ RA＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，
∵( RA)∪B＝R，∴m≤2.
思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3　(1)(2022·吕梁模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{－2,1,4,8}，则A∩B等于(　　)
A．{－2,1} B．{1,8}
C．{1,4} D．{4,8}
答案　C
解析　因为A＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－1所以A∩B＝{1,4}．
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　A
解析　由题意可得A＝{x|1因为A∪B＝{x|x>1}，
所以1≤a<4.
课时精练
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 UM＝{1,3}，则(　　)
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
答案　A
解析　由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2. (2022·焦作模拟)设集合A＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－2A．{0,1} B．{－1,0}
C．{－1,0,1,2} D．{0,1,2}
答案　C
解析　因为B＝{－1,0,1}，A＝{0,1,2}，
所以A∪B＝{－1,0,1,2}．
3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{(2，－1)} B．{2，－1}
C．{(1,2)} D．{1,2}
答案　C
解析　联立
解得则M∩N＝{(1,2)}．
4. (2023·连云港质检)设全集U＝R，集合A＝{x|1A．(1,2) B．(1,2]
C．(2,4) D．[2,4)
答案　D
解析　由已知可得 UB＝{x|x≤0或x≥2}，
因此，A∩( UB)＝{x|2≤x<4}＝[2,4)．
5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于(　　)
A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}
C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}
答案　B
解析　因为集合A＝{x|x2≤1}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}，
在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}．
6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1m}，若A∩( RB)＝ ，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　由题知A∩( RB)＝ ，得A B，则m≤1.
7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　AD
解析　因为A∪B＝A，所以B A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．
综上，m＝0或3.
8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．( UB)∪A＝A
答案　CD
解析　令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足( UA)∪B＝B，但A∩B≠ ，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由( UA)∪B＝B，知 UA B，
∴U＝A∪( UA) (A∪B)，∴A∪B＝U，
由 UA B，知 UB A，
∴( UB)∪A＝A，故C，D均正确．
9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩( UT)＝________，集合S共有________个子集．
答案　{1,5}　8
解析　由题意可得 UT＝{1,4,5}，
则S∩( UT)＝{1,5}．
集合S的子集有23个，即8个．
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为________．
答案　{－1,2,3}
解析　集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩( RN)＝{－1,2,3}．
11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________．
答案　0，－，
解析　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，B A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
当B≠ 时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝，
因为B A，所以－＝－3或－＝2，
解得m＝或m＝－，
综上，m＝0，m＝或m＝－.
12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________．
答案　[－5,3]　[0,2]∪(4，＋∞)
解析　A＝{x|－3≤x≤3}，
当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，
此时A∪B＝[－5,3]．
由A∩B＝B可知B A.
若B＝ ，则2m－3>m＋1解得m>4；
若B≠ ，则解得0≤m≤2，
综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)．
13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
答案　BD
解析　由log2x<3得0因为 U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}， U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；
若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；
若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．
14．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．第一天参加但第二天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人．
答案　160　290
解析　根据题意画出Venn图，如图所示，
a表示只参加第一天的人，
b表示只参加第二天的人，
c表示只参加第三天的人，
d表示只参加第一天与第二天的人，
e表示只参加第一天与第三天的人，
f表示只参加第二天与第三天的人，
g表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，
∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，
∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，
∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，
则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．
15．设全集为U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙： UA UB；丁：( UA)∪( UB)＝ UA.
如果有且只有一个关系式不成立，则该式是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案　C
解析　由题意，甲：A∩B＝A A B，
乙：A∪B＝B A B，
丙： UA UB B A，
丁：( UA)∪( UB)＝ UA UB UA A B，
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个关系式不成立，则该式是丙．
16．对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和．给定集合S＝{2,3,4,5}，定义集合T＝{f(A)|A S，A≠ }，则集合T中的元素个数为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
答案　B
解析　当集合A含一个元素时，可取{2}，{3}，{4}，{5}，此时f(A)可取2,3,4,5；
当集合A含两个元素时，可取{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，此时f(A)可取5,6,7,8,9；
当集合A含三个元素时，可取{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，此时f(A)可取9,10,11,12，
当集合A含四个元素时，可取{2,3,4,5}，此时f(A)可取14，
综上可知f(A)可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T中的元素个数为12.§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*(或N＋)
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是________________的子集，是________________________的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 　 集合语言 图形语言 记法
并集
交集
补集
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　　)
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________， U(A∩B)＝________.
题型一　集合的含义与表示
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或0
C．0 D．－1或0
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　)
A．0 M B．{0}∈M
C．{1} M D．1 M
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二　集合间的基本关系
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝
C．A?B D．B A
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是________．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D．N RM
(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B A，则实数a的取值范围是________________．
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　)
A．{x|0≤x<2}
B.
C．{x|3≤x<16}
D.
(2)如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1,3,5,7}，B＝{4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{1,3} B．{5,7}
C．{1,3,5} D．{1,3,7}
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 已知集合A＝{x|2m}，且( RA)∪B＝R，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m<2
C．m≤2 D．m>2
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(2022·吕梁模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{－2,1,4,8}，则A∩B等于(　　)
A．{－2,1} B．{1,8}
C．{1,4} D．{4,8}
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　)
A．[1,4) B．(1,4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)

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